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\begin{document}
Concepteur : EM LYON\\
\(1^{\text {ère }}\) épreuve (option économique)

\section*{MATHÉMATIQUES}
Lundi 9 mai 2005 de 8 heures à 12 heures

Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

\section*{Exercice 1}
On considère les éléments suivants de \(M_{3}(\mathbb{R})\) :

\[
I=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right), \quad J=\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right), \quad K=\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)
\]

On note \(E\) le sous-espace vectoriel de \(M_{3}(\mathbb{R})\) engendré par \(I, J\) et \(K\).\\
Pour toute matrice \(M\) de \(E\), on note \(M^{0}=I\), et si \(M\) est inversible, on note, pour tout entier naturel \(k\), \(M^{-k}=\left(M^{-1}\right)^{k}\), et on rappelle qu'alors \(M^{k}\) est inversible et que \(\left(M^{k}\right)^{-1}=M^{-k}\).

\begin{enumerate}
  \item Déterminer la dimension de \(E\).
  \item Calculer \(J^{2}, J K, K J\) et \(K^{2}\).
  \item Soit la matrice \(L=I+J\).\\
a. Montrer, pour tout entier naturel \(n\) :
\end{enumerate}

\[
L^{n}=I+n J+\frac{n(n-1)}{2} K .
\]

b. Vérifier que \(L\) est inversible et montrer, pour tout entier relatif \(n\) :

\[
L^{n}=I+n J+\frac{n(n-1)}{2} K .
\]

c. Exprimer, pour tout entier relatif \(n, L^{n}\) à l'aide de \(I, L, L^{2}\) et \(n\).

On considère la matrice \(A=\left(\begin{array}{rrr}0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & -3 & 3\end{array}\right)\) de \(M_{3}(\mathbb{R})\) et on note \(f\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) représenté par la matrice \(A\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\) et \(e\) l'application identique de \(\mathbb{R}^{3}\) dans lui-même.\\
4. Montrer que \(f\) admet une valeur propre et une seule que l'on déterminera.

Est-ce que \(f\) est diagonalisable?\\
5.a. Soit \(w=(1,0,0)\).

Calculer \(v=(f-e)(w)\) et \(u=(f-e)(v)\).\\
Montrer que ( \(u, v, w\) ) est une base de \(\mathbb{R}^{3}\).\\
b. Déterminer la matrice associée à \(f\) relativement à la base ( \(u, v, w\) ).\\
c. Montrer que \(f\) est un automorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) et, pour tout entier relatif \(n\), exprimer \(f^{n}\) à l'aide de \(e, f, f^{2}\) et \(n\).

\section*{Exercice 2}
On considère l'application \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) définie, pour tout réel \(t\), par :

\[
f(t)=\left\{\begin{array}{cc}
0 & \text { si } t \leqslant 0 \\
\frac{1}{(t+1)^{2}} & \text { si } t>0
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \item Tracer l'allure de la courbe représentative de \(f\).
  \item Montrer que \(f\) est une densité de probabilité.
  \item Montrer que, pour tout réel \(x\), l'intégrale \(\int_{-\infty}^{x} f(t) \mathrm{d} t\) converge, et calculer cette intégrale.
\end{enumerate}

On distinguera les cas \(x \leqslant 0\) et \(x>0\).\\
4. Déterminer un réel positif \(\alpha\) tel que \(\int_{0}^{\alpha} f(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2}\).\\
5. Soit \(x \in[0 ;+\infty[\) fixé.

On considère la fonction \(\varphi_{x}\) définie sur \(\left[0 ;+\infty\left[\operatorname{par}: \forall u \in\left[0 ;+\infty\left[, \quad \varphi_{x}(u)=\int_{x-u}^{x+u} f(t) \mathrm{d} t\right.\right.\right.\right.\).\\
a. Calculer \(\varphi_{x}(0)\) et \(\lim _{u \rightarrow+\infty} \varphi_{x}(u)\).\\
b. Montrer : \(\quad \forall(u, v) \in\left(\left[0 ;+\infty[)^{2}, \quad u<v \Longrightarrow \varphi_{x}(v)-\varphi_{x}(u) \geqslant \int_{x+u}^{x+v} f(t) \mathrm{d} t\right.\right.\).

