\documentclass[10pt]{article}
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\begin{document}
\section*{Conception : EDHEC BS \\
 MATHEMATIQUES APPLIQUÉES FILIÈRE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE VOIE GÉNÉRALE}
Lundi 28 avril 2025, de 14 h. à 18 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

On suppose, et c'est valable pour toute l'épreuve, que les librairies numpy, numpy.random et numpy.linalg de Python sont importées avec les commandes respectives import numpy as np, import numpy.random as rdet import numpy.linalg as al.

Exercice 1\\
Dans tout l'exercice, la lettre \(n\) désigne un entier naturel non nul.\\
On considère la fonction \(f_{n}\) définie par :

\[
\forall x \in[0,1], f_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n} k x^{k}=x+2 x^{2}+3 x^{3}+\ldots+n x^{n}
\]

\begin{enumerate}
  \item a) Montrer que \(f_{n}\) est strictement croissante sur \([0,1]\).\\
b) En déduire que l'équation \(f_{n}(x)=1\), d'inconnue \(x\), possède une seule solution, notée \(u_{n}\), élément de \([0,1]\).\\
c) Donner la valeur de \(u_{1}\).
\end{enumerate}

\begin{itemize}
  \item[2)] a) Pour tout réel \(x\) de \([0,1]\), exprimer \(f_{n+1}(x)\) en fonction de \(f_{n}(x)\).
  \begin{itemize}
    \item[b)] En déduire que \(f_{n+1}\left(u_{n}\right) \geq 1\).
    \item[c)] Utiliser les variations de \(f_{n+1}\) pour conclure que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est décroissante.
    \item[d)] Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est convergente. On note \(\ell\) sa limite.
  \end{itemize}
  \item[3)] a) Pour tout réel \(x \neq 1\), rappeler la formule donnant \(\sum_{k=0}^{n} x^{k}\) en fonction de \(x\) et \(n\).
  \begin{itemize}
    \item[b)] En déduire que, pour tout réel \(x\) différent de 1 , on a l'égalité :
\[
\sum_{k=1}^{n} k x^{k-1}=\frac{n x^{n+1}-(n+1) x^{n}+1}{(1-x)^{2}} .
\]
    \item[c)] Donner alors une expression sans symbole \(\Sigma\) de \(f_{n}(x)\) pour \(x \in[0,1[\).
  \end{itemize}
  \item[4)] a) Déterminer \(u_{2}\) puis en déduire que, si \(n\) est supérieur ou égal à 2 , on a : \(0 \leq u_{n} \leq \frac{1}{2}\).
  \begin{itemize}
    \item[b)] En déduire \(\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}^{n}\) et \(\lim _{n \rightarrow+\infty} n u_{n}^{n}\).
    \item[c)] En revenant à la définition de \(u_{n}\), montrer, pour \(n \geq 2\), l'égalité :
\[
u_{n}^{2}-3 u_{n}+1=n u_{n}^{n+2}-(n+1) u_{n}^{n+1} .
\]
    \item[d)] Donner finalement la valeur de \(\ell\).
  \end{itemize}
\end{itemize}

\section*{Exercice 2}
On note \(E\) l'ensemble des matrices de la forme \(M(a, b)=\left(\begin{array}{ccc}a & b & a \\ b & 2 a-b & b \\ a & b & a\end{array}\right)\), où \(a\) et \(b\) sont des réels.

\begin{itemize}
  \item[1)] a) Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathscr{M}_{3}(\mathbb{R})\).
  \begin{itemize}
    \item[b)] Donner une base de \(E\) et en déduire sa dimension.
  \end{itemize}
  \item[2)] Justifier sans calcul que les matrices de \(E\) sont diagonalisables mais pas inversibles.\\
Dans toute la suite, sauf la dernière question, on étudie un exemple.
\end{itemize}

On note \(I\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) et on considère la matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & 1\end{array}\right)\).

\begin{itemize}
  \item[3)] Vérifier que \(A\) appartient à \(E\).
  \item[4)] Écrire une fonction Python d'en-tête matA() retournant la matrice \(A\).
  \item[5)] a) Quelle valeur propre de \(A\) la question 2) permet-elle d'obtenir ?
  \item[b)] Montrer que les matrices \(A-5 I\) et \(A+4 I\) ne sont pas inversibles. En déduire deux autres valeurs propres de \(A\).
  \begin{itemize}
    \item[c)] Déterminer une base de chaque sous-espace propre de \(A\) puis construire une base \((U, V, W)\) de
  \end{itemize}
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item On considère les instructions Python suivantes :
\end{enumerate}

\begin{verbatim}
rl=al.matrix_rank(matA()-5*np.eye(3,3))
r2=al.matrix_rank(matA()+4*np.eye(3,3))
print('r1=',r1)
print('r2=',r2)
\end{verbatim}

Utiliser la question précédente pour donner les valeurs de \(r_{1}\) et \(r_{2}\) renvoyées par ce script.\\
7) a) Vérifier que les vecteurs \(U, V\) et \(W\) sont vecteurs propres de toutes les matrices de \(E\).\\
b) Soit \(n\) un entier naturel non nul. En utilisant la matrice \(P\) dont les colonnes sont les vecteurs \(U, V\) et \(W\), indiquer comment obtenir la puissance \(n\)-ième de n'importe quelle matrice de \(E\) (seule la démarche est exigée, les calculs et leurs résultats numériques ne sont pas demandés).\\
c) En déduire, sans la commande al.matrix\_power, et toujours pour \(n \in \mathbb{N}^{*}\), une fonction Python d'en-tête puissanceM (a,b,n) renvoyant \(M(a, b)^{n}\).

