\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{bbold}

\title{Programme ESC d'E.M.LYON \\
 CONCOURS D'ENTRÉE 2002 }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{MATHEMATIQUES \\
 1ère épreuve (option économique) }
Lundi 29 avril 2002 de 8 heures à 12 heures\\
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

\section*{EXERCICE 1}
On considère les deux matrices carrées réelles d'ordre quatre suivantes :

\[
I=\left(\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right), \quad K=\left(\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & -1 & -3 \\
1 & 1 & 1 & -2 \\
0 & -1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 & -2
\end{array}\right) .
\]

Les questions 2 et 3 sont indépendantes entre elles.

\begin{enumerate}
  \item a. Calculer \(K^{-2}\).\\
b. En déduire que la matrice \(K\) est inversible et déterminer \(K^{-1}\).\\
c. Montrer que la matrice \(K^{\prime}\) n'admet aucune valeur propre réelle.
  \item Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels. On note \(M\) la matrice définie par \(M=a I+b K\).\\
a. Montrer: \(M^{2}=-\left(a^{2}+b^{2}\right) I+2 a M\).\\
b. En déduire que, si \((a, b) \neq(0,0)\), alors la matrice \(M\) est inversible, et exprimer son inverse comme combinaison linéaire de \(I\) et \(M\).\\
c. Application : donner linverse de la matrice
\end{enumerate}

\[
\left(\begin{array}{cccc}
1+\sqrt{2} & 1 & -1 & -3 \\
1 & 1+\sqrt{2} & 1 & -2 \\
0 & -1 & \sqrt{2} & 1 \\
1 & 1 & 0 & -2+\sqrt{2}
\end{array}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item On note \(\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}\right)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^{4}\), et \(f\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{4}\) associé à la matrice \(K\) relativement à la base \(\mathcal{B}\). On considère les quatre éléments suivants de \(\mathbb{R}^{4}\) :
\end{enumerate}

\[
v_{1}=e_{1}, \quad v_{2}=f\left(e_{1}\right), \quad v_{3}=e_{3}, \quad v_{4}=f\left(e_{3}\right)
\]

a. Montrer que la famille \(e=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right)\) est une base de \(\mathbb{R}^{4}\).\\
b. Exprimer \(f\left(v_{1}\right), f\left(v_{2}\right), f\left(v_{3}\right), f\left(v_{4}\right)\) en fonction de \(v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\) et en déduire la matrice \(K^{\prime}\) associée à \(f\) relativement à la base \(C\).\\
c. Déterminer la matrice de passage \(P\) de la base \(\mathcal{B}\) à la base \(\mathcal{C}\).\\
d. Rappeler l'expression de \(K^{-1}\) en fonction de \(K^{\prime}, P\) et \(P^{-1}\).

\section*{EXERCICE 2}
On considère, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), la fonction polynomiale \(P_{n}:[0 ;+\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\) définie, pour tout \(x \in[0 ;+\infty[\), par :

\[
P_{n}(x)=\sum_{k=1}^{2 n} \frac{(-1)^{k} x^{k}}{k}=-x+\frac{x^{2}}{2}+\cdots+\frac{-x^{2 n-1}}{2 n-1}+\frac{x^{2 n}}{2 n}
\]

\section*{I. Étude des fonctions polynomiales \(P_{n}\)}
\begin{enumerate}
  \item Montrer, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et tout \(x \in[0 ;+\infty[\) :
\end{enumerate}

\[
P_{n}^{\prime}(x)=\frac{x^{2 n}-1}{x+1}, \text { où } P_{n}^{\prime} \text { désigne la dérivée de } P_{n} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Étudier, pour \(n \in \mathbb{N}^{*}\), les variations de \(P_{n}\) sur \([0 ;+\infty[\) et dresser le tableau de variations de \(P_{n}\).
  \item Montrer, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}: P_{n}(1)<0\).
  \item a. Vérifier, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et tout \(x \in[0 ;+\infty[\) :
\end{enumerate}

\[
P_{n+1}(x)=P_{n}(x)+x^{2 n+1}\left(-\frac{1}{2 n+1}+\frac{x}{2 n+2}\right) .
\]

b. En déduire, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}: P_{n}(2) \geqslant 0\).\\
5. Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), l'équation \(P_{n}(x)=0\), d'inconnue \(x \in[1 ;+\infty[\), admet une solution et une seule, notée \(x_{n}\), et que:

\[
1<x_{n} \leqslant 2 .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item Écrire un programme en langage Pascal qui calcule et affiche une valeur approchée décimale de \(x_{2}\) à \(10^{-3}\) près.
\end{enumerate}

