\documentclass[10pt]{article}
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\DeclareUnicodeCharacter{25A1}{\ifmmode\square\else{$\square$}\fi}

\begin{document}
\section*{ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD}
\section*{Concours d'admission sur classes préparatoires}
\section*{MATHEMATIQUES}
\section*{Option économique}
\section*{Lundi 6 mai 2013 de 8h à 12h}
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

\section*{Exercice 1}
On se propose d'étudier la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in}\), définie par la donnée de \(u_{0}=0\) et par la relation, valable pour tout entier naturel \(n\) : \(u_{n+1}=\frac{u_{n}^{2}+1}{2}\).

\begin{enumerate}
  \item a) Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(0 \leq u_{n} \leq 1\).\\
b) Étudier les variations de la suite ( \(u_{n}\) ).\\
c) Déduire des questions précédentes que la suite ( \(u_{n}\) ) converge et donner sa limite.
  \item a) Écrire une fonction Pascal qui renvoie la valeur de \(u_{n}\).\\
b) En déduire un programme, rédigé en Turbo Pascal, qui permet de déterminer et d'afficher la plus petite valeur de \(n\) pour laquelle on a : \(0<1-u_{n}<10^{-3}\).
  \item Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(v_{n}=1-u_{n}\).\\
a) Pour tout entier naturel \(k\), exprimer \(v_{k}-v_{k+1}\) en fonction de \(v_{k}\).\\
b) Simplifier, pour tout entier naturel \(n\) non nul, la somme \(\sum_{k=0}^{n-1}\left(v_{k}-v_{k+1}\right)\).\\
c) Donner pour finir la nature de la série de terme général \(v_{n}^{2}\) ainsi que la valeur de \(\sum_{n=0}^{+\infty} v_{n}^{2}\).
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}
\begin{enumerate}
  \item On note \(\mathfrak{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)\) la base canonique de \(\square^{3}\) et on considère l'endomorphisme \(f\) de \(\square^{3}\) dont la matrice dans la base \(\mathscr{B}\) est :
\end{enumerate}

\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 2 \\
-1 & -1 & -1 \\
-1 & 0 & -1
\end{array}\right)
\]

a) Vérifier que l'on a \(A^{2} \neq 0\) et calculer \(A^{3}\).\\
b) Déterminer une base (a) de \(\operatorname{Ker} f\) ainsi qu'une base ( \(b, c\) ) de \(\operatorname{Im} f\).\\
c) Montrer que \(\operatorname{Im} f^{2}=\operatorname{Ker} f\).

Dans la suite, on considère un endomorphisme \(g\) de \(\square^{3}\) tel que : \(g^{2} \neq 0\) et \(g^{3}=0\), ce qui signifie que \(g \circ g\) n'est pas l'endomorphisme nul, mais que \(g \circ g \circ g\) est l'endomorphisme nul.\\
En désignant par \(M\) la matrice de \(g\) dans la base canonique \(\mathcal{B}\) de \(\square^{3}\), on a donc :

\[
M^{2} \neq 0 \text { et } M^{3}=0
\]

On se propose de montrer, dans ce cas plus général, que \(\operatorname{Im} g^{2}=\operatorname{Ker} g\).\\
2) a) Montrer que 0 est la seule valeur propre possible de \(g\).\\
b) Montrer, en raisonnant par l'absurde, que 0 est la seule valeur propre de \(g\).\\
c) En déduire, toujours en raisonnant par l'absurde, que \(g\) n'est pas diagonalisable.\\
3) a) Justifier qu'il existe un vecteur \(u\) de \(\square^{3}\) tel que \(g^{2}(u) \neq 0\).\\
b) Montrer que ( \(u, g(u), g^{2}(u)\) ) est une base de \(\square^{3}\), que l'on notera \(\mathcal{B}^{\prime}\).\\
c) Donner la matrice \(N\) de \(g\) dans la base \(\mathcal{B}^{\prime}\).\\
d) Déterminer \(\operatorname{Im} g\) et donner sa dimension. En déduire une base de Ker \(g\). Pour finir, déterminer \(\operatorname{Im} g^{2}\) puis conclure.

