\documentclass[10pt]{article}
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\begin{document}
\section*{SUJET MATHÉMATIQUES 2007 \\
 Option Économiques}
\section*{Exercice 1}
Pour toute matrice \(M\) élément de \(\mathcal{M}_{2}(\mathrm{IR})\), on note \({ }^{t} M\) la matrice transposée de \(M\), définie de la façon suivante : si \(M=\left(\begin{array}{ll}a & c \\ b & d\end{array}\right)\) alors \({ }^{t} M=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)\).

On pose \(E_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), E_{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), E_{3}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right), E_{4}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)\).\\
On rappelle que \(\mathcal{B}=\left(E_{1}, E_{2}, E_{3}, E_{4}\right)\) est une base de \(\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\).\\
On note \(\varphi\) l'application qui à toute matrice \(M\) de \(\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\) associe \(\varphi(M)=M+{ }^{t} M\).

\begin{enumerate}
  \item a) Montrer que \(\varphi\) est un endomorphisme de \(\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\).\\
b) Écrire la matrice \(A\) de \(\varphi\) dans la base \(\mathcal{B}\).\\
c) En déduire que \(\varphi\) est diagonalisable et non bijectif.
  \item Calculer \(A^{2}\) et en déduire que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{I N}^{*}, A^{n}=2^{n-1} A\).
  \item a) Montrer que \(\operatorname{Im} \varphi=\operatorname{vect}\left(E_{1}, E_{2}+E_{3}, E_{4}\right)\), puis établir que \(\operatorname{dim} \operatorname{Im} \varphi=3\).\\
b) En déduire la dimension de \(\operatorname{Ker} \varphi\) puis déterminer une base de \(\operatorname{Ker} \varphi\).\\
c) Établir que \(\operatorname{Im} \varphi\) est le sous-espace propre de \(\varphi\) associé à la valeur propre 2.\\
d) Donner, pour résumer, les valeurs propres de \(\varphi\) ainsi qu'une base de chacun des sous-espaces propres associés.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}
On admet que, si \(Z_{1}\) et \(Z_{2}\) sont deux variables aléatoires à densité, définies sur le même espace probabilisé, alors leur covariance, si elle existe, est définie par :

\[
\operatorname{cov}\left(Z_{1}, Z_{2}\right)=E\left(Z_{1} Z_{2}\right)-E\left(Z_{1}\right) E\left(Z_{2}\right) .
\]

On admet également que si \(Z_{1}\) et \(Z_{2}\) sont indépendantes alors leur covariance est nulle.

On considère deux variables aléatoires réelles \(X\) et \(U\) définies sur le même espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}\), \(P\) ), indépendantes, \(X\) suivant la loi normale \(\mathcal{N}(0,1)\) et \(U\) suivant la loi discrète uniforme sur \(\{-1,1\}\). On pose \(Y=U X\) et on admet que \(Y\) est une variable aléatoire à densité, définie elle aussi sur l'espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, P)\).

\begin{enumerate}
  \item a) En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que :
\end{enumerate}

\[
\forall x \in \mathbb{R}, P(Y \leq x)=P([U=1] \cap[X \leq x])+P([U=-1] \cap[X \geq-x]) .
\]

b) En déduire que \(Y\) suit la même loi que \(X\).\\
2) a) Calculer l'espérance de \(U\) puis montrer que \(E(X Y)=0\).\\
b) En déduire que \(\operatorname{cov}(X, Y)=0\).\\
3) a) Rappeler la valeur de \(E\left(X^{2}\right)\) et en déduire que \(\int_{0}^{+\infty} x^{2} e^{-\frac{x^{2}}{2}} d x=\frac{1}{2} \sqrt{2 \pi}\).\\
b) Montrer, grâce à une intégration par parties, que :

\[
\forall A \in \mathbb{R}_{+}, \int_{0}^{A} x^{4} e^{-\frac{x^{2}}{2}} d x=-A^{3} e^{-\frac{A^{2}}{2}}+3 \int_{0}^{A} x^{2} e^{-\frac{x^{2}}{2}} d x
\]

c) En déduire que l'intégrale \(\int_{0}^{+\infty} x^{4} e^{-\frac{x^{2}}{2}} d x\) converge et vaut \(\frac{3}{2} \sqrt{2 \pi}\).\\
d) Établir finalement que \(X\) possède un moment d'ordre 4 et que \(E\left(X^{4}\right)=3\).\\
4) a) Vérifier que \(E\left(X^{2} Y^{2}\right)=3\).\\
b) Déterminer \(\operatorname{cov}\left(X^{2}, Y^{2}\right)\).\\
c) En déduire que \(X^{2}\) et \(Y^{2}\) ne sont pas indépendantes. Montrer alors que \(X\) et \(Y\) ne le sont pas non plus.\\
d) Cet exercice a permis de montrer qu'un résultat classique concernant les variables discrètes est encore valable pour les variables à densité. Lequel ?

\section*{Exercice 3}
\begin{enumerate}
  \item a) Montrer que : \(\forall x>0, x-\ln x>0\).\\
b) On pose alors : \(\left\{\begin{array}{l}f(x)=\frac{\ln x}{x-\ln x} \text { si } x>0 \\ f(0)=-1\end{array}\right.\).
\end{enumerate}

Déterminer l'ensemble de définition \(D\) de la fonction \(f\).\\
2) a) Montrer que \(f\) est continue sur \(D\).\\
b) Montrer que \(f\) est dérivable (à droite) en 0 et que \(f_{d}^{\prime}(0)=0\).\\
3) a) Justifier que \(f\) est dérivable sur \(D \backslash\{0\}\) et calculer \(f^{\prime}(x)\) pour tout \(x\) de \(D \backslash\{0\}\).\\
b) Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\).\\
c) Dresser le tableau de variation de \(f\).\\
4) Étudier le signe de \(f(x)\).\\
5) Pour tout réel \(x\) élément de \(D\), on pose \(F(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t\).\\
a) Montrer que \(F\) est de classe \(C^{1}\) sur \(D\) puis étudier ses variations.\\
b) Déterminer \(\lim _{x \rightarrow+\infty} \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{t} d t\).\\
c) En déduire \(\lim _{x \rightarrow+\infty} \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{t-\ln t} d t\), puis \(\lim _{x \rightarrow+\infty} F(x)\).