Exercice 3\\
On suppose que les variables aléatoires présentées dans cet exercice sont toutes définies sur un même espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, P)\).\\
Dans tout l'exercice, la lettre \(n\) désigne un entier naturel non nul.

\begin{enumerate}
  \item Soit \(f_{n}\) la fonction définie par \(f_{n}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\left(1-\frac{x}{n}\right)^{n-1} & \text { si } 0 \leq x \leq n \\ 0 & \text { sinon }\end{array}\right.\).
\end{enumerate}

Vérifier que \(f_{n}\) est une densité.\\
Dans la suite, on considère une suite \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) de variables aléatoires telle que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(X_{n}\) admet \(f_{n}\) comme densité.\\
2) a) Justifier que \(E\left(1-\frac{X_{n}}{n}\right)\) et \(E\left(\left(1-\frac{X_{n}}{n}\right)^{2}\right)\) existent et donner leur expression en fonction de \(n\).\\
b) En déduire que \(X_{n}\) possède une espérance et une variance et donner leur expression en fonction de \(n\).\\
3) Déterminer la fonction de répartition \(F_{n}\) de \(X_{n}\).\\
4) a) Donner, pour tout réel \(x\) strictement négatif, la limite de \(F_{n}(x)\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).\\
b) Soit \(x\) un réel positif. Montrer que, pour tout entier \(n \geq\lfloor x\rfloor+1\), on a :

\[
F_{n}(x)=1-\left(1-\frac{x}{n}\right)^{n}
\]

c) Pour tout réel \(x\) positif, calculer \(\lim _{n \rightarrow+\infty} n \ln \left(1-\frac{x}{n}\right)\).\\
d) Déduire des questions précédentes que la suite \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) converge en loi vers une variable \(X\) dont on donnera la loi.\\
5) Soit \(U_{1}, \ldots, U_{n}\) des variables aléatoires mutuellement indépendantes, et suivant toutes la loi uniforme sur [0,1]. On considère la variable aléatoire \(M_{n}\) définie par \(M_{n}=\min \left(U_{1}, \ldots, U_{n}\right)\), ce qui signifie que, pour tout \(\omega \in \Omega, M_{n}(\omega)\) est le plus petit des réels \(U_{1}(\omega), \ldots, U_{n}(\omega)\).\\
Enfin, on pose \(Z_{n}=n M_{n}\).\\
a) En notant \(G\) la fonction de répartition commune à \(U_{1}, \ldots, U_{n}\), rappeler l'expression de \(G(x)\) selon que \(x<0,0 \leq x \leq 1\) ou \(x>1\).\\
b) Déterminer, pour tout réel \(x\), la probabilité \(P\left(Z_{n}>x\right)\) à l'aide de la fonction \(G\) et en déduire explicitement la fonction de répartition \(F_{Z_{n}}\) de \(Z_{n}\).\\
c) Conclure que \(Z_{n}\) suit la même loi que \(X_{n}\).\\
d) Utiliser la question 5c) pour écrire une fonction Python renvoyant une réalisation de \(X_{n}\).

\section*{Problème}
Dans ce problème, \(n\) désigne un entier naturel non nul.\\
On dispose de \(n+1\) urnes, numérotées de 1 à \(n+1\), et contenant chacune \(n\) boules.\\
Pour tout \(k\) de \(\llbracket 1, n+1 \rrbracket\), l'urne numéro \(k\) contient \(k-1\) boules noires, les autres boules étant blanches (ainsi, l'urne numérotée 1 ne contient que des boules blanches et l'urne numérotée \(n+1\) ne contient que des boules noires).\\
L'épreuve consiste à choisir une urne au hasard et à y effectuer indéfiniment des tirages au hasard d'une boule, avec remise de la boule tirée dans l'urne dont elle provient après chaque tirage.\\
Pour tout \(k\) de \(\llbracket 1, n+1 \rrbracket\), on note \(U_{k}\) l'événement : « On a choisi l'urne numérotée \(k\) ».\\
On appelle \(X_{n}\) la variable aléatoire qui prend la valeur 0 si l'on n'obtient aucune boule blanche au cours de l'épreuve et qui prend la valeur \(j\left(j \in \mathbb{N}^{*}\right)\) si la première boule blanche apparaît au \(j\) ième tirage.

