\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{bbold}
\usepackage{mathrsfs}

\begin{document}
Concours EDHEC\\
Mai 2008\\
Classes Préparatoires

\section*{MATHEMATIQUES}
\section*{Option économique}
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

\section*{Exercice 1}
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on définit la fonction \(f_{n}\) par : \(\forall x \in \mathbb{R}, f_{n}(x)=\frac{1}{1+e^{x}}+n x\).\\
On appelle ( \(C_{n}\) ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( \(O, \stackrel{\nu}{\nu}, \stackrel{\nu}{j}\) ) d'unité 5 cm .

\begin{enumerate}
  \item a) Déterminer, pour tout réel \(x, f_{n}{ }^{\prime}(x)\) et \(f_{n}{ }^{\prime \prime}(x)\).\\
b) En déduire que la fonction \(f_{n}\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
  \item a) Calculer \(\lim _{x \rightarrow-\infty} f_{n}(x)\) ainsi que \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f_{n}(x)\).\\
b) Montrer que les droites ( \(D_{n}\) ) et ( \(D_{n}{ }^{\prime}\) ) d'équations \(y=n x\) et \(y=n x+1\) sont asymptotes de \(\left(C_{n}\right)\).\\
c) Déterminer les coordonnées du seul point d'inflexion, noté \(A_{n}\), de ( \(C_{n}\) ).\\
d) Donner l'équation de la tangente ( \(T_{1}\) ) à la courbe ( \(C_{1}\) ) en \(A_{1}\) puis tracer sur un même dessin les droites ( \(D_{1}\) ), ( \(D_{1}{ }^{\prime}\) ) et ( \(T_{1}\) ) ainsi que l'allure de la courbe ( \(C_{1}\) ).
  \item a) Montrer que l'équation \(f_{n}(x)=0\) possède une seule solution sur \(\mathbb{R}\), notée \(u_{n}\).\\
b) Montrer que l'on a: \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \frac{-1}{n}<u_{n}<0\).\\
c) En déduire la limite de la suite ( \(u_{n}\) ).\\
d) En revenant à la définition de \(u_{n}\), montrer que \(u_{n} \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim}-\frac{1}{2 n}\).
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}
On considère un endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^{3}\) dont la matrice dans la base canonique \(\mathcal{B}\) de \(\mathbb{R}^{3}\) est la matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}6 & 10 & 11 \\ 2 & 6 & 5 \\ -4 & -8 & -8\end{array}\right)\).

\begin{enumerate}
  \item a) Déterminer la matrice \(A(A-2 I)^{2}\) et en déduire les seules valeurs propres possibles de \(f\).\\
b) On considère les vecteurs \(u=(2,1,-2)\) et \(v=(3,1,-2)\).
\end{enumerate}

Déterminer \(f(u)\) et \(f(v)\) puis en déduire les valeurs propres de \(f\).\\
c) L'endomorphisme \(f\) est-il un automorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) ?

2 ) On considère le vecteur \(w=(-2,0,1)\).\\
a) Montrer que ( \(u, v, w\) ) est une base de \(\mathbb{R}^{3}\).\\
b) Exprimer \(f(w)\) comme combinaison linéaire de \(v\) et \(w\) puis vérifier que la matrice de \(f\) dans la base \((u, v, w)\) est \(T=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)\).\\
c) Montrer que \(f\) n'est pas diagonalisable.\\
3) a) On pose \(T=D+N\), où \(D=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)\) et \(N=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)\)

Déterminer \(N^{2}\) puis utiliser la formule du binôme pour montrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a \(T^{n}=D^{n}+n D^{n-1} N\).\\
b) Donner explicitement, pour tout entier naturel \(n\) non nul, la matrice \(T^{n}\) en fonction de \(n\).\\
c) Proposer une matrice \(P\) telle que \(A=P T P^{-1}\) puis déterminer \(P^{-1}\).\\
d) Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a : \(A^{n}=P T^{n} P^{-1}\)\\
e) Déterminer explicitement \(A^{n}\) pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 1 .

\section*{Exercice 3}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que l'intégrale \(\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(1+x)^{2}} d x\) est convergente et donner sa valeur.
  \item On considère la fonction \(f\) définie par : \(\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{2(1+|x|)^{2}}\).\\
a) Montrer que \(f\) est paire.\\
b) Montrer que \(f\) peut être considérée comme une fonction densité de probabilité.
\end{enumerate}

Dans la suite, on considère une variable aléatoire \(X\), définie sur un espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}\), \(P\) ), et admettant \(f\) comme densité. On note \(F\) la fonction de répartition de \(X\).\\
3) On pose \(Y=\ln (1+|X|)\) et on admet que \(Y\) est une variable aléatoire à densité, elle aussi définie sur l'espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ).\\
a) Déterminer \(Y(\Omega)\).\\
b) Exprimer la fonction de répartition \(G\) de \(Y\) à l'aide de \(F\).\\
c) En déduire que \(Y\) admet pour densité la fonction \(g\) définie par :

\[
g(x)=\left\{\begin{array}{l}
2 e^{x} f\left(e^{x}-1\right) \text { si } x \geq 0 \\
0 \text { si } x<0
\end{array}\right.
\]

d) Montrer enfin que \(Y\) suit une loi exponentielle dont on déterminera le paramètre.

