\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{bbold}

\title{Conception : EDHEC BS }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
Code sujet : 298

\section*{OPTION ECONOMIQUE}
\section*{MATHÉMATIQUES}
Mardi 4 mai 2021, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

\section*{Exercice 1}
Soit \(f\) la fonction de \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par :

\[
\forall(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}, f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3 x y
\]

\section*{Partie 1}
\begin{enumerate}
  \item Justifier que \(f\) est une fonction de classe \(C^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{2}\).
  \item a) Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de \(f\).\\
b) Déterminer les points critiques de \(f\).
  \item a) Calculer les dérivées partielles d'ordre 2 de \(f\).\\
b) Vérifier que \(f\) ne présente un extremum local qu'en un seul de ses points critiques et préciser sa nature et sa valeur.
  \item Cet extremum est-il global ?
\end{enumerate}

\section*{Partie 2}
On note \(g\) la fonction de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par:

\[
\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=f(x, 1)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 4, l'équation \(g(x)=n\), d'inconnue \(x\), possède une unique solution que l'on notera \(u_{n}\).
  \item On note \(h\) la restriction de \(g\) à \([1,+\infty[\).\\
a) Dresser le tableau de variations de \(h^{-1}\).\\
b) Calculer \(\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}\).\\
c) En déduire, en revenant à la définition de \(u_{n}\), le réel a pour lequel on a : \(u_{n} \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} n^{\alpha}\).
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}
Toutes les variables aléatoires rencontrées dans cet exercice sont supposées définies sur un espace probabilisé ( \(\Omega, A, P\) ) que l'on ne cherchera pas à déterminer.

\begin{enumerate}
  \item a) Vérifier que la fonction \(f\) qui à tout réel \(x\) associe \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2}{x^{3}} \exp \left(-\frac{1}{x^{2}}\right) & \text { si } x>0 \\ 0 & \text { si } x \leq 0\end{array}\right.\) peut être considérée comme une densité d'une certaine variable aléatoire \(Y\).\\
b) On note \(F\) la fonction de répartition de \(Y\). Déterminer \(F(x)\) selon que \(x>0\) ou \(x \leq 0\).
  \item a) Vérifier que la fonction \(g\) qui à tout réel \(x\) associe \(g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2}{x^{3}} & \text { si } x \geq 1 \\ 0 & \text { si } x<1\end{array}\right.\) peut être considérée comme une densité d'une certaine variable aléatoire \(X\).\\
b) On note \(G\) la fonction de répartition de \(X\). Déterminer \(G(x)\) selon que \(x \geq 1\) ou \(x<1\).
  \item On considère une suite \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) de variables aléatoires mutuellement indépendantes, et suivant toutes la même loi que \(X\).\\
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose \(M_{n}=\max \left(X_{1}, \ldots, X_{, n}\right)\) et on admet que \(M_{n}\) est une variable aléatoire à densité, définie elle aussi sur l'espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ).\\
a) On note \(G_{n}\) la fonction de répartition de \(M_{n}\). Exprimer \(G_{n}(x)\) à l'aide de la fonction \(G\) puis en déduire explicitement \(G_{n}(x)\) en fonction de \(x\).\\
b) On pose \(Y_{n}=\frac{M_{n}}{\sqrt{n}}\). Justifier que la fonction de répartition \(F_{n}\) de \(Y_{n}\) est donnée par:
\end{enumerate}

\[
\forall x \in \mathbb{R}, F_{n}(x)= \begin{cases}\left(1-\frac{1}{n x^{2}}\right)^{n} & \text { si } x \geq \frac{1}{\sqrt{n}} \\ 0 & \text { si } x<\frac{1}{\sqrt{n}}\end{cases}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Déterminer, pour tout réel \(x\) négatif ou nul, la limite de \(F_{n}(x)\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
  \item a) Soit \(x\) un réel strictement positif. Vérifier que, dès que \(n\) est supérieur strictement à la partie entière de \(\frac{1}{x^{2}}\), on a : \(F_{n}(x)=\left(1-\frac{1}{n x^{2}}\right)^{n}\).\\
b) Donner un équivalent de \(\ln (1+u)\) lorsque \(u\) est au voisinage de 0 , puis en déduire, pour tout réel \(x\) strictement positif, la limite de \(F_{n}(x)\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
  \item Conclure que la suite \(\left(Y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) converge en loi vers une variable aléatoire dont la loi est celle de \(Y\).
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}
On considère un nombre réel \(a\) élément de \(] 0,1\) [ et l'endomorphisme \(f_{a}\) de \(\mathbb{R}^{3}\) dont la matrice dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\) est \(M_{a}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 1-a & a & 0 \\ 0 & 1-a & a\end{array}\right)\).

