\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{underscore}
\usepackage{bbold}

\title{BANQUE COMMUNE D'ÉPREUVES }

\author{TOURNEZ S.V.P.}
\date{}


\DeclareUnicodeCharacter{2605}{\ifmmode\star\else{$\star$}\fi}

\begin{document}
\maketitle
\[
\begin{array}{ll} 
& \text { CODE SUJET } \\
& 296 \\
& \text { EML_MATS }
\end{array}
\]

\section*{Concepteur : EM LYON}
\section*{Première épreuve (option économique)}
\section*{MATHÉMATIQUES}
Lundi 30 avril 2007 de 8 heures à 12 heures

Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.



\section*{Exercice 1}
On considère la matrice carrée d'ordre trois suivante :

\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0
\end{array}\right) .
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer, sans calcul, que \(A\) est diagonalisable.
  \item Déterminer une matrice diagonale \(D\) et une matrice inversible et symétrique \(P\), de première ligne \(\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1\end{array}\right)\) et de deuxième ligne \(\left(\begin{array}{lll}1 & -1 & 0\end{array}\right)\), telles que \(A=P D P^{-1}\).\\
Calculer \(P^{-1}\).
  \item Déterminer, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), la matrice \(A^{n}\) par ses éléments.
  \item Soient \(u_{0}, v_{0}, w_{0}\) trois nombres réels positifs ou nuls tels que \(u_{0}+v_{0}+w_{0}=1\).
\end{enumerate}

On note \(X_{0}=\left(\begin{array}{l}u_{0} \\ v_{0} \\ w_{0}\end{array}\right)\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}, X_{n}=\left(\begin{array}{c}u_{n} \\ v_{n} \\ w_{n}\end{array}\right)\) la matrice colonne définie par la relation de récurrence : \(X_{n}=A X_{n-1}\).\\
a. Montrer, pour tout \(n \in \mathbb{N}: \quad X_{n}=A^{n} X_{0}\).\\
b. En déduire, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :

\[
\left\{\begin{array}{l}
u_{n}=\frac{1}{3}+\left(u_{0}-\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)^{n} \\
v_{n}=\frac{1}{3}+\left(v_{0}-\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)^{n} \\
w_{n}=\frac{1}{3}+\left(w_{0}-\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}
\end{array}\right.
\]

c. Déterminer les limites respectives \(u, v, w\) de \(u_{n}, v_{n}, w_{n}\) lorsque le nombre entier \(n\) tend vers l'infini.

On note, pour tout \(n \in \mathbb{N}: \quad d_{n}=\sqrt{\left(u_{n}-u\right)^{2}+\left(v_{n}-v\right)^{2}+\left(w_{n}-w\right)^{2}}\).\\
d. Montrer, pour tout \(n \in \mathbb{N}: \quad d_{n} \leqslant \frac{1}{2^{n-1}}\).\\
e. Déterminer un entier naturel \(n\) tel que : \(d_{n} \leqslant 10^{-2}\).

\section*{Exercice 2}
\section*{Préliminaire}
On donne : \(0,69<\ln 2<0,70\).\\
On considère l'application :

\[
g:] 0 ;+\infty\left[\longrightarrow \mathbb{R}, x \longmapsto g(x)=x^{2}+\ln x\right.
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(g\) est continue et strictement croissante sur ] \(0 ;+\infty\) [ et déterminer les limites de \(g\) en 0 et en \(+\infty\).
  \item Montrer que l'équation \(g(x)=0\), d'inconnue \(x \in] 0 ;+\infty[\), admet une solution et une seule.
\end{enumerate}

On note \(\alpha\) l'unique solution de cette équation.\\
3. Montrer : \(\frac{1}{2}<\alpha<1\).

\section*{Partie A}
On note \(I=\left[\frac{1}{2} ; 1\right]\) et on considère l'application :

\[
f: I \longrightarrow \mathbb{R}, x \longmapsto f(x)=x-\frac{1}{4} x^{2}-\frac{1}{4} \ln x
\]

\begin{enumerate}
  \item a. Montrer que \(f\) est strictement croissante sur \(I\).\\
b. Montrer : \(\frac{1}{2}<f\left(\frac{1}{2}\right)<f(1)<1\).\\
c. En déduire : \(\forall x \in I, \quad f(x) \in I\).
  \item On considère la suite réelle \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par \(u_{0}=1\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)\).\\
a. Calculer \(u_{1}\).\\
b. Montrer : \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n} \in I\).\\
c. Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est décroissante.\\
d. Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge et que sa limite est le réel \(\alpha\).
\end{enumerate}

