\documentclass[10pt]{article}
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\title{ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{Concours d'admission sur classes préparatoires}
\section*{MATHEMATIQUES}
\section*{Option économique}
\section*{Vendredi 7 mai 2010 de 8h à 12h}
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

\section*{L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.}
\section*{Exercice 1}
On considère la fonction \(f\) définie, pour tout couple \((x, y)\) de l'ouvert \(] 0,+\infty[\times] 0,+\infty[\), par :

\[
f(x, y)=(x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que, pour tout couple ( \(x, y\) ) de \(] 0,+\infty[\times] 0,+\infty[\), on a :
\end{enumerate}

\[
f(x, y)=2+\frac{y}{x}+\frac{x}{y} \text { et } f(x, y)=\frac{(x+y)^{2}}{x y} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Montrer que \(f\) est de classe \(C^{2}\) sur \(] 0,+\infty[\times] 0,+\infty[\).
  \item Montrer que \(f\) possède une infinité de points critiques et les déterminer.
  \item Déterminer les dérivées partielles secondes de \(f\) et vérifier que ces dernières ne permettent pas de conclure à l'existence d'un extremum local de \(f\) sur \(] 0,+\infty[\times] 0,+\infty[\).
  \item a) Comparer les réels \((x+y)^{2}\) et \(4 x y\).\\
b) En déduire que \(f\) admet sur \(] 0,+\infty[\times] 0,+\infty[\) un minimum global en tous ses points critiques et donner sa valeur.
  \item Soit \(g\) la fonction définie pour tout \((x, y)\) de \(] 0,+\infty[\times] 0,+\infty[\), par :
\end{enumerate}

\[
g(x, y)=2 \ln (x+y)-\ln (x)-\ln (y)
\]

Montrer que : \(\forall(x, y) \in] 0,+\infty[\times] 0,+\infty[, g(x, y) \geq 2 \ln (2)\).

\section*{Exercice 2}
Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(u_{n}=\prod_{k=0}^{n}\left(1+\frac{1}{2^{k}}\right)=(1+1)\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{4}\right) \ldots\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)\).

\begin{enumerate}
  \item Donner, sous forme d'entiers ou de fractions simplifiées, les valeurs de \(u_{0}, u_{1}\) et \(u_{2}\).
  \item a) Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_{n} \geq 2\).\\
b) Exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_{n}\) puis en déduire les variations de la suite ( \(u_{n}\) ).
  \item a) Établir que, pour tout réel \(x\) strictement supérieur à -1 , on a : \(\ln (1+x) \leq x\).\\
b) En déduire, pour tout entier naturel \(n\), un majorant de \(\ln \left(u_{n}\right)\).
  \item En utilisant les questions précédentes, montrer que la suite ( \(u_{n}\) ) converge vers un réel \(\ell\), élément de \(\left[2, e^{2}\right]\).
  \item On se propose dans cette question de déterminer la nature de la série de terme général ( \(\ell-u_{n}\) ).\\
a) Justifier que la suite \(\left(\ln \left(u_{n}\right)\right)_{n \in \mathrm{~N}}\) converge et que l'on a : \(\ln (\ell)=\sum_{k=0}^{+\infty} \ln \left(1+\frac{1}{2^{k}}\right)\).\\
b) Montrer que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), on a : \(\ln \left(\frac{\ell}{u_{n}}\right)=\sum_{k=n+1}^{+\infty} \ln \left(1+\frac{1}{2^{k}}\right)\).\\
c) Vérifier, en utilisant le résultat de la question 3a), que : \(\forall n \in \mathbb{N}, 0 \leq \ln \left(\frac{\ell}{u_{n}}\right) \leq \frac{1}{2^{n}}\).\\
d) Déduire de la question précédente que: \(\forall n \in \mathbb{N}, 0 \leq \ell-u_{n} \leq \ell\left(1-e^{-\frac{1}{2^{n}}}\right)\).\\
e) Justifier que, pour tout réel \(x\), on a : \(1-e^{-x} \leq x\). En déduire que : \(\forall n \in \mathbb{N}, 0 \leq \ell-u_{n} \leq \frac{\ell}{2^{n}}\). Conclure quant à la nature de la série de terme général ( \(\ell-u_{n}\) ).
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}
On considère la fonction \(f\) définie sur R par : \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2 x^{2}} \text { si } x \leq-1 \text { ou } x \geq 1 \\ 0 \text { sinon }\end{array}\right.\).