En déduire que \(\varphi_{x}\) est strictement croissante sur \([0 ;+\infty[\).\\
c. On admet que \(\varphi_{x}\) est continue sur \(\left[0 ;+\infty\left[\right.\right.\). Montrer que l'équation \(\varphi_{x}(u)=\frac{1}{2}\), d'inconnue \(u\), admet une solution et une seule dans \([0 ;+\infty[\).\\
On note \(U:[0 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R}\) l'application qui, à tout réel \(x \in[0 ;+\infty[\), associe \(U(x)\) l'unique solution de l'équation \(\varphi_{x}(u)=0\).\\
Ainsi, pour tout \(x \in\left[0 ;+\infty\left[\right.\right.\), on a : \(\int_{x-U(x)}^{x+U(x)} f(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2}\).\\
6.a. Vérifier, pour tout \(x \in\left[0 ; \frac{1}{2}[: \quad U(x)=1-x\right.\).\\
b. Pour tout \(x \in\left[\frac{1}{2} ;+\infty\left[\right.\right.\), montrer : \(\varphi_{x}(x) \geqslant \frac{1}{2}\), puis : \(x-U(x) \geqslant 0\), et en déduire : \(U(x)=\sqrt{4+(x+1)^{2}}-2\).\\
7.a. Montrer que l'application \(U\) est continue sur \([0 ;+\infty[\).\\
b. Étudier la dérivabilité de \(U\) sur \([0 ;+\infty[\).\\
c. Montrer que la droite d'équation \(y=x-1\) est asymptote à la courbe représentative de \(U\).\\
d. Tracer l'allure de la courbe représentative de \(U\).\\
8. On considère la suite réelle \(\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par \(\left\{\begin{array}{l}a_{0}=1 \\ \forall n \in \mathbb{N}, a_{n+1}=U\left(a_{n}\right) \text {. }\end{array}\right.\)\\
a. Montrer : \(\quad \forall n \in \mathbb{N}, \quad a_{n} \geqslant \frac{1}{2}\).\\
b. Montrer que la suite \(\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est décroissante.\\
c. En déduire que la suite \(\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge et montrer que sa limite est égale à \(\frac{1}{2}\).\\
d. Écrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche le plus petit entier \(n \in \mathbb{N}\) tel que :

\[
\left|a_{n}-\frac{1}{2}\right| \leqslant 10^{-6}
\]

\section*{Exercice 3}
\section*{1. Préliminaire :}
Soit \(x \in] 0 ; 1[\). Dans une succession d'épreuves de Bernoulli indépendantes, de même probabilité d'échec \(x\), on définit deux suites de variables aléatoires \(\left(S_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) et \(\left(T_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) de la façon suivante :

\begin{itemize}
  \item pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(S_{n}\) est la variable aléatoire égale au nombre d'épreuves nécessaires pour obtenir le \(n\)-ième succès ;\\
\(\star T_{1}\) est la variable aléatoire égale à \(S_{1}\) et pour tout entier naturel \(n \geqslant 2, T_{n}\) est la variable aléatoire égale au nombre d'épreuves supplémentaires nécessaires pour obtenir le \(n\)-ième succès après le \((n-1)\)-ième succès.\\
Ainsi, pour tout \(n \geqslant 2, T_{n}=S_{n}-S_{n-1}\) et pour tout \(n \geqslant 1, S_{n}=T_{1}+T_{2}+\cdots+T_{n}\).\\
a. Pour tout entier naturel \(n\) non nul, déterminer la loi de \(T_{n}\) et, sans calcul, donner l'espérance et la variance de \(T_{n}\).\\
b. Pour tout entier naturel \(n \geqslant 2\), justifier l'indépendance des variables aléatoires \(T_{1}, T_{2}, \ldots, T_{n}\).\\
c. Pour tout entier naturel \(n\) non nul, montrer que l'espérance et la variance de \(S_{n}\) sont définies et montrer : \(\quad \mathrm{E}\left(S_{n}\right)=\frac{n}{1-x} \quad\) et \(\quad \mathrm{V}\left(S_{n}\right)=\frac{n x}{(1-x)^{2}}\).\\
d. Soit \(n\) un entier naturel non nul. Déterminer la loi de \(S_{n}\).
\end{itemize}

Que peut-on dire, sans calcul, de la valeur de \(\sum_{k=n}^{+\infty} P\left(S_{n}=k\right)\) ?\\
e. En déduire, pour tout \(x \in] 0 ; 1[\) et pour tout entier naturel \(n\) non nul :

\[
\sum_{k=n}^{+\infty}\binom{k-1}{n-1} x^{k}=\frac{x^{n}}{(1-x)^{n}}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Deux joueurs \(A\) et \(B\) procèdent chacun à une succession de lancers d'une même pièce. À chaque lancer, la probabilité d'obtenir pile est \(p(p\) fixé, \(p \in] 0 ; 1[)\), et la probabilité d'obtenir face est \(q=1-p\).\\
Le joueur \(A\) commence et il s'arrête quand il obtient le premier pile. On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués par le joueur \(A\).\\
Le joueur \(B\) effectue alors autant de lancers que le joueur \(A\) et on note \(Y\) la variable aléatoire égale au nombre de piles obtenu par le joueur \(B\).\\
a. Rappeler la loi de \(X\) et, pour tout \(k \geqslant 1\), donner la loi conditionnelle de \(Y\) sachant \(X=k\).\\
b. Quelles sont les valeurs prises par \(Y\) ?\\
c. Montrer :
\end{enumerate}

\[
P(Y=0)=\sum_{k=1}^{+\infty} p q^{2 k-1}=\frac{q}{1+q}
\]

d. Soit \(n\) un entier naturel non nul.

Montrer :

\[
P(Y=n)=\sum_{k=n}^{+\infty}\binom{k}{n} p^{n+1} q^{2 k-n-1}
\]

puis, en utilisant 1.e,

\[
P(Y=n)=\frac{1}{(1+q)^{2}}\left(\frac{q}{1+q}\right)^{n-1}
\]


\end{document}