\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\graphicspath{ {./images/} }
\usepackage{bbold}
\usepackage{mathrsfs}

\begin{document}
\section*{Conception : EDHEC BS}
\section*{MATHEMATIQUES APPLIQUEES}
\section*{FILIÈRE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE}
\section*{VOIE GÉNÉRALE}
Jeudi 4 mai 2023, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

On suppose, et c'est valable pour toute l'épreuve, que les librairies numpy, numpy. random et numpy.linalg de Python sont importées avec les commandes respectives import numpy as np, import numpy.random as rdet import numpy.linalg as al.

\section*{Exercice 1}
On considère le graphe \(G\) suivant et on note \(A\) la matrice d'adjacence de \(G\).\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}, center]{be1e5e49-99e0-4bdd-b8e9-6a68ca251700-1_378_673_2165_593}

\begin{enumerate}
  \item Déterminer la matrice \(A\) en expliquant sa construction.
  \item a) Par lecture du graphe, donner (en listant leurs sommets) les chaînes de longueur 3 reliant les sommets 2 et 3 . Combien y en a-t-il?\\
b) On considère la fonction Python suivante :
\end{enumerate}

\begin{verbatim}
def f(M,k):
    N=al.matrix_power(M,k)
    return N
\end{verbatim}

On suppose que l'on a saisi la matrice \(A\) et on considère les instructions:

\begin{verbatim}
B=f (A, .--)
n=B [---]
print(n)
\end{verbatim}

Compléter ces instructions pour qu'elles permettent l'affichage du nombre trouvé à la question 2a).\\
On note \(D\) la matrice diagonale, appelée matrice des degrés de \(G\), dont l'élément diagonal situé à la ligne \(i\) et à la colonne \(i\) est le degré du sommet numéro \(i\) (ceci étant valable pour tout \(i \in \llbracket 1,5 \rrbracket\) ).\\
On définit également la matrice \(L\), appelée matrice laplacienne de \(G\), en posant \(L=D-A\).\\
On note \(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}, \lambda_{5}\) les valeurs propres non nécessairement distinctes de \(L\) et on suppose \(\lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \lambda_{3} \leq \lambda_{4} \leq \lambda_{5}\).\\
3) a) Déterminer la matrice \(D\).\\
b) Vérifier que l'on a \(L=\left(\begin{array}{ccccc}2 & -1 & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1\end{array}\right)\).\\
c) Pourquoi la matrice \(L\) est-elle diagonalisable ?\\
4) On se propose dans cette question de montrer que les valeurs propres de \(L\) sont positives ou nulles et que \(\lambda_{1}=0\).\\
Soit \(X=\left(\begin{array}{l}a \\ b \\ c \\ d \\ e\end{array}\right)\) et \(U=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)\).\\
a) On identifie une matrice de \(\mathcal{M}_{1}(\mathbb{R})\) à un réel. À quel ensemble appartient la quantité \({ }^{t} X L X\) ?\\
b) Exprimer \({ }^{t} X L X\) en fonction de \(a, b, c, d\) et \(e\) puis montrer que l'on a:

\[
{ }^{t} X L X=(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-d)^{2}+(d-a)^{2}+(e-d)^{2}
\]

c) On suppose que \(X\) est un vecteur propre de \(L\) associé à une certaine valeur propre \(\lambda\). Déterminer \(L X\) puis \({ }^{t} X L X\) en fonction de \(\lambda, a, b, c, d\) et \(e\). En déduire que les valeurs propres de \(L\) sont positives ou nulles.\\
d) Déterminer \(L U\) et en déduire que \(\lambda_{1}=0\).\\
5) a) À l'aide de la question 3b), montrer l'équivalence :

\[
L X=0 \Leftrightarrow X \in \operatorname{Vect}(U)
\]

b) Conclure que \(\lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}\) et \(\lambda_{5}\) sont des réels strictement positifs.

\section*{Exercice 2}
\begin{enumerate}
  \item Donner un exemple, d'une fonction \(f\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) pour laquelle il existe un réel \(K\) élément de ]0,1[ tel que, pour tout couple \((x, y)\) de réels, on ait:
\end{enumerate}

\[
|f(x)-f(y)| \leq K \times|x-y|
\]

