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\title{École Supérieure de Commerce de Lyon }

\author{}
\date{}


\DeclareUnicodeCharacter{03B1}{\ifmmode\alpha\else{$\alpha$}\fi}

\begin{document}
\maketitle
CONCOURS D'ENTRÉE 2000

\section*{MATHEMATIQUES \\
 1 ère épreuve (option économique) }
Mardi 2 mai 2000 de 8 heures à 12 heures\\
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

\section*{Exercice 1}
On considère la matrice carrée réelle d'ordre trois :

\[
J=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 2 & 1 \\
0 & -1 & 2 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right)
\]

et l'endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^{3}\) de matrice \(J\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\).\\
On considère, pour tout nombre réel \(a\), la matrice carrée réelle d'ordre trois :

\[
M_{a}=\left(\begin{array}{ccc}
a & 2 & 1 \\
0 & a-1 & 2 \\
0 & 1 & a
\end{array}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \item a. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(f\).\\
b. Montrer que \(J\) est diagonalisable. Déterminer une matrice réelle diagonale \(D\) d'ordre trois et une matrice réelle inversible \(P\) d'ordre trois telles que \(J=P D P^{-1}\).\\
c. En déduire que, pour tout nombre réel \(a\), il existe une matrice réelle diagonale \(D_{a}\) d'ordre trois, que l'on calculera, telle que \(M_{a}=P D_{a} P^{-1}\).\\
d. Quel est l'ensemble des nombres réels a tels que \(M_{a}\) soit inversible ?
  \item On se propose, dans cette question, de déterminer l'ensemble des nombres réels a tels qu'il existe une matrice \(X\) carrée réelle d'ordre trois vérifiant \(X^{2}=M_{a}\).\\
a. Soient \(a\) un nombre réel et \(X\) une matrice carrée réelle d'ordre trois tels que \(X^{2}=M_{a}\).\\
α) Montrer que \(X\) commute avec \(M_{a}\), puis que \(X\) commute avec \(J\).\\
\(\beta\) ) On note \(h\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) de matrice \(X\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\).\\
Déduire de la question précédente que tout vecteur propre de \(f\) est vecteur propre de \(h\).\\
\(\gamma\) ) Etablir qu'il existe une matrice réelle diagonale \(\Delta\) d'ordre trois telle que \(X=P \Delta P^{-1}\) et montrer : \(\Delta^{2}=D_{a}\).\\
\(\delta)\) En déduire : \(a \geqslant 2\).\\
b. Réciproquement, montrer que, pour tout nombre réel a supérieur ou égal à 2 , il existe une matrice carrée réelle \(X\) d'ordre trois telle que \(X^{2}=M_{a}\).\\
c. Conclure.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}
On considère la fonction \(f:]-1 ;+\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\) définie, pour tout \(x\) de \(]-1 ;+\infty[\), par :

\[
f(x)=\left\{\begin{array}{cl}
1 & \text { si } x=0 \\
\frac{\ln (1+x)}{x} & \text { si } x \in]-1 ; 0[\cup] 0 ;+\infty[
\end{array}\right.
\]

1.a. Montrer que \(f\) est continue sur \(]-1 ;+\infty[\).\\
b. Montrer que \(f\) est de classe \(C^{1}\) sur \(]-1 ; 0[\) et sur \(] 0 ;+\infty[\).

Pour tout réel \(x\) de \(]-1 ; 0[\cup] 0 ;+\infty\left[\right.\), calculer \(f^{\prime}(x)\).\\
c. Montrer que \(f^{\prime}(x)\) tend vers \(-\frac{1}{2}\) lorsque \(x\) tend vers 0 .\\
d. En déduire que \(f\) est de classe \(C^{1}\) sur \(]-1 ;+\infty[\).\\
2. Montrer : \(\forall x \in]-1 ;+\infty\left[, \frac{x}{x+1}-\ln (1+x) \leqslant 0\right.\).