\section*{II. Limite de la suite \(\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\)}
\begin{enumerate}
  \item Établir, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et tout \(x \in[0 ;+\infty[\) :
\end{enumerate}

\[
P_{n}(x)=\int_{0}^{x} \frac{t^{2 n}-1}{t+1} \mathrm{~d} t
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item En déduire, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) :
\end{enumerate}

\[
\int_{1}^{x_{n}} \frac{t^{2 n}-1}{t+1} \mathrm{~d} t=\int_{0}^{1} \frac{1-t^{2 n}}{t+1} \mathrm{~d} t
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Démontrer, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et tout \(t \in[1 ;+\infty[\) :
\end{enumerate}

\[
t^{2 n}-1 \geqslant n\left(t^{2}-1\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item En déduire, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) :
\end{enumerate}

\[
\int_{1}^{x_{n}} \frac{t^{2 n}-1}{t+1} \mathrm{~d} t \geqslant \frac{n}{2}\left(x_{n}-1\right)^{2}
\]

puis :

\[
0<x_{n}-1 \leqslant \frac{\sqrt{2 \ln 2}}{\sqrt{n}} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item Conclure quant à la convergence et à la limite de la suite \(\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\).
\end{enumerate}

\section*{EXERCICE 3}
\section*{1. Étude préliminaire}
On admet, pour tout entier naturel \(k\) et pour tout réel \(x\) de \(\left[0 ; 1\left[\right.\right.\), que la série \(\sum_{n \geqslant k} C_{n}^{k} x^{n}\) est convergente et on note \(s_{k}(x)=\sum_{n=k}^{+\infty} C_{n}^{k} x^{n}\).\\
a. Vérifier, pour tout réel \(x\) de \([0 ; 1[\) :

\[
s_{0}(x)=\frac{1}{1-x} \quad \text { et } \quad s_{1}(x)=\frac{x}{(1-x)^{2}}
\]

b. Pour tout couple d'entiers naturels \((n, k)\) tel que \(k<n\), montrer :

\[
C_{n+1}^{k+1}=C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}
\]

c. Pour tout entier naturel \(k\) et pour tout réel \(x\) de \([0 ; 1[\), déduire de la question précédente :

\[
s_{k+1}(x)=x s_{k}(x)+x s_{k+1}(x)
\]

d. Montrer, par récurrence :

\[
\forall k \in \mathbb{N}, \forall x \in\left[0 ; 1\left[, \quad s_{k}(x)=\frac{x^{k}}{(1-x)^{k+1}}\right.\right.
\]

\section*{2. Étude d'une expérience aléatoire}
On considère une urne contenant une boule noire et quatre boules blanches. On effectue l'expérience aléatoire suivante :

\begin{itemize}
  \item On commence par tirer des boules de l'urne une à une avec remise jusqu'à obtenir la boule noire (que l'on remet aussi dans l'urne).\\
On définit la variable aléatoire \(N\) égale au nombre de tirages avec remise nécessaires pour obtenir la boule noire.
  \item Puis, si \(N\) prend une valeur entière positive non nulle notée \(n\), on réalise alors une seconde série de \(n\) tirages dans l'urne, toujours avec remise.\\
On définit la variable aléatoire \(X\) égale au nombre de fois où la boule noire a été obtenue dans cette seconde série de tirages.\\
a. Déterminer la loi de la variable aléatoire \(N\). Donner son espérance.\\
b. Soient \(k \in \mathbb{N}\) et \(n \in \mathbb{N}^{*}\). Déterminer la probabilité conditionnelle \(\mathrm{P}(X=k / N=n)\).\\
c. Vérifier : \(\quad \mathrm{P}(X=0)=\frac{4}{9}\).\\
d. En utilisant l'étude préliminaire, montrer :
\end{itemize}

\[
\forall k \in \mathbb{N}^{*}, \quad \mathrm{P}(X=k)=\frac{25}{36}\left(\frac{4}{9}\right)^{k}
\]

e. Montrer que \(X\) admet une espérance \(\mathrm{E}(X)\) et calculer \(\mathrm{E}(X)\).\\
f. Montrer :

\[
\forall k \in \mathbb{N}, \quad \mathrm{P}(X \leqslant k)=1-\frac{5}{9}\left(\frac{4}{9}\right)^{k}
\]

\section*{3. Étude d'une variable aléatoire à densité}
On note \(a=-\frac{\ln 9-\ln 5}{\ln 9-\ln 4}\) et on définit la fonction \(F\) sur \(\mathbb{R}\) par :

\[
\begin{cases}F(x)=1-\frac{5}{9}\left(\frac{4}{9}\right)^{x} & \text { si } x \in[a ;+\infty[ \\ F(x)=0 & \text { sinon. }\end{cases}
\]

On rappelle: \(\quad \forall x \in \mathbb{R},\left(\frac{4}{9}\right)^{x}=\mathrm{e}^{x \ln \frac{4}{9}}\).\\
a. Montrer que \(F\) est la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité, notée \(Y\).\\
b. Déterminer une densité \(f\) de \(Y\).\\
c. Déterminer une primitive de la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=x \mathrm{e}^{x \ln \frac{4}{9}}\).\\
d. Montrer que \(Y^{\prime}\) admet une espérance \(E\left(Y^{\prime}\right)\) et calculer \(E\left(Y^{\prime}\right)\).


\end{document}