On considère pour toute la suite une fonction \(f\) vérifiant la condition précédente.\\
On dit que \(f\) est \(K\)-contractante.\\
2) Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).\\
3) À l'aide de la relation (*), montrer par l'absurde que l'équation \(f(x)=x\) admet au plus une solution.\\
4) On considère la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par la donnée du réel \(u_{0}\) et la relation de récurrence \(u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)\), valable pour tout entier naturel \(n\).\\
a) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a :

\[
\left|u_{n+1}-u_{n}\right| \leq K^{n} \times\left|u_{1}-u_{0}\right|
\]

b) Établir la convergence de la série de terme général \(u_{n+1}-u_{n}\), puis en déduire que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est convergente. On note \(a\) sa limite.\\
c) Conclure que l'équation \(f(x)=x\) admet une unique solution.\\
5) On désigne par \(n\) et \(p\) des entiers naturels (avec \(p \geq 1\) ).\\
a) Justifier que l'on a: \(\sum_{i=n}^{n+p-1}\left|u_{i+1}-u_{i}\right| \leq \sum_{i=n}^{n+p-1} K^{i} \times\left|u_{1}-u_{0}\right|\).\\
b) En déduire l'inégalité :

\[
\left|u_{n+p}-u_{n}\right| \leq K^{n} \times \frac{1-K^{p}}{1-K}\left|u_{1}-u_{0}\right|
\]

c) Établir enfin l'inégalité suivante :

\[
\left|a-u_{n}\right| \leq \frac{K^{n}}{1-K} \times\left|u_{1}-u_{0}\right|
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item Étude d'un exemple : on considère la fonction \(f\) définie par:
\end{enumerate}

\[
\forall t \in \mathbb{R}, f(t)=\frac{1}{1+\mathrm{e}^{t}}
\]

a) Justifier que \(f\) est de classe \(C^{2}\) sur \(\mathbb{R}\) puis calculer \(f^{\prime}(t)\) et \(f^{\prime \prime}(t)\), pour tout réel \(t\).\\
b) Déterminer les variations de \(f^{\prime}\) sur \(\mathbb{R}\) et établir enfin l'inégalité:

\[
\forall t \in \mathbb{R},\left|f^{\prime}(t)\right| \leq \frac{1}{4}
\]

c) En déduire que \(f\) est \(\frac{1}{4}\)-contractante.\\
d) On considère la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par la donnée de \(u_{0}=0\) et par la relation de récurrence \(u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)\), valable pour tout entier naturel \(n\). Montrer que cette suite est convergente. On note toujours \(a\) sa limite.\\
e) Compléter la fonction Python ci-dessous afin qu'elle renvoie, pour une valeur donnée de \(n\), la valeur de \(u_{n}\) à l'appel de suite (n) :

\begin{verbatim}
def suite(n):
    u=------
    for k in range(1,n+1):
        u=------
    return u
\end{verbatim}

f) En s'appuyant sur le résultat de la question 5c), établir que \(u_{n}\) est une valeur approchée de \(a\) à moins de \(10^{-3}\) près dès que \(n\) vérifie \(4^{n} \geq 2000 / 3\).\\
g) En déduire un programme Python, utilisant la fonction précédente, qui calcule et affiche la valeur approchée de \(a\) qui en résulte.

\section*{Exercice 3}
On considère deux réels \(a\) et \(b\) ainsi que la matrice \(A=\left(\begin{array}{ll}a & 1 \\ 0 & b\end{array}\right)\).

\begin{enumerate}
  \item a) Montrer que si \(a=b\), alors \(A\) ne possède qu'une seule valeur propre.\\
b) En déduire par l'absurde que, si \(a=b\), la matrice \(A\) n'est pas diagonalisable.
  \item On suppose dans cette question que \(a \neq b\).\\
a) Quelles sont les valeurs propres de \(A\) ?\\
b) Calculer \(A\binom{1}{0}\) et \(A\binom{1}{b-a}\). Qu'en déduire concernant les vecteurs \(\binom{1}{0}\) et \(\binom{1}{b-a}\) ?\\
c) Montrer que la famille \(\mathfrak{B}=\left(\binom{1}{0},\binom{1}{b-a}\right)\) est une base de \(\mathscr{M}_{2,1}(\mathbb{R})\) puis écrire la matrice \(P\) de passage de la base canonique de \(\mathscr{M}_{2,1}(\mathbb{R})\) à la base \(\mathcal{B}\).\\
d) Déterminer une matrice diagonale \(D\) telle que \(A P=P D\), puis conclure que \(A\) est diagonalisable.
  \item On considère deux variables aléatoires, \(X\) et \(Y\), indépendantes et suivant la même loi géométrique de paramètre \(\frac{1}{2}\).\\
a) Établir l'égalité:
\end{enumerate}

\[
P(X=Y)=\sum_{n=1}^{+\infty} P(X=n) P(Y=n)
\]

b) En déduire explicitement \(P(X=Y)\).\\
4) a) Soit \(A(X, Y)\) la matrice aléatoire définie par \(A(X, Y)=\left(\begin{array}{ll}X & 1 \\ 0 & Y\end{array}\right)\). Déterminer la probabilité \(p\) pour que \(A(X, Y)\) ne soit pas diagonalisable.\\
b) On considère le script Python suivant :

\begin{verbatim}
m=int(input('entrez une valeur entière pour m :'))
c=0
for k in range(m):
    X=rd.geometric(1/2)
    Y=rd.geometric(1/2)
    if X==Y:
        c=c+1
i=1-c/m
print(i)
\end{verbatim}

Pour de grandes valeurs de l'entier naturel \(m\), de quel réel le contenu de la variable i est-il proche?

