\documentclass[10pt]{article}
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\title{Programme ESC de l'E.M.Lyon \\
 Concours d'entrée 2003 }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{EXERCICE 1}
On note \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) l'ensemble des matrices réelles d'ordre 3 et on considère les matrices suivantes de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) :

\[
I=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) \text { et } A=\left(\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right)
\]

\section*{Première partie}
\begin{enumerate}
  \item Calculer \(A^{2}\) et \(A^{3}\), puis vérifier : \(A^{3}=A^{2}+2 A\).
  \item Montrer que la famille \(\left(A, A^{2}\right)\) est libre dans \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\).
  \item Montrer que, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 1 , il existe un couple unique \(\left(a_{n}, b_{n}\right)\) de nombres réels tel que : \(A^{n}=a_{n} A+b_{n} A^{2}\), et exprimer \(a_{n+1}\) et \(b_{n+1}\) en fonction de \(a_{n}\) et \(b_{n}\).
  \item Ecrire un programme, en Pascal, qui calcule et affiche \(a_{n}\) et \(b_{n}\) pour un entier \(n\) donné supérieur ou égal à 1.
  \item a. Montrer, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 1 :
\end{enumerate}

\[
a_{n+2}=a_{n+1}+2 a_{n}
\]

b. En déduire \(a_{n}\) et \(b_{n}\) en fonction de \(n\), pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 1 .\\
c. Donner l'expression de \(A^{n}\) en fonction de \(A, A^{2}, n\), pour tout entier n supérieur ou égal à 1 .

\section*{Seconde partie}
On note f l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\), dont la matrice, relativement à la base canonique ( \(e_{1}, e_{2}, e_{3}\) ) de \(\mathbb{R}^{3}\), est \(A\).

\begin{enumerate}
  \item Déterminer une base de \(\operatorname{Im}(f)\) et donner la dimension de \(\operatorname{Im}(f)\).
  \item a. Est-ce que \(f\) est diagonalisable ?\\
b. Est-ce que f est bijectif ?
  \item Déterminer les valeurs propres de \(f\), et donner, pour chaque sous-espace propre de \(f\), une base de ce sous-espace propre.
  \item Déterminer une matrice diagonale \(D\), dont les termes diagonaux sont dans l'ordre réel croissant, et une matrice inversible \(P\) dont la troisième ligne est formée de termes tous égaux à 1 , telle que \(A=P D P^{-1}\), et calculer \(P^{-1}\).
  \item Déterminer l'ensemble des matrices \(M\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) telles que : \(A M+M A=0\).
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}
On note \(e=\exp (1)\) et \(\left.\mathbb{R}_{+}^{*}=\right] 0,+\infty[\).\\
On note, pour tout nombre réel a non nul, l'application \(f_{a}: \mathbb{R}_{+}^{*} \times \mathbb{R}_{+}^{*} \rightarrow \mathbb{R}\) définie par :

\[
\forall(x, y) \in \mathbb{R}_{+}^{*} \times \mathbb{R}_{+}^{*}, f_{a}(x, y)=\frac{x e^{-x}}{y}-\frac{y}{a}
\]

Les deux parties de l'exercice sont indépendantes entre elles.

\section*{Première partie}
Dans cette partie, on prend \(a=-e\) et on note \(g\) à la place de \(f_{-e}\).\\
Ainsi, l'application \(g \mathbb{R}_{+}^{*} \times \mathbb{R}_{+}^{*} \rightarrow \mathbb{R}\) est définie par :

\[
\forall(x, y) \in \mathbb{R}_{+}^{*} x \mathbb{R}_{+}^{*}, f_{a}(x, y)=\frac{x e^{-x}}{y}+\frac{y}{e}
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(g\) est de classe \(C^{2}\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{*} \times \mathbb{R}_{+}^{*}\).
  \item Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de \(g\) en tout point \((x, y)\) de \(\mathbb{R}_{+}^{*} \times \mathbb{R}_{+}^{*}\).
  \item Montrer qu'il existe un couple unique ( \(x, y\) ) de \(\mathbb{R}_{+}^{*} \times \mathbb{R}_{+}^{*}\) en lequel les deux dérivées partielles d'ordre 1 de \(g\) s'annulent, et calculer ce couple.
  \item Est-ce que \(g\) admet un extremum ?
\end{enumerate}