\section*{Problème}
On lance une pièce équilibrée (la probabilité d'obtenir "pile" et celle d'obtenir "face" étant donc toutes les deux égales à \(\frac{1}{2}\) ) et on note \(Z\) la variable aléatoire égale au rang du lancer où l'on obtient le premier "pile".\\
Après cette série de lancers, si \(Z\) a pris la valeur \(k\left(k \in \mathbb{N}^{*}\right)\), on remplit une urne de \(k\) boules numérotées \(1,2, \ldots, k\), puis on extrait au hasard une boule de cette urne.\\
On note \(X\) la variable aléatoire égale au numéro de la boule tirée après la procédure décrite ci-dessus.

\begin{enumerate}
  \item On décide de coder l'événement «obtenir un "pile" » par 1 et l'événement «obtenir un "face" » par 0 .\\
On rappelle que la fonction random renvoie, pour un argument \(k\) de type integer (où \(k\) désigne un entier supérieur ou égal à 1 ) un entier aléatoire compris entre 0 et \(k-1\).\\
a) Compléter le programme suivant pour qu'il affiche la valeur prise par \(Z\) lors de la première partie de l'expérience décrite ci-dessus.
\end{enumerate}

\begin{verbatim}
Program edhec_2007 ;
Var z, hasard : integer ;
Begin
    Randomize ; z := 0 ;
    Repeat z := ........ ; hasard := ........ ; until (hasard = 1);
    Writeln(z) ;
End.
\end{verbatim}

b) Quelle instruction faut-il rajouter avant la dernière ligne de ce programme pour qu'il simule l'expérience aléatoire décrite dans ce problème et affiche la valeur prise par la variable aléatoire \(X\) ?\\
2) Établir la convergence de la série de terme général \(\frac{1}{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}\left(k \in \mathbb{N}^{*}\right)\).\\
3) Rappeler la loi de \(Z\) ainsi que son espérance et sa variance.\\
4) a) Pour tout couple ( \(i, k\) ) de \(\mathbb{N}^{*} \times \mathbb{N}^{*}\), déterminer la probabilité \(P_{(Z=k)}(X=i)\).\\
b) En déduire que : \(\forall i \in \mathbb{N}^{*}, P(X=i)=\sum_{k=i}^{+\infty} \frac{1}{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}\).\\
c) On admet, dans cette question, que \(\sum_{i=1}^{+\infty} \sum_{k=i}^{+\infty}=\sum_{k=1}^{+\infty} \sum_{i=1}^{k}\). Vérifier que :

\[
\sum_{i=1}^{+\infty} P(X=i)=1
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item a) Montrer que, pour tout entier naturel \(i\) non nul, on a : \(i P(X=i) \leq\left(\frac{1}{2}\right)^{i-1}\).\\
b) En déduire que \(X\) possède une espérance.\\
c) Montrer, en admettant qu'il est licite de permuter les symboles \(\Sigma\) comme dans la question 4c), que :
\end{enumerate}

\[
E(X)=\frac{3}{2}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item a) Utiliser le résultat de la question 5a) pour montrer que \(X\) a un moment d'ordre 2 .\\
b) Établir alors, toujours en admettant qu'il est licite de permuter les symboles \(\Sigma\) comme dans la question 4c), que :
\end{enumerate}

\[
E\left(X^{2}\right)=\frac{1}{6} \sum_{k=1}^{+\infty}(k+1)(2 k+1)\left(\frac{1}{2}\right)^{k}
\]

c) Déterminer les réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que : \(\forall k \in \mathbb{N}^{*}\), \((k+1)(2 k+1)=a k(k-1)+b k+c\).\\
d) En déduire la valeur de \(E\left(X^{2}\right)\) et vérifier que \(V(X)=\frac{11}{12}\).\\
7) a) Écrire l'inégalité de Bienaymé-Chebychev, pour la variable \(X\).\\
b) En déduire que \(P(X \geq 3) \leq \frac{11}{27}\).\\
8) On se propose dans cette question de calculer \(P(X=1), P(X=2)\) et \(P(X \geq 3)\).\\
a) Écrire explicitement en fonction de \(x\) et \(n\) la somme \(\sum_{k=1}^{n} x^{k-1}\) ( \(n\) désignant un entier naturel non nul et \(x\) un réel différent de 1 ).\\
b) En déduire que : \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}=\ln 2-\int_{0}^{1 / 2} \frac{x^{n}}{1-x} d x\).\\
c) Montrer que : \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, 0 \leq \int_{0}^{1 / 2} \frac{x^{n}}{1-x} d x \leq\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\).

En déduire la valeur de \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1 / 2} \frac{x^{n}}{1-x} d x\).\\
d) Établir alors que \(P(X=1)=\ln 2\) puis donner la valeur de \(P(X=2)\).\\
e) Utiliser les résultats précédents pour calculer \(P(X \geq 3)\), puis donner une valeur approchée de \(P(X \geq 3)\) en prenant \(\ln 2 \simeq 0,7\). Que peut-on en déduire en ce qui concerne le majorant trouvé à la septième question ?


\end{document}