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\title{Programme ESC d'E.M.LYON }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{CONCOURS D'ENTRÉE 2004}
\section*{MATHEMATIQUES \(1^{\text {ère }}\) épreuve (option économique)}
Lundi 3 mai 2004 de 8 heures à 12 heures\\
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

\section*{PREMIER EXERCICE}
On considère l'application \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) définie, pour tout \(t \in \mathbb{R}\), par :

\[
f(t)=\frac{2 \mathrm{e}^{t}}{\sqrt{1+t^{2}}}
\]

\begin{enumerate}
  \item Dresser le tableau de variation de \(f\) sur \(\mathbb{R}\), comprenant les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).
  \item a. Établir, pour tout \(t \in\left[0 ;+\infty\left[: \quad 2 \mathrm{e}^{t}-t-t^{2}>0\right.\right.\) et \(1+t \geqslant \sqrt{1+t^{2}}\).\\
b. En déduire :
\end{enumerate}

\[
\forall t \in[0 ;+\infty[, \quad f(t)>t .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item On considère la suite réelle \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) définie par \(u_{0}=1\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :
\end{enumerate}

\[
u_{n+1}=f\left(u_{n}\right) .
\]

a. Établir que \(u_{n}\) tend vers \(+\infty\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).\\
b. Écrire un programme en Pascal qui calcule et affiche le plus petit entier \(n\) tel que \(u_{n} \geqslant 10^{6}\).\\
4. On considère l'application \(G: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) définie, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), par :

\[
G(x)=\int_{-x}^{x} f(t) \mathrm{d} t
\]

a. Montrer que \(G\) est impaire.\\
b. Montrer que \(G\) est de classe \(C^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) et calculer \(G^{\prime}(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).\\
c. Quelle est la limite de \(G(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) ?\\
d. Étudier le sens de variation de \(G\) et dresser le tableau de variation de \(G\) sur \(\mathbb{R}\), comprenant les limites de \(G\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).

\section*{DEUXIÈME EXERCICE}
On note \(M_{3}(\mathbb{R})\) l'espace vectoriel réel des matrices carrées d'ordre trois à éléments réels, \(I\) la matrice identité de \(M_{3}(\mathbb{R}), 0\) la matrice nulle de \(M_{3}(\mathbb{R})\).

On considère, pour toute matrice \(A\) de \(M_{3}(\mathbb{R})\), les ensembles \(E_{1}(A)\) et \(E_{2}(A)\) suivants :

\[
\begin{aligned}
& E_{1}(A)=\left\{M \in M_{3}(\mathbb{R}) ; A M=M\right\} \\
& E_{2}(A)=\left\{M \in M_{3}(\mathbb{R}) ; A^{2} M=A M\right\}
\end{aligned}
\]

\section*{Partie I}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(E_{1}(A)\) est un sous-espace vectoriel de \(M_{3}(\mathbb{R})\).
\end{enumerate}

On admettra que \(E_{2}(A)\) est aussi un sous-espace vectoriel de \(M_{3}(\mathbb{R})\).\\
2. a. Établir: \(E_{1}(A) \subset E_{2}(A)\).\\
b. Montrer que, si \(A\) est inversible, alors \(E_{1}(A)=E_{2}(A)\).\\
3. a. Établir que, si \(A-I\) est inversible, alors \(E_{1}(A)=\{0\}\).\\
b. Un exemple : Soit \(B=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)\). Déterminer \(E_{1}(B)\) et \(E_{2}(B)\).

\section*{Partie II}
On considère la matrice \(C=\left(\begin{array}{ccc}3 & -2 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 0\end{array}\right)\).

\begin{enumerate}
  \item Calculer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(C\).
  \item En déduire une matrice diagonale \(D\), dont les termes diagonaux sont dans l'ordre croissant, et une matrice inversible \(P\), dont les éléments de la première ligne sont égaux à 1 , telles que \(C=P D P^{-1}\).
  \item Soit \(M \in M_{3}(\mathbb{R})\). On note \(N=P^{-1} M\).
\end{enumerate}