En déduire les variations de \(f\). On précisera les limites de \(f\) en -1 et \(+\infty\).\\
3. Montrer que, pour tout \(x\) de l'intervalle \(]-\frac{1}{2} ;+\infty\left[\right.\), l'intégrale \(\int_{x}^{2 x} f(t) \mathrm{d} t\) existe.\\
4. On considère la fonction \(F:]-\frac{1}{2} ;+\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\) définie, pour tout \(x\) de \(]-\frac{1}{2} ;+\infty[\), par :

\[
F(x)=\int_{x}^{2 x} f(t) \mathrm{d} t
\]

a. Montrer que \(F\) est dérivable sur ] \(-\frac{1}{2} ;+\infty\) [ et que \(F\) est croissante.\\
b. Montrer : \(\forall x \in] 0 ;+\infty[, \quad F(x) \geqslant x f(2 x)\).\\
c. En déduire que \(F(x)\) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).\\
d. Montrer que l'intégrale \(\int_{-1}^{-\frac{1}{2}} f(t) \mathrm{d} t\) est convergente.

En déduire que la fonction \(F\) admet une limite finie en \(-\frac{1}{2}\). On ne cherchera pas à calculer cette limite.

\section*{Exercice 3}
Soit \(a\) un entier strictement positif.\\
On dispose d'un jeu usuel de \(2 n\) cartes ( \(n=16\) ou 26 ) qui contient donc deux rois rouges, et on envisage deux jeux d'argent régis par les protocoles suivants :

\section*{I. Premier protocole}
Les cartes du jeu sont alignées sur une table de façon aléatoire. Le joueur découvre les cartes, de gauche à droite jusqu'à obtenir le premier roi rouge.\\
On note \(X\) la variable aléatoire égale au rang d'apparition du premier roi rouge et \(E(X)\) son espérance.

\begin{enumerate}
  \item Montrer : \(\forall k \in\{1, \ldots, 2 n-1\}, \quad P(X=k)=\frac{2 n-k}{n(2 n-1)}\).
  \item Montrer : \(E(X)=\frac{2 n+1}{3}\).
\end{enumerate}

On rappelle que pour tout entier naturel \(p \geqslant 1\), on a : \(\sum_{k=1}^{p} k^{2}=\frac{p(p+1)(2 p+1)}{6}\).\\
3. Le joueur paie un franc chaque fois qu'il découvre une carte et gagne \(a\) francs lorsqu'il obtient le premier roi rouge.\\
On note \(G_{1}\) la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.\\
Ainsi, si le premier roi rouge apparaît à la \(k^{\text {ième }}\) carte découverte, \(G_{1}\) est égale à \(a-k\).\\
Déterminer l'espérance de la variable aléatoire \(G_{1}\).

\section*{II. Deuxième protocole}
Les \(2 n\) cartes du même jeu sont alignées sur une table de façon aléatoire, mais cette fois-ci, le joueur peut découvrir au maximum \(n\) cartes.\\
Le joueur paie un franc chaque fois qu'il découvre une carte et gagne \(a\) francs lorsqu'il obtient le premier roi rouge.\\
On note \(G_{2}\) la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.\\
Ainsi, si le premier roi rouge apparait à la \(k^{\text {ième }}\) carte découverte ( \(k \leqslant n\) ), \(G_{2}\) est égale à \(a-k\), et si le joueur n'obtient pas de roi rouge à l'issue des \(n\) premiers tirages, alors \(G_{2}\) est égale à \(-n\).

\begin{enumerate}
  \item Pour tout entier \(k \in\{1, \ldots, n\}\), déterminer \(P\left(G_{2}=a-k\right)\).
  \item Vérifier : \(P\left(G_{2}=-n\right)=\frac{n-1}{2(2 n-1)}\).
  \item Montrer : \(E\left(G_{2}\right)=\frac{3(3 n-1) a-\left(7 n^{2}-1\right)}{6(2 n-1)}\).
\end{enumerate}

\section*{III. Comparaison des deux protocoles}
On suppose le jeu constitué de 32 cartes ( \(n=16\) ).\\
Déterminer, selon les valeurs de \(a\), le protocole le plus favorable au joueur. Justifier la réponse.


\end{document}