\section*{Exercice 3}
Dans cet exercice, la lettre \(n\) désigne un entier naturel.\\
On dispose d'une urne contenant au départ \(n\) boules blanches et ( \(n+2\) ) boules noires. On dispose également d'une réserve infinie de boules blanches et de boules noires.\\
Pour tout entier naturel \(j\), on dit que l'urne est dans l'état \(j\) lorsqu'elle contient \(j\) boules blanches et \((j+2)\) boules noires. Au départ, l'urne est donc dans l'état \(n\).

On réalise une succession d'épreuves, chaque épreuve se déroulant selon le protocole suivant : Pour tout entier naturel \(j\) non nul, si l'urne est dans l'état \(j\), on extrait une boule au hasard de l'urne.

\begin{itemize}
  \item Si l'on obtient une boule blanche, alors cette boule n'est pas remise dans l'urne et on enlève de plus une boule noire de l'urne, l'urne est alors dans l'état ( \(j-1\) ).
  \item Si l'on obtient une boule noire, alors cette boule est remise dans l'urne et on remet en plus une boule blanche et une boule noire dans l'urne, l'urne est alors dans l'état ( \(j+1\) ).
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \item Dans cette question, on suppose que \(n=1\) (l'urne contient donc une boule blanche et 3 boules noires) et on note \(X_{1}\) la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches encore présentes dans l'urne après la première épreuve et \(X_{2}\) la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches encore présentes dans l'urne après la deuxième épreuve.\\
On admet que \(X_{1}\) et \(X_{2}\) sont définies sur un certain espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ) que l'on ne cherchera pas à déterminer.\\
a) Donner la loi de \(X_{1}\).\\
b) Utiliser la formule des probabilités totales pour déterminer la loi de \(X_{2}\).\\
c) Simulation informatique de l'expérience aléatoire décrite ci-dessus.
\end{enumerate}

On rappelle que random( \(n\) ) renvoie au hasard un entier compris entre 0 et \(n-1\).\\
Compléter le programme suivant pour qu'il simule l'expérience aléatoire décrite dans cet exercice et pour qu'il affiche les valeurs des variables aléatoires \(X_{1}\) et \(X_{2}\).

\begin{verbatim}
Program simul ;
\(\operatorname{Var} X 1, X 2\), tirage : integer ;
Begin
Randomize ;
tirage : \(=\) random(4) ; If tirage \(=0\) then \(X 1:=\)------ else \(X 1:=\)------ ;
If \((X 1=0)\) then \(X 2:=\ldots--\)
    Else begin tirage : = random(6) ;
            If tirage <= 1 then \(X 2\) : = __-_-- else \(X 2:=\) _----- ;
        end ;
Writeln \((X 1, X 2)\);
end.
\end{verbatim}

On revient au cas général ( \(n\) est donc un entier naturel quelconque supérieur ou égal à 1) et on décide que les tirages s'arrêtent dès que l'urne ne contient plus de boules blanches.\\
Pour tout \(j\) de □ , on note alors \(E_{j}\) l'événement : « l'urne est dans l'état \(j\) initialement et les tirages s' arrêtent au bout d'un temps fini ». On pose \(e_{j}=P\left(E_{j}\right)\) et l'on a bien sûr \(e_{0}=1\).\\
2) Montrer, en considérant les deux résultats possibles du premier tirage (c'est-à-dire au début du jeu lorsque l'urne est dans l'état \(n\) ) que :

\[
\forall n \in \square^{*}, e_{n}=\frac{n}{2 n+2} e_{n-1}+\frac{n+2}{2 n+2} e_{n+1} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item a) Montrer par récurrence que : \(\forall n \in \square, e_{n} \geq e_{n+1}\).\\
b) En déduire que la suite ( \(e_{n}\) ) est convergente.
\end{enumerate}

On admet pour la suite que \(\lim _{n \rightarrow+\infty} e_{n}=0\).\\
4) Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(u_{n}=(n+1) e_{n}\).\\
a) Pour tout entier naturel \(n\) de \(\square^{*}\), écrire \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_{n}\) et \(u_{n-1}\).\\
b) En déduire l'expression de \(u_{n}\) en fonction de \(n\) et \(e_{1}\).\\
c) Montrer enfin que l'on a : \(\forall n \in \square, e_{n}=\left(2 e_{1}-1\right) \frac{n}{n+1}+\frac{1}{n+1}\).