\section*{Problème}
\section*{Partie 1 : préliminaires}
\begin{enumerate}
  \item Soit \(f\) une fonction de classe \(C^{1}\) sur \([0,1]\). On se propose, dans cette question, de démontrer un résultat classique sur les sommes de Riemann associées à cette fonction.\\
a) Montrer qu'il existe un réel \(M\) strictement positif tel que, pour tout couple ( \(x, y\) ) d'éléments de \([0,1]\), on a : \(|f(x)-f(y)| \leq M|x-y|\).\\
b) En déduire que : \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \forall k \in[|0, n-1|], \forall t \in\left[\frac{k}{n}, \frac{k+1}{n}\right],\left|f(t)-f\left(\frac{k}{n}\right)\right| \leq M\left(t-\frac{k}{n}\right)\).\\
c) Montrer alors que : \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \forall k \in[|0, n-1|],\left|\int_{k / n}^{(k+1) / n} f(t) d t-\frac{1}{n} f\left(\frac{k}{n}\right)\right| \leq \frac{M}{2 n^{2}}\).\\
d) En sommant la relation précédente, établir que : \(\forall n \in \mathbb{N}^{*},\left|\int_{0}^{1} f(t) d t-\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)\right| \leq \frac{M}{2 n}\).\\
e) Conclure finalement que \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_{0}^{1} f(t) d t\).
  \item Pour tout couple \((p, q)\) d'entiers naturels, on pose \(I(p, q)=\int_{0}^{1} x^{p}(1-x)^{q} d x\).\\
a) Montrer que : \(\forall(p, q) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^{*}, I(p, q)=\frac{q}{p+1} I(p+1, q-1)\).\\
b) En déduire que : \(\forall(p, q) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}, I(p, q)=\frac{p!q!}{(p+q)!} I(p+q, 0)\).\\
c) Déterminer \(I(p+q, 0)\) et montrer finalement que : \(\forall(p, q) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}, I(p, q)=\frac{p!q!}{(p+q+1)!}\).
  \item Informatique.
\end{enumerate}

Compléter la déclaration récursive suivante afin qu'elle permette le calcul de \(I(p, q)\) :\\
Function i( \(p, q\) : integer) : real ;\\
Begin\\
If \(q=0\) then \(i:=\)------ else ------ ;\\
End ;

\section*{Partie 2 : étude d'une suite de variables aléatoires}
Dans cette partie, \(m\) est un entier naturel fixé, supérieur ou égal à 2 .\\
On considère une suite de variables aléatoires \(\left(U_{n}\right)_{n \geq 1}\), toutes définies sur le même espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ), telles que, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(1, U_{n}\) suit la loi uniforme sur \(\left\{0, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \ldots, \frac{n-1}{n}\right\}\).\\
On considère également une suite de variables aléatoires \(\left(X_{n}\right)_{n \geq 1}\), définies elles aussi sur \((\Omega, \mathcal{A}\), \(P\) ), et telles que, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 1 , et pour tout \(k\) de \([\mid 0, n-1]\), la loi de \(X_{n}\) conditionnellement à l'événement ( \(U_{n}=\frac{k}{n}\) ) est la loi binomiale \(\mathcal{B}\left(m, \frac{k}{n}\right.\) ).

\begin{enumerate}
  \item On considère une variable aléatoire \(Y\) suivant la loi binomiale \(\mathscr{B}(m, p)\). Rappeler la valeur de l'espérance de \(Y\) puis montrer que \(E(Y(Y-1))=m(m-1) p^{2}\).
  \item Donner la loi de \(X_{1}\).
\end{enumerate}

Dans toute la suite, on suppose \(n\) supérieur ou égal à 2 .\\
3) a) Déterminer \(X_{n}(\Omega)\), puis montrer que, pour tout \(i\) de \(X_{n}(\Omega)\), on a :

\[
P\left(X_{n}=i\right)=\frac{1}{n}\binom{m}{i} \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{k}{n}\right)^{i}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{m-i} .
\]

b) Utiliser la première question de cette partie pour donner sans calcul la valeur de la somme \(\sum_{i=1}^{m} i\binom{m}{i}\left(\frac{k}{n}\right)^{i}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{m-i}\). Montrer alors que l'espérance de \(X_{n}\) est égale à \(\frac{m(n-1)}{2 n}\).\\
c) En utilisant toujours la première question de cette partie, donner sans calcul la valeur de la somme \(\sum_{i=1}^{m} i(i-1)\binom{m}{i}\left(\frac{k}{n}\right)^{i}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{m-i}\).\\
Montrer alors que l'espérance de \(X_{n}\left(X_{n}-1\right)\) est égale à \(\frac{m(m-1)(n-1)(2 n-1)}{6 n^{2}}\).\\
d) En déduire finalement que la variance de \(X_{n}\) est égale à \(\frac{m(m+2)\left(n^{2}-1\right)}{12 n^{2}}\).\\
4) a) En utilisant les résultats obtenus aux deux premières questions de la première partie, calculer, pour tout \(i\) de \(X_{n}(\Omega), \lim _{n \rightarrow+\infty} P\left(X_{n}=i\right)\).\\
b) En déduire que la suite ( \(X_{n}\) ) converge en loi vers une variable aléatoire \(X\) dont on précisera la loi.\\
c) Vérifier que \(\lim _{n \rightarrow+\infty} E\left(X_{n}\right)=E(X)\) et \(\lim _{n \rightarrow+\infty} V\left(X_{n}\right)=V(X)\).


\end{document}