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\begin{document}
\section*{Programme ESC d'E.M.LYON}
CONCOURS D'ENTREE 2001

\section*{MATHEMATIQUES 1ère épreuve (option économique)}
Les candidats ne doivent pas faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

\section*{Exercice 1}
On considère la matrice carrée réelle d'ordre quatre :

\[
A=\left(\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & -1 \\
1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & -1
\end{array}\right)
\]

et l'endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^{4}\) dont la matrice dans la base canonique \(\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}\right)\) de \(\mathbb{R}^{4}\) est \(A\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(A\) n'est pas inversible. En déduire que 0 est valeur propre de \(A\).
  \item (a) Calculer \(A^{2}, A^{3}, A^{4}\).\\
(b) Etablir que 0 est la seule valeur propre de \(f\).\\
(c) Déterminer la dimension du noyau de \(f\).\\
(d) Est-ce que \(f\) est diagonalisable ?
  \item On note \(\varepsilon_{1}=e_{1}, \varepsilon_{2}=f\left(\varepsilon_{1}\right), \varepsilon_{3}=f\left(\varepsilon_{2}\right), \varepsilon_{4}=f\left(\varepsilon_{3}\right)\), et \(\mathcal{C}=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}\right)\).\\
(a) Montrer que \(\mathcal{C}\) est une base de \(\mathbb{R}^{4}\).\\
(b) Déterminer la matrice \(N\) de \(f\) relativement à la base \(\mathcal{C}\) de \(\mathbb{R}^{4}\).
  \item Existe-t-il un automorphisme \(g\) de l'espace vectoriel \(\mathbb{R}^{4}\) tel que \(g \circ f \circ g^{-1}=f^{2}\) ?
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}
On considère l'application \(f:[0 ;+\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\), définie, pour tout \(x\) de \([0 ;+\infty[\), par :

\[
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{x}{e^{x}-1} & \text { si } x>0 \\
1 & \text { si } x=0
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \item (a) Montrer que \(f\) est continue sur \([0 ;+\infty[\).\\
(b) Montrer que \(f\) est de classe \(C^{1}\) sur \(] 0 ;+\infty[\). Pour tout \(x \in] 0,+\infty\left[\right.\), calculer \(f^{\prime}(x)\).\\
(c) Montrer que \(f^{\prime}(x)\) tend vers \(-\frac{1}{2}\) lorsque \(x\) tend vers 0 .\\
(d) En déduire que \(f\) est \(C^{1}\) sur \([0 ;+\infty[\).
  \item (a) Montrer que \(f\) est de classe \(C^{2}\) sur \(] 0 ;+\infty[\) et que: \(\forall x \in] 0 ;+\infty\left[\quad f^{\prime \prime}(x)=\frac{e^{x}}{\left(e^{x}-1\right)^{3}}\left(x e^{x}-\right.\right. \left.2 e^{x}+x+2\right)\)\\
(b) Etudier les variations de la fonction \(g:[0 ;+\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\), définie, pour tout \(x\) de \([0 ;+\infty[\), par:
\end{enumerate}

\[
g(x)=x e^{x}-2 e^{x}+x+2
\]

En déduire : \(\quad \forall x \in] 0 ;+\infty\left[, \quad f^{\prime \prime}(x)>0\right.\).\\
(c) En déduire le sens de variation de \(f\). On précisera la limite de \(f\) en \(+\infty\). Dresser le tableau de variation de \(f\).\\
(d) Tracer l'allure de la courbe représentative de \(f\).\\
3. On considère la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) définie par \(u_{0}=0\) et : \(\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)\).\\
(a) Montrer :

\[
\forall x \in\left[0 ;+\infty\left[, \quad\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{1}{2} \quad \text { et } \quad 0 \leqslant f(x) \leqslant 1\right.\right.
\]

(b) Résoudre l'équation \(f(x)=x\), d'inconnue \(x \in] 0\); \(+\infty[\).\\
(c) Montrer :

\[
\forall n \in \mathbb{N} \quad\left|u_{n+1}-\ln 2\right| \leqslant \frac{1}{2}\left|u_{n}-\ln 2\right|
\]

(d) Etablir que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) converge et déterminer sa limite.