Déterminer la valeur de \(e_{1}\), puis en déduire, pour tout entier naturel \(n\), l'expression de \(e_{n}\) en fonction de \(n\).

\section*{Problème}
\begin{enumerate}
  \item On considère la fonction \(f\) définie pour tout \(x\) réel par : \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}1-x \mid \text { si } x \in[-1,1] \\ 0 \text { sinon }\end{array}\right.\).\\
a) Calculer \(\int_{0}^{1} f(x) d x\). En déduire sans calcul \(\int_{-1}^{0} f(x) d x\).\\
b) Vérifier que \(f\) peut être considérée comme une densité.
\end{enumerate}

On considère dorénavant une variable aléatoire \(X\), définie sur un espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ), et admettant \(f\) comme densité.\\
2) a) Établir l'existence de l'espérance de \(X\), puis donner sa valeur.\\
b) Établir l'existence de la variance de \(X\), puis donner sa valeur.\\
3) Montrer que la fonction de répartition de \(X\), notée \(F_{X}\), est définie par :

\[
F_{X}(x)= \begin{cases}0 \text { si } x<-1 & \\ \frac{1}{2}+x+\frac{x^{2}}{2} & \text { si }-1 \leq x \leq 0 \\ \frac{1}{2}+x-\frac{x^{2}}{2} & \text { si } 0<x \leq 1 \\ 1 \text { si } x>1 & \end{cases}
\]

On pose \(Y=|X|\) et on admet que \(Y\) est une variable aléatoire à densité, elle aussi définie sur l'espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ). On note \(F_{Y}\) sa fonction de répartition.\\
4) a) Donner la valeur de \(F_{Y}(x)\) lorsque \(x\) est strictement négatif.\\
b) Pour tout réel \(x\) positif ou nul, exprimer \(F_{Y}(x)\) à l'aide de la fonction \(F_{X}\).\\
c) En déduire qu'une densité de \(Y\) est la fonction \(g\) définie par :

\[
g(x)=\left\{\begin{array}{l}
2(1-x) \text { si } x \in[0,1] \\
0 \text { sinon }
\end{array}\right.
\]

d) Montrer que \(Y\) possède une espérance et une variance et les déterminer.\\
5) On considère deux variables aléatoires \(U\) et \(V\), elles aussi définies sur ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ), indépendantes et suivant toutes les deux la loi uniforme sur [ 0,1 ].\\
On pose \(I=\operatorname{Inf}(U, V)\), c'est-à-dire que, pour tout \(\omega\) de \(\Omega\), on a \(I(\omega)=\operatorname{Min}(U(\omega), V(\omega))\).\\
On admet que \(I\) est une variable aléatoire à densité, elle aussi définie sur ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ), et on rappelle que, pour tout réel \(x\), on a \(P(I>x)=P([U>x] \cap[V>x])\).\\
Pour finir, on note \(F_{I}\) la fonction de répartition de \(I\).\\
a) Expliciter \(F_{I}(x)\) pour tout réel \(x\).\\
b) En déduire que \(I\) suit la même loi que \(Y\).\\
6) On considère plus généralement \(n\) variables aléatoires \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}(n \geq 2)\), toutes définies sur \((\Omega, \mathcal{A}, P)\), indépendantes et suivant la loi uniforme sur \([0,1]\). On pose \(I_{n}=\operatorname{Inf}\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right)\). Déterminer la fonction de répartition de \(I_{n}\) et montrer que la suite \(\left(I_{n}\right)\) converge en loi vers une variable aléatoire dont on précisera la loi.\\
7) Simulation informatique de la loi de \(Y\).

Compléter la déclaration de fonction suivante pour qu'elle simule la loi de \(Y\).

\begin{verbatim}
Function y: real ;
Var u,v:real;
Begin
    Randomize ;
    u:= _-----; v:= _-----;
    If (u<v) then y:= _----- else y:= _-----;
End ;
\end{verbatim}


\end{document}