\begin{enumerate}
  \item a) Donner les valeurs propres de \(M_{a}\).\\
b) Déterminer les sous-espaces propres associés à ces valeurs propres.\\
c) En déduire que \(M_{a}\) n'est pas diagonalisable.
  \item On pose \(I=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\) et on note \(E\) l'espace vectoriel engendré par \(I, M_{a}\) et \(M_{a}^{2}\).\\
a) Quelle est la dimension de \(E\) ?\\
b) On pose \(J=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1\end{array}\right)\) et \(K=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)\).
\end{enumerate}

Calculer \(J K^{2}\) puis en déduire \(\left(M_{a}-I\right)\left(M_{a}-a I\right)^{2}\).\\
c) En déduire que \(M_{a}^{3}\) appartient à \(E\).\\
3) a) Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), il existe un unique triplet de réels \(\left(u_{n}, v_{n}, w_{n}\right)\), tel que:

\[
\forall n \in \mathbb{N}, M_{a}^{n}=u_{n} M_{a}^{2}+v_{n} M_{a}+w_{n} I
\]

On donnera les valeurs de \(u_{0}, v_{0}\) et \(w_{0}\) et on écrira les relations liant \(u_{n+1}, v_{n+1}, w_{n+1}\) à \(u_{n}\), \(v_{n}\) et \(w_{n}\).\\
b) En utilisant les relations précédentes, expliquer pourquoi le script Scilab qui suit ne permet pas de calculer et d'afficher les valeurs de \(u_{n}, v_{n}\) et \(w_{n}\) lorsque \(n\) et \(a\) sont entrés par l'utilisateur. On pourra examiner attentivement la boucle « for ».

\begin{verbatim}
n=input('entrez une valeur pour n :')
a=input('entrez une valeur pour a :')
u=0
v=0
w=1
for k=1:n
u=(2*a+1)*u+v
v=-a*(a+2)*u+w
w=a*a*u
end
disp(w, v,u)
\end{verbatim}

c) Modifier la boucle de ce script en conséquence.\\
4) Montrer que: \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+3}=(2 a+1) u_{n+2}-a(a+2) u_{n+1}+a^{2} u_{n}\).

On admet que l'on peut en déduire \(u_{n}\), pour tout entier naturel \(n\), sous la forme :

\[
u_{n}=\frac{(n-1) a^{n}-n a^{n-1}+1}{(a-1)^{2}}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item On dit qu'une suite de matrices \(\left(A_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) tend vers la matrice \(A\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) si chaque coefficient de \(A_{n}\) tend vers le coefficient situé à la même place dans \(A\).\\
Il en résulte (et on admet ce résultat) que \(\lim _{n \rightarrow+\infty} M_{a}^{n}=\left(\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}\right) M_{a}^{2}+\left(\lim _{n \rightarrow+\infty} v_{n}\right) M_{a}+\left(\lim _{n \rightarrow+\infty} w_{n}\right) I\).\\
a) Déterminer \(\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}\), puis \(\lim _{n \rightarrow+\infty} v_{n}\) et \(\lim _{n \rightarrow+\infty} w_{n}\).\\
b) En déduire la limite \(L_{a}\), lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\), de la suite \(\left(M_{a}^{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\).\\
c) Vérifier que \(L_{a}{ }^{2}=L_{a}\).
  \item On note \(\varphi_{a}\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) dont la matrice dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\) est \(L_{a}\). Montrer que :\\
a) \(\forall x \in \operatorname{Ker}\left(f_{a}-I d\right), \varphi_{a}(x)=x\).\\
b) \(\forall x \in \operatorname{Im}\left(f_{a}-I d\right), \varphi_{a}(x)=0\).
\end{enumerate}

\section*{Problème}
On dispose de deux pièces identiques donnant pile avec la probabilité \(p\), élément de \(] 0,1[\), et face avec la probabilité \(q=1-p\).

