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\title{CODE EPREUVE : \\
 296 \\
 EML\_MATE }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{Concepteur : EM LYON}
\(1{ }^{\text {ère }}\) épreuve (option économique)

\section*{MATHÉMATIQUES}
Mardi 2 mai 2006 de 8 heures à 12 heures

Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

\section*{Exercice 1}
On considère les trois matrices de \(\mathbf{M}_{2}(\mathbb{R})\) suivantes :

\[
A=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{array}\right), \quad D=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right), \quad U=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right) .
\]

1.a. Quelles sont les valeurs propres de \(A\) ?\\
b. Déterminer une matrice inversible \(P\) telle que : \(A=P D P^{-1}\).

On note \(E\) l'ensemble des matrices carrées \(M\) d'ordre deux telles que : \(\quad A M=M D\).\\
2.a. Vérifier que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbf{M}_{2}(\mathbb{R})\).\\
b. Soit \(M=\left(\begin{array}{ll}x & y \\ z & t\end{array}\right)\) une matrice de \(\mathbf{M}_{2}(\mathbb{R})\).

Montrer que \(M\) appartient à \(E\) si et seulement si : \(\quad z=0\) et \(y=t\).\\
c. Établir que ( \(U, A\) ) est une base de \(E\).\\
d. Calculer le produit \(U A\). Est-ce que \(U A\) est élément de \(E\) ?\\
3. On note \(f: \mathbf{M}_{2}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbf{M}_{2}(\mathbb{R})\) l'application définie, pour toute \(M \in \mathbf{M}_{2}(\mathbb{R})\), par :

\[
f(M)=A M-M D .
\]

a. Vérifier que \(f\) est linéaire.\\
b. Déterminer le noyau de \(f\) et donner sa dimension.\\
c. Quelle est la dimension de l'image de \(f\) ?\\
d. Déterminer les matrices \(M\) de \(\mathbf{M}_{2}(\mathbb{R})\) telles que \(f(M)=M\).

En déduire que 1 est valeur propre de \(f\).\\
Montrer que -1 est aussi valeur propre de \(f\).\\
e. Est-ce que \(f\) est diagonalisable ?\\
f. Montrer : \(f \circ f \circ f=f\).

\section*{Exercice 2}
On note \(F: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}\) l'application définie, pour tout \((x, y) \in \mathbb{R}^{2}\) par :

\[
F(x, y)=(x-1)(y-2)(x+y-6)
\]

1.a. Montrer que \((4,2)\) et \((2,3)\) sont des points critiques de \(F\).\\
b. Est-ce que \(F\) présente un extrémum local au point ( 4,2 ) ?

Est-ce que \(F\) présente un extrémum local au point \((2,3)\) ?\\
2. On note \(\varphi: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) l'application définie, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), par :

\[
\varphi(x)=x(x-2)(2 x-5)
\]

a. Montrer : \(\quad \forall x \in[4 ;+\infty[, \quad(x-2)(2 x-5) \geqslant 4\).\\
b. En déduire : \(\forall x \in[4 ;+\infty[, \varphi(x) \geqslant 4 x\) et \(\varphi(x) \in[4 ;+\infty[\).\\
3. On considère la suite réelle \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par \(u_{0}=4\) et :

\[
\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1}=F\left(1+u_{n}, u_{n}\right)
\]

a. Exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_{n}\) à l'aide de la fonction \(\varphi\).\\
b. Montrer : \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n} \geqslant 4^{n+1}\).

Quelle est la nature de la série de terme général \(\frac{1}{u_{n}}\) ?\\
c. Écrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche le plus petit entier naturel \(n\) tel que \(u_{n} \geqslant 10^{10}\).\\
4. On note \(g:[4 ;+\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\) l'application définie, pour tout \(x \in[4 ;+\infty[\), par :

\[
g(x)=\frac{10}{\varphi(x)}
\]

a. Montrer que l'intégrale \(\int_{4}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x\) converge.\\
b. Trouver trois réels \(a, b, c\) tels que :

\[
\forall x \in\left[4 ;+\infty\left[, \quad g(x)=\frac{a}{x}+\frac{b}{x-2}+\frac{c}{2 x-5}\right.\right.
\]

c. Calculer \(\int_{4}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x\).

\section*{Exercice 3}
\section*{Partie A}
\begin{enumerate}
  \item Soit \(U\) une variable aléatoire suivant une loi normale d'espérance nulle et de variance \(\frac{1}{2}\).\\
a. Rappeler l'expression d'une densité de \(U\).\\
b. En utilisant la définition de la variance de \(U\), montrer que l'intégrale \(\int_{0}^{+\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x\) est convergente et que \(\quad \int_{0}^{+\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{\sqrt{\pi}}{4}\).
\end{enumerate}

Soit \(F\) la fonction définie sur \(\mathbb{R} \operatorname{par}\left\{\begin{array}{ll}\forall x \leqslant 0, & F(x)=0 \\ \forall x>0, & F(x)=1-\mathrm{e}^{-x^{2}}\end{array}\right.\).\\
2. Montrer que la fonction \(F\) définit une fonction de répartition d'une variable aléatoire dont on déterminera une densité \(f\).\\
3. Soit \(X\) une variable aléatoire admettant \(f\) pour densité.\\
a. Montrer que \(X\) admet une espérance \(\mathrm{E}(X)\) et que \(\mathrm{E}(X)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\).\\
b. Déterminer, pour tout réel \(y\), la probabilité \(\mathrm{P}\left(X^{2} \leqslant y\right)\). On distinguera les cas \(y \leqslant 0\) et \(y>0\).\\
c. Montrer que la variable aléatoire \(X^{2}\) suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre. En déduire que \(X\) admet une variance \(\mathrm{V}(X)\) et calculer \(\mathrm{V}(X)\).

\section*{Partie B}
\begin{enumerate}
  \item Soit \(Z\) une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre \(p\).
\end{enumerate}

Ainsi, pour tout \(k \in \mathbb{N}^{*}, \quad \mathrm{P}(Z=k)=p(1-p)^{k-1}\).\\
Rappeler la valeur de l'espérance \(\mathrm{E}(Z)\) et celle de la variance \(\mathrm{V}(Z)\) de la variable aléatoire \(Z\).\\
2. Soient un entier \(n\) supérieur ou égal à 2 et \(n\) variables aléatoires indépendantes \(Z_{1}, Z_{2}, \ldots, Z_{n}\) suivant toutes la loi géométrique de paramètre \(p\).\\
On considère la variable aléatoire \(M_{n}=\frac{1}{n}\left(Z_{1}+Z_{2}+\cdots+Z_{n}\right)\).\\
a. Déterminer l'espérance \(m\) et l'écart-type \(\sigma_{n}\) de \(M_{n}\).\\
b. Montrer que \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \mathrm{P}\left(0 \leqslant M_{n}-m \leqslant \sigma_{n}\right)\) existe et exprimer sa valeur à l'aide de \(\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \mathrm{~d} x\).


\end{document}