Pour finir, on rappelle les commandes Python suivantes qui permettent de simuler certaines variables discrètes usuelles :\\
rd.randint \((\mathrm{a}, \mathrm{b}+1)\) simule une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \(\llbracket a, b \rrbracket\).\\
rd.binomial \((\mathrm{n}, \mathrm{p})\) simule une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\).\\
rd.geometric(p) simule une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre \(p\).

\begin{enumerate}
  \item Simulation de \(X_{n}\) : pour tout \(j\) de \(\llbracket 2, n+1 \rrbracket\), on code les \(j-1\) boules noires de l'urne numérotée \(j\) par les entiers de \(\llbracket 1, j-1 \rrbracket\). Compléter alors la fonction Python suivante pour qu'elle renvoie la valeur prise par \(X_{n}\) lors de l'épreuve aléatoire décrite ci-dessus :
\end{enumerate}

\begin{verbatim}
def varX(n):
    k=------# choix de l'urne
    if k==n+1:
        X=------
    elif k==1:
        X=------
    else:
        X=1
        while rd.randint(1,n+1)<=------:
            X=--------
    return (X)
\end{verbatim}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Pour tout \(k\) de \(\llbracket 1, n+1 \rrbracket\), déterminer \(P\left(U_{k}\right)\).
  \item a) Pour tout \(k\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket\), donner la loi de \(X_{n}\), conditionnellement à l'événement \(U_{k}\).\\
b) En conservant, sans les écrire de nouveau, les 6 premières lignes de la fonction Python précédente, compléter les 3 lignes suivantes afin d'obtenir une nouvelle simulation de \(X_{n}\) :
\end{enumerate}

\begin{verbatim}
else:
    X=-------
return (X)
\end{verbatim}

\begin{itemize}
  \item[4)] a) Déterminer \(P_{U_{n+1}}\left(X_{n}=1\right)\).
  \begin{itemize}
    \item[b)] Pour tout \(k\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket\), donner \(P_{U_{k}}\left(X_{n}=1\right)\).
    \item[c)] Montrer alors que \(P\left(X_{n}=1\right)=\frac{1}{2}\).
  \end{itemize}
  \item[5)] Soit \(j\) un entier supérieur ou égal à 2.
  \begin{itemize}
    \item[a)] Déterminer \(P_{U_{n+1}}\left(X_{n}=j\right)\).
    \item[b)] Pour tout \(k\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket\), donner \(P_{U_{k}}\left(X_{n}=j\right)\).
    \item[c)] En déduire l'égalité :
\[
P\left(X_{n}=j\right)=\frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n-1}\left[\left(\frac{k}{n}\right)^{j-1}-\left(\frac{k}{n}\right)^{j}\right]
\]
  \end{itemize}
  \item[6)] a) Justifier que, pour tout \(k\) de \(\llbracket 0, n-1 \rrbracket\), on a : \(\sum_{j=2}^{+\infty}\left[\left(\frac{k}{n}\right)^{j-1}-\left(\frac{k}{n}\right)^{j}\right]=\frac{k}{n}\).
  \begin{itemize}
    \item[b)] Calculer \(P\left(X_{n} \geq 2\right)\) en fonction de \(n\).
  \end{itemize}
  \item[7)] a) Déduire des deux questions précédentes l'expression de \(P\left(X_{n}=0\right)\) en fonction de \(n\).
  \begin{itemize}
    \item[b)] Aurait-on pu anticiper ce dernier résultat sans aucun calcul ?
  \end{itemize}
  \item[8)] a) Montrer que \(X_{n}\) possède une espérance \(E\left(X_{n}\right)\) donnée par :
\[
E\left(X_{n}\right)=\frac{n}{n+1} \sum_{p=1}^{n} \frac{1}{p}
\]
  \begin{itemize}
    \item[b)] Informatique : calcul et affichage de \(E\left(X_{n}\right)\).
  \end{itemize}
\end{itemize}

Compléter le script suivant afin qu'il permette de calculer et d'afficher \(E\left(X_{n}\right)\) :

\begin{verbatim}
n=int(input('entrez la valeur de n :'))
v=np.arange(1,n+1)
E=------
print (E)
\end{verbatim}

\begin{itemize}
  \item[9)] a) Montrer que : \(\forall p \in \mathbb{N}^{*}, \frac{1}{p+1} \leq \int_{p}^{p+1} \frac{1}{t} \mathrm{~d} t \leq \frac{1}{p}\).
  \begin{itemize}
    \item[b)] En déduire, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*} \backslash\{1\}\), l'encadrement : \(\sum_{p=2}^{n} \frac{1}{p} \leq \ln (n) \leq \sum_{p=1}^{n-1} \frac{1}{p}\).
    \item[c)] Établir enfin l'encadrement :
\[
\forall n \in \mathbb{N}^{*} \backslash\{1\}, \ln (n)+\frac{1}{n} \leq \sum_{p=1}^{n} \frac{1}{p} \leq \ln (n)+1
\]
    \item[d)] Utiliser l'encadrement précédent pour donner l'équivalent le plus simple possible de \(E\left(X_{n}\right)\) lorsque \(n\) est au voisinage de \(+\infty\).
  \end{itemize}
\end{itemize}

\end{document}