\section*{Problème}
\section*{Partie 1 : propriété d'une loi de probabilité}
On désigne par \(c\) un réel strictement positif et on considère la fonction \(f\) définie par :

\[
f(x)= \begin{cases}\frac{c}{x^{1+c}} & \text { si } x \geq 1 \\ 0 & \text { si } x<1\end{cases}
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(f\) peut être considérée comme une densité.
\end{enumerate}

On considère dans la suite une variable aléatoire \(X\) de densité \(f\) et on note \(F\) sa fonction de répartition.\\
On dit que \(X\) suit la loi de Pareto de paramètre \(c\).\\
2) Déterminer, pour tout réel \(x\), l'expression de \(F(x)\) en fonction de \(x\) et \(c\).\\
3) Soit \(t\) un réel strictement supérieur à 1 .\\
a) Déterminer, en distinguant les cas \(x \geq 1\) et \(x<1\), la probabilité conditionnelle \(P_{(X>t)}(X \leq t x)\).\\
b) En déduire que la loi de \(\frac{X}{t}\), conditionnellement à l'événement \((X>t)\), est la loi de \(X\).

\section*{Partie 2 : réciproque de la propriété précédente}
On considère une variable aléatoire \(Y\) de densité \(g\) nulle sur \(]-\infty, 1[\), strictement positive et continue sur \([1,+\infty[\). On pose \(c=g(1)\) et on note \(G\) la fonction de répartition de \(Y\).\\
Dans toute la suite, on suppose que, pour tout réel \(t\) strictement supérieur à 1 , on a:

\begin{itemize}
  \item \(P(Y>t)>0\).
  \item La loi de \(\frac{Y}{t}\), conditionnellement à l'événement \((Y>t)\), est la loi de \(Y\).
\end{itemize}

On veut alors montrer que \(Y\) suit la loi de Pareto de paramètre \(c\).\\
4) Justifier que \(G(1)=0\).\\
5) a) Établir l'égalité :

\[
\forall x \geq 1, \forall t>1, G(x)=\frac{G(t x)-G(t)}{1-G(t)}
\]

b) Justifier que \(G\) est de classe \(C^{1}\) sur \(] 1,+\infty[\) et en déduire que :

\[
\forall x>1, \forall t>1, G^{\prime}(x)=\frac{t G^{\prime}(t x)}{1-G(t)}
\]

c) Montrer enfin la relation :

\[
\forall t>1, G(t)+\frac{t}{c} G^{\prime}(t)=1
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item Dans cette question, la lettre \(y\) désigne une fonction de classe \(C^{1}\) sur \(] 1,+\infty\) [ qui, à tout réel \(t\) de \(] 1,+\infty[\), associe \(y(t)\).\\
On note ( \(E_{1}\) ) l'équation différentielle \(y+\frac{t}{c} y^{\prime}=0\) et ( \(E_{2}\) ) l'équation différentielle \(y+\frac{t}{c} y^{\prime}=1\).\\
Il convient de noter que ces équations différentielles ne sont pas à coefficients constants.\\
a) Soit \(z\) la fonction définie par \(z(t)=t^{c} y(t)\). Montrer que \(y\) est solution de l'équation différentielle ( \(E_{1}\) ) si, et seulement si, \(z\) est constante sur \(] 1,+\infty[\).\\
b) En notant \(K\) la constante évoquée à la question 6a), donner toutes les solutions de ( \(E_{1}\) ).\\
c) Trouver une fonction \(u\), constante sur \(] 1,+\infty\left[\right.\), et solution de l'équation différentielle ( \(E_{2}\) ).\\
d) Montrer l'équivalence : \(h\) solution de \(\left(E_{2}\right) \Leftrightarrow h-u\) solution de \(\left(E_{1}\right)\).\\
e) En déduire que les solutions de l'équation différentielle ( \(E_{2}\) ) sont les fonctions \(h\) définies par:
\end{enumerate}

\[
\forall t>1, h(t)=1+\frac{K}{t^{c}}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{6}
  \item a) Montrer finalement que l'on a :
\end{enumerate}

\[
\forall t>1, G(t)=1-\frac{1}{t^{c}}
\]

b) Vérifier que cette relation s'étend à \([1,+\infty[\) puis conclure quant à la loi de \(Y\).

\section*{Partie 3 : simulation d'une variable suivant la loi de Pareto de paramètre c}
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{7}
  \item On pose \(Z=\ln (X)\) et on admet que \(Z\) est une variable aléatoire définie sur le même espace probabilisé que \(X\). On note \(H\) sa fonction de répartition.\\
a) Pour tout réel \(x\), exprimer \(H(x)\) à l'aide de la fonction \(F\).\\
b) En déduire que \(Z\) suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.\\
c) Écrire une fonction Python d'en-tête def simulX (c) et permettant de simuler \(X\).
\end{enumerate}

\end{document}