\section*{Partie 1 : un jeu naïf}
Deux joueurs \(A\) et \(B\) s'affrontent lors de lancers de ces pièces de la façon suivante, les lancers de chaque pièce étant supposés indépendants :\\
Pour la première manche, \(A\) et \(B\) lancent chacun leur pièce simultanément jusqu'à ce qu'ils obtiennent pile, le gagnant du jeu étant celui qui a obtenu pile le premier. En cas d'égalité et en cas d'égalité seulement, les joueurs participent à une deuxième manche dans les mêmes conditions et avec la même règle, et ainsi de suite jusqu'à la victoire de l'un d'entre eux.\\
Pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on note \(X_{k}\) (resp. \(Y_{k}\) ) la variable aléatoire égale au rang d'obtention du \(1^{\text {er }}\) pile par \(A\) (resp. par \(B\) ) lors de la \(k\)-ième manche.\\
On note, toujours pour \(k\) dans \(\mathbb{N}^{*}, E_{k}\) l'événement : « Il y a égalité à la fin de la \(k\)-ième manche».\\
On note \(E\) l'événement: « Il y a perpétuellement égalité ».\\
On note \(G\) (resp. \(H\) ) l'événement : « \(A\) (resp. \(B\) ) gagne à ce jeu», et pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(G_{n}\) (resp. \(H_{n}\) ) l'événement : « \(A\) (resp. \(B\) ) gagne le jeu à la \(n\)-ième manche».

\begin{enumerate}
  \item Étude de la première manche.\\
a) Donner la loi commune à \(X_{1}\) et \(Y_{1}\). En déduire qu'il est quasi-impossible que la première manche dure éternellement. On admet alors qu'il en est de même pour chaque manche jouée.\\
b) Écrire l'événement \(E_{1}\) à l'aide des variables \(X_{1}\) et \(Y_{1}\).\\
c) Montrer que \(P\left(E_{1}\right)=\sum_{i=1}^{+\infty} P\left(X_{1}=i\right) P\left(Y_{1}=i\right)\) et en déduire l'expression explicite de \(P\left(E_{1}\right)\) en fonction de \(p\) et \(q\).\\
d) Justifier sans aucun calcul que les événements \(G_{1}\) et \(H_{1}\) sont équiprobables. En déduire la probabilité de \(G_{1}\) en fonction de \(p\) et \(q\).
  \item Calcul de la probabilité de l'événement \(G\)\\
a) Écrire, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2 , l'événement \(G_{n}\) à l'aide des événements \(E_{k}\) et de l'événement ( \(X_{n}<Y_{n}\) ).\\
b) Pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à 2 , calculer \(P_{E_{1} \cap \ldots \cap E_{k-1}}\left(E_{k}\right)\) puis en déduire :
\end{enumerate}

\[
\forall n \geq 2, P\left(G_{n}\right)=\left(\frac{p}{1+q}\right)^{n-1} \frac{q}{1+q} .
\]

c) Vérifier que le résultat précédent reste valable pour \(n=1\).\\
d) Exprimer \(G\) en fonction des \(G_{n}\) puis conclure, après calcul, que : \(P(G)=\frac{1}{2}\).\\
e) Expliquer comment obtenir la probabilité de l'événement \(H\) : « \(B\) gagne à ce jeu» et en déduire que ce jeu a presque sûrement une fin, c'est-à-dire que \(P(E)=0\).

\section*{Partie 2 : un autre jeu}
En parallèle du jeu précédent, \(A\) parie sur le fait que la manche gagnée par le vainqueur le sera par un lancer d'écart et \(B\) parie le contraire.\\
3) a) À l'aide du système complet d'événements \(\left(X_{1}=i\right)_{i \in \mathbb{N}^{*}}\), montrer que \(P\left(Y_{1}=X_{1}+1\right)=\frac{p q}{1+q}\).\\
b) En déduire la probabilité \(u\) que l'un des deux joueurs gagne à la première manche par un lancer d'écart.\\
4) a) Utiliser les événements \(E_{k}\) pour écrire l'événement \(K_{n}\) «l'un des deux joueurs gagne à la \(n\)-ième manche par un lancer d'écart», ceci pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\).\\
b) En déduire, pour tout entier naturel \(n\) non nul, la valeur de \(P\left(K_{n}\right)\).\\
5) Donner finalement la probabilité de l'événement \(K\) : « \(A\) gagne ce pari ».

\section*{Partie 3 : informatique}
On rappelle que la commande grand \((1,1\), 'geom', p) permet à Scilab de simuler une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre \(p\).\\
6) Compléter le script Scilab suivant pour qu'il simule l'expérience décrite dans la partie 1 et affiche le nom du vainqueur du premier jeu ainsi que le numéro de la manche à laquelle il a gagné.

\begin{verbatim}
p=input('entrez une valeur pour p')
c=1
X=grand(1,1, 'geom',p)
Y=grand(1,1, 'geom',p)
while X==Y
    X=------
    Y=------
    C=------
end
if X<Y then ------
        else __-----
end
disp (c)
\end{verbatim}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{6}
  \item Compléter la commande suivante afin qu'une fois ajoutée au script précédent elle permette de simuler le deuxième jeu et d'en donner le nom du vainqueur?\\
if ------ then disp('A gagne le deuxième jeu') else ------ end
\end{enumerate}

\end{document}