\begin{enumerate}
  \item a) Vérifier que \(f\) est une fonction paire.\\
b) Montrer que \(f\) peut être considérée comme une fonction densité de probabilité.
\end{enumerate}

Dans la suite, on considère une variable aléatoire \(X\) définie sur un espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ), admettant \(f\) comme densité. On note \(F_{X}\) la fonction de répartition de \(X\).\\
2) La variable aléatoire \(X\) admet-elle une espérance ?\\
3) On pose \(Y=\ln (|X|)\) et on admet que \(Y\) est une variable aléatoire, elle aussi définie sur l'espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ). On note \(F_{Y}\) sa fonction de répartition.\\
a) Montrer que, pour tout réel \(x\), on a : \(F_{Y}(x)=F_{X}\left(e^{x}\right)-F_{X}\left(-e^{x}\right)\).\\
b) Montrer, sans expliciter la fonction \(F_{Y}\), que \(Y\) est une variable aléatoire à densité, puis donner une densité de \(Y\) et vérifier que \(Y\) suit une loi exponentielle dont on donnera le paramètre.\\
4) a) Montrer que, si \(x\) est positif, alors \(1-\mathrm{e}^{-x}\) appartient à \([0,1[\) et montrer que, si \(x\) est strictement négatif, alors \(1-\mathrm{e}^{-x}\) est strictement négatif.\\
b) On considère une variable aléatoire \(U\) suivant la loi uniforme sur [ \(0,1[\). Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire \(Z=-\ln (1-U)\) et reconnaître la loi de \(Z\).\\
c) Simulation informatique de la loi de \(Y\). On rappelle qu'en Turbo Pascal, la fonction random permet de simuler la loi uniforme sur [ 0,1 [. Compléter la déclaration de fonction suivante pour qu'elle simule la loi de \(Y\).

\begin{verbatim}
Function expo : real ;
    Begin
    expo:= _-----;
    End ;
\end{verbatim}

\section*{Problème}
On note \(\mathfrak{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\) et on considère l'endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^{3}\) défini par les égalités suivantes:

\[
f\left(e_{1}\right)=\frac{1}{3}\left(e_{2}+e_{3}\right) \text { et } f\left(e_{2}\right)=f\left(e_{3}\right)=\frac{2}{3} e_{1} \text {. }
\]

\section*{Partie 1 : étude de \(\boldsymbol{f}\).}
\begin{enumerate}
  \item a) Écrire la matrice \(M \operatorname{de} f \operatorname{dans} \mathfrak{B}\).\\
b) Déterminer la dimension de \(\operatorname{Im} f\) puis celle de \(\operatorname{Ker} f\).\\
c) Donner alors une base de \(\operatorname{Ker} f\), puis en déduire une valeur propre de \(f\) ainsi que le sous-espace propre associé.\\
d) Déterminer les autres valeurs propres de \(f\) ainsi que les sous-espaces propres associés.\\
e) En déduire que \(f\) est diagonalisable.
  \item On pose \(P=\left(\begin{array}{ccc}2 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right), Q=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -2\end{array}\right)\) et \(I=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\)\\
a) Justifier sans calcul que \(P\) est inversible, puis déterminer la matrice \(D\) diagonale telle que : \(M=P D P^{-1}\).\\
b) Calculer \(P Q\) puis en déduire \(P^{-1}\).\\
c) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(j\), on a : \(M^{j}=P D^{\mathrm{j}} P^{-1}\).\\
d) Écrire, pour tout entier naturel \(j\) non nul, la première colonne de la matrice \(M^{j}\). Vérifier que ce résultat reste valable si \(j=0\).
\end{enumerate}