Montrer :

\[
M \in E_{1}(C) \Longleftrightarrow N \in E_{1}(D) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Montrer que \(N \in E_{1}(D)\) si et seulement s'il existe trois réels \(a, b, c\) tels que \(N=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ a & b & c \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)\).
  \item En déduire l'expression générale des matrices de \(E_{1}(C)\) et déterminer une base et la dimension de \(E_{1}(C)\).
  \item Donner l'expression générale des matrices de \(E_{2}(C)\) et déterminer une base et la dimension de \(E_{2}(C)\).\\
Est-ce que \(E_{1}(C)=E_{2}(C)\) ?
\end{enumerate}

\section*{TROISIÈME EXERCICE}
Une urne contient des boules blanches, des boules rouges et des boules vertes.

\begin{itemize}
  \item La proportion de boules blanches est \(b\).
  \item La proportion de boules rouges est \(r\).
  \item La proportion de boules vertes est \(v\).
\end{itemize}

Ainsi, on a : \(0<b<1, \quad 0<r<1, \quad 0<v<1\) avec \(b+r+v=1\).\\
On effectue des tirages successifs avec remise et on s'arrête au premier changement de couleur. Pour tout entier naturel \(i\) supérieur ou égal à 1 , on note \(B_{i}\) (respectivement \(R_{i}\); \(V_{i}\) ) l'événement « la \(i\)-ème boule tirée est blanche (respectivement rouge ; verte) ».

On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.\\
Par exemple, lorsque le résultat des tirages est \(V_{1}, V_{2}, B_{3}\), la variable aléatoire \(X\) prend la valeur 3.

\section*{Partie I}
\begin{enumerate}
  \item Préciser les valeurs possibles de \(X\).
  \item Montrer : \(\forall k \in \mathbb{N}-\{0,1\}, \quad \mathrm{P}(X=k)=(1-b) b^{k-1}+(1-r) r^{k-1}+(1-v) v^{k-1}\).
  \item Montrer que la variable aléatoire \(X\) admet une espérance et que :
\end{enumerate}

\[
\mathrm{E}(X)=\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-r}+\frac{1}{1-v}-2
\]

\section*{Partie II}
On considère la fonction \(f\) de classe \(C^{2}\) sur \(] 0 ; 1[\times] 0 ; 1[\) définie par :

\[
\forall(x, y) \in] 0 ; 1[\times] 0 ; 1\left[, \quad f(x, y)=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{x+y}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \item Calculer, pour tout \((x, y) \in] 0 ; 1[\times] 0 ; 1\left[, \frac{\partial f}{\partial x}(x, y)\right.\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)\).
  \item Montrer qu'il existe un unique point \(I\) de \(] 0 ; 1[\times] 0 ; 1[\) en lequel \(f\) est susceptible de posséder un extremum local et déterminer \(I\).
  \item Montrer que \(f\) admet en \(I\) un minimum local.\\
4.a. Exprimer \(\mathrm{E}(X)\) en fonction de \(f(b, r)\).\\
b. Que peut-on dire de \(\mathrm{E}(X)\) lorsque \(b=r=v=\frac{1}{3}\) ?
\end{enumerate}

\section*{Partie III}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que l'intégrale \(\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{3^{t}} \mathrm{~d} t\) est convergente et déterminer sa valeur.
\end{enumerate}

On rappelle que \(3^{t}=\mathrm{e}^{t \ln 3}\).\\
On note \(\alpha=\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{3^{t}} \mathrm{~d} t\) et on considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[
\begin{cases}g(t)=0 & \text { si } t \in]-\infty ; 2[ \\ g(t)=\frac{1}{\alpha 3^{t}} & \text { si } t \in[2 ;+\infty[ \end{cases}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Vérifier que \(g\) est une densité de probabilité.
\end{enumerate}

On note \(Y\) une variable aléatoire admettant \(g\) comme densité.\\
3. Montrer que \(Y\) admet une espérance et calculer cette espérance.\\
4. On note \(Z\) la variable aléatoire égale à la partie entière de \(Y\). On rappelle que la partie entière d'un nombre réel \(x\) est le plus grand entier inférieur ou égal à \(x\).\\
a. Déterminer la loi de probabilité de \(Z\).\\
b. Comparer la loi de probabilité de \(X\) lorsque \(b=r=v=\frac{1}{3}\) et la loi de probabilité de \(Z\).

\begin{itemize}
  \item FIN -
\end{itemize}

\end{document}