\section*{Seconde partie}
Dans cette seconde partie, on prend \(a=1\).\\
On considère, pour tout entier \(n\) tel que \(n \geq 1\), l'application \(\left.h_{n}:\right] 0,+\infty[\rightarrow \mathbb{R}\) définie par :

\[
\forall x \in] 0,+\infty\left[, h_{n}(x)=f_{1}\left(x, x^{n}\right)=\frac{x e^{-x}}{x^{n}}-x^{n}\right.
\]

et l'application \(\left.\varphi_{n}:\right] 0,+\infty[\rightarrow \mathbb{R}\) définie par :

\[
\forall x \in] 0,+\infty\left[, \varphi_{n}(x)=e^{-x}-x^{2 n-1}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \item a. Montrer que, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(1, \forall x \in] 0,+\infty\left[, h_{n}(x)=0 \Leftrightarrow \varphi_{n}(x)=0\right.\)\\
b. En déduire que, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 1 , l'équation \(h_{n}(x)=0\), d'inconnue \(x \in] 0,+\infty\left[\right.\), admet une solution et une seule, notée \(u_{n}\), et que :
\end{enumerate}

\[
0<u_{n}<1 .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item a. Montrer, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(1: \ln u_{n}=-\frac{u_{n}}{2 n-1}\).\\
b. En déduire : \(\underset{n \rightarrow+\infty}{u_{n} \rightarrow 1}\).
\end{enumerate}

\section*{EXERCICE 3}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que l'intégrale \(\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \sqrt{x}} \mathrm{~d} x\) est convergente et calculer sa valeur.
\end{enumerate}

Soit \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la fonction définie par :

\[
\left\{\begin{array}{l}
f(x)=0 \text { si } x<2 \\
f(x)=\frac{1}{x \sqrt{2 x}} \text { si } x \geq 2
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Montrer que f définit une densité de probabilité.
  \item Soit \(X\) une variable aléatoire réelle admettant \(f\) pour densité.\\
a. Déterminer sa fonction de répartition.\\
b. La variable aléatoire \(X\) admet-elle une espérance ?
\end{enumerate}

On considère trois variables aléatoires indépendantes \(T_{1}, T_{2}, T_{3}\), chacune de même loi que \(X\).\\
4. On considère la variable aléatoire \(U=\operatorname{Inf}\left(T_{1}, T_{2}, T_{3}\right)\) définie par :

\[
\forall t \in \mathbb{R},(U>t)=\left(T_{1}>t\right) \cap\left(T_{2}>t\right) \cap\left(T_{3}>t\right)
\]

a. Déterminer la fonction de répartition \(G\) de \(U\).\\
b. Montrer que \(U\) admet une densité et déterminer une densité \(g\) de \(U\).\\
c. Montrer que \(U\) admet une espérance et calculer \(E(U)\).\\
5. On considère la variable aléatoire \(V=\operatorname{Sup}\left(T_{1}, T_{2}, T_{3}\right)\) définie par :

\[
\forall t \in \mathbb{R},(\mathrm{~V} \leq t)=\left(\mathrm{T}_{1} \leq t\right) \cap\left(\mathrm{T}_{2} \leq t\right) \cap\left(\mathrm{T}_{3} \leq t\right)
\]

a. Déterminer la fonction de répartition \(H\) de \(V\).\\
b. Montrer que V admet une densité et déterminer une densité h de V .\\
c. La variable aléatoire V admet-elle une espérance ?


\end{document}