\section*{Exercice 3}
\begin{enumerate}
  \item Pour tout entier naturel \(n\), on considère la fonction \(f_{n}: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) définie par :
\end{enumerate}

\[
\forall t \in \mathbb{R}, \quad f_{n}(t)=\left\{\begin{array}{cl}
\frac{e^{-t} t^{n}}{n!} & \text { si } t>0 \\
0 & \text { si } t \leqslant 0
\end{array}\right.
\]

(a) Soit \(n \in \mathbb{N}\). Montrer que \(\lim _{t \rightarrow+\infty} t^{2} f_{n}(t)=0\).

En déduire que l'intégrale \(\int_{0}^{+\infty} f_{n}(t) d t\) est convergente.\\
(b) Montrer : \(\quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad \forall x \in\left[0 ;+\infty\left[, \quad \int_{0}^{x} f_{n}(t) d t=-\frac{e^{-x} x^{n}}{n!}+\int_{0}^{x} f_{n-1}(t) d t\right.\right.\).\\
(c) En déduire: \(\quad \forall n \in \mathbb{N}, \quad \int_{0}^{x} f_{n}(t) d t=1\)\\
(d) Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), la fonction \(f_{n}\) est la densité de probabilité d'une variable aléatoire.

\begin{enumerate}
  \item Pour tout entier naturel \(n\), on définit la variable aléatoire \(X_{n}\) admettant \(f_{n}\) pour densité de probabilité.\\
(a) Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), l'espérance \(E\left(X_{n}\right)\) et la variance \(V\left(X_{n}\right)\) vérifient:
\end{enumerate}

\[
E\left(X_{n}\right)=n+1 \quad V\left(X_{n}\right)=n+1
\]

(b) Dans cette question, on suppose que \(n=4\). On donne les valeurs approchées à \(10^{-2}\) suivantes:

\[
\int_{0}^{4} f_{4}(t) d t \simeq 0,37 \quad \int_{0}^{6} f_{4}(t) d t \simeq 0,71 \quad \int_{0}^{8} f_{4}(t) d t \simeq 0,90
\]

Tracer l'allure de la courbe représentative de la fonction de répartition de \(X_{4}\). Déterminer une valeur décimale approchée de la probabilité \(P\left(X_{4}>4\right)\) et une valeur décimale approchée de la probabilité \(P\left(4<X_{4} \leqslant 8\right)\).\\
3. Pour tout réel \(t>0\), on définit la variable aléatoire \(Y_{t}\) égale au nombre de voitures arrivant à un péage d'autoroute de l'instant 0 à l'instant \(t\).\\
On suppose que la variable aléatoire \(Y_{t}\) suit une loi de Poisson de paramètre \(t\).\\
(a) Rappeler, pour tout réel \(t>0\), les valeurs de l'espérance et de la variance de \(Y_{t}\).

Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on définit la variable aléatoire réelle \(Z_{n}\), prenant ses valeurs dans \(\mathbb{R}^{+}\), égale à l'instant d'arrivée de la \(n^{i e ̀ m e}\) voiture au péage à partir de l'instant 0 .\\
(b) Soient \(t \in] 0 ;+\infty\left[\right.\) et \(n \in \mathbb{N}^{*}\).

Justifier l'égalité de l'événement ( \(Z_{n} \leqslant t\) ) et de l'événement ( \(Y_{t} \geqslant n\) )\\
(c) En déduire, pour tout entier naturel \(n\) non nul, la fonction de répartition de la variable aléatoire réelle \(Z_{n}\).\\
(d) Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, la variable aléatoire \(Z_{n}\) admet \(f_{n-1}\) comme densité de probabilité.

\begin{itemize}
  \item FIN -
\end{itemize}

\end{document}