\section*{Partie 2: étude d'une suite de variables aléatoires}
Une urne contient 3 boules numérotées de 1 à 3 . Un tirage consiste à extraire au hasard une boule de l'urne puis à la remettre dans l'urne pour le tirage suivant.\\
On définit une suite de variables aléatoires \(\left(X_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}^{*}}\) de la manière suivante :

\begin{itemize}
  \item Pour tout entier naturel \(k\) non nul, \(X_{k}\) est définie après le \(k^{\text {ème }}\) tirage.
  \item On procède au \(1^{\text {er }}\) tirage et \(X_{1}\) prend la valeur du numéro de la boule obtenue à ce tirage.
  \item Après le \(k^{\text {ème }}\) tirage \(\left(k \in \mathbb{N}^{*}\right)\) :
\end{itemize}

Soit \(X_{k}\) a pris la valeur 1 , dans ce cas on procède au \((k+1)^{\text {ème }}\) tirage et \(X_{k+1}\) prend la valeur du numéro obtenu à ce \((k+1)^{\text {ème }}\) tirage.\\
Soit \(X_{k}\) a pris une valeur \(j\), différente de 1 , dans ce cas on procède également au \((k+1)^{\text {ème }}\) tirage et \(X_{k+1}\) prend la valeur \(j\) si la boule tirée porte le numéro \(j\) et la valeur 1 sinon.

\begin{enumerate}
  \item Reconnaître la loi de \(X_{1}\).
  \item Simulation informatique de l'expérience aléatoire décrite dans cette partie.
\end{enumerate}

On rappelle que random \((n)\) renvoie un entier compris entre 0 et \(n-1\).\\
Compléter le programme suivant pour qu'il simule l'expérience aléatoire décrite dans cette partie et pour qu'il affiche la valeur de la variable aléatoire \(X_{k}\), l'entier naturel \(k\) étant entré au clavier par l'utilisateur.

Program simul ;\\
Var \(i, k, X\), tirage : integer ;\\
Begin\\
Randomize ;\\
\(\operatorname{Readln}(k) ; X:=\operatorname{random}(3)+1\);\\
For \(i:=2\) to \(k\) do begin\\
tirage : \(=\operatorname{random}(3)+1\);\\
If \(X=1\) then \(X:=\ldots---\)\\
Else If tirage \(<>X\) then \(X:=\ldots-\)--- ; \(^{\text {; }}\)\\
end ;\\
Writeln \((X)\) :\\
end.\\
3) On note \(U_{k}\) la matrice à 3 lignes et une colonne dont l'élément de la \(i^{\text {ème }}\) ligne est \(P\left(X_{k}=i\right)\).\\
a) Déterminer les probabilités \(P_{\left(X_{k}=j\right)}\left(X_{k+1}=i\right)\), pour tout couple \((i, j)\) de \(\{1,2,3\} \times\{1,2,3\}\).\\
b) On admet que \(\left\{\left(X_{k}=1\right),\left(X_{k}=2\right),\left(X_{k}=3\right)\right\}\) est un système complet d'événements. Déterminer, grâce à la formule des probabilités totales, la matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\), telle que, pour tout entier naturel \(k\) non nul, on a : \(U_{k+1}=A U_{k}\).\\
c) Montrer qu'en posant \(U_{0}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\), alors, pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\), on a : \(U_{k}=A^{k} U_{0}\).\\
4) a) Vérifier que \(A=M+\frac{1}{3} I\), puis établir que, pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\), on a : \(A^{k}=\sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}\left(\frac{1}{3}\right)^{k-j} M^{j}\).\\
b) En déduire les 3 éléments de la première colonne de la matrice \(A^{k}\), puis vérifier que la loi de \(X_{k}\) est donnée par :

\[
\forall k \in \mathbb{N}^{*}, P\left(X_{k}=1\right)=\frac{1}{2}\left(1+\left(-\frac{1}{3}\right)^{k}\right), P\left(X_{k}=2\right)=P\left(X_{k}=3\right)=\frac{1}{4}\left(1-\left(-\frac{1}{3}\right)^{k}\right) .
\]

c) Montrer que la suite ( \(X_{k}\) ) converge en loi vers une variable aléatoire \(X\) dont on donnera la loi.\\
5) a) Calculer l'espérance \(E\left(X_{k}\right)\) de \(X_{k}\).\\
b) Écrire une fonction Pascal, notée esp, qui renvoie \(E\left(X_{k}\right)\) à l'appel de \(\operatorname{esp}(k)\).


\end{document}