\section*{Partie B}
On considère l'application :

\[
F: \mathbb{R}_{+}^{*} \times \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \quad(x, y) \longmapsto F(x, y)=x \mathrm{e}^{y}+y \ln x .
\]

\begin{enumerate}
  \item a. Montrer que \(F\) est de classe \(C^{1}\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{*} \times \mathbb{R}\) et calculer les dérivées partielles premières de \(F\) en tout point \((x, y)\) de \(\mathbb{R}_{+}^{*} \times \mathbb{R}\).\\
b. Montrer que \(F\) admet un point critique et un seul que l'on exprimera à l'aide du nombre réel \(\alpha\).
  \item Est-ce que \(F\) admet un extremum local ?
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}
\begin{enumerate}
  \item On considère l'application \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) définie pour tout nombre réel \(x\) par :
\end{enumerate}

\[
\begin{cases}f(x)=\mathrm{e}^{-x} & \text { si } x>0 \\ f(x)=0 & \text { si } x \leqslant 0\end{cases}
\]

Montrer que \(f\) est une densité de probabilité.\\
On considère une variable aléatoire \(X\) admettant \(f\) pour densité.\\
2. On définit la variable aléatoire discrète \(Y\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\) de la façon suivante :

\begin{itemize}
  \item l'événement ( \(Y=0\) ) est égal l'événement ( \(X<1\) ),
\end{itemize}

★ pour tout nombre entier strictement positif \(n\), l'événement \((Y=n)\) est égal à l'événement ( \(n \leqslant X<n+1\) ).\\
a. Montrer, pour tout entier naturel \(n: \quad \mathrm{P}(Y=n)=\left(1-\frac{1}{\mathrm{e}}\right) \mathrm{e}^{-n}\).\\
b. Montrer que la variable aléatoire \(Y+1\) suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre. En déduire l'espérance et la variance de \(Y\).\\
c. Recopier et compléter le programme ci-dessous pour qu'il simule la variable aléatoire \(Y\).

\begin{verbatim}
program eml2007;
var y:integer; u:real;
begin
    randomize;
    u:=random; y:=...;
    while ... do.
        ... ... ...
    writeln('y vaut ', y);
end.
\end{verbatim}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Soit \(U\) une variable de Bernoulli telle que \(\mathrm{P}(U=1)=\mathrm{P}(U=0)=\frac{1}{2}\).
\end{enumerate}

On suppose que les variables aléatoires \(U\) et \(Y\) sont indépendantes.\\
Soit la variable aléatoire \(T=(2 U-1) Y\), produit des variables aléatoires \(2 U-1\) et \(Y\).\\
Ainsi, \(T\) est une variable aléatoire discrète à valeurs dans \(\mathbb{Z}\), l'ensemble des entiers relatifs.\\
a. Montrer que la variable aléatoire \(T\) admet une espérance \(\mathrm{E}(T)\) et calculer \(\mathrm{E}(T)\).\\
b. Vérifier que \(T^{2}=Y^{2}\).

En déduire que la variable aléatoire \(T\) admet une variance \(\mathrm{V}(T)\) et calculer \(\mathrm{V}(T)\).\\
c. Pour tout nombre entier relatif \(n\), calculer la probabilité \(\mathrm{P}(T=n)\).\\
4. Soit la variable aléatoire \(D=X-Y\). On note \(\mathrm{F}_{D}\) la fonction de répartition de \(D\).\\
a. Justifier : \(\forall t \in]-\infty ; 0\left[, \quad \mathrm{~F}_{D}(t)=0, \quad\right.\) et : \(\forall t \in\left[1 ;+\infty\left[, \quad \mathrm{F}_{D}(t)=1\right.\right.\).\\
b. Soit \(t \in[0 ; 1[\). Exprimer l'événement \((D \leqslant t)\) à l'aide des événements \((n \leqslant X \leqslant n+t), n \in \mathbb{N}\).\\
c. Pour tout nombre réel \(t \in[0 ; 1[\) et pour tout nombre entier naturel \(n\), calculer la probabilité \(\mathrm{P}(n \leqslant X \leqslant n+t)\).\\
d. Montrer : \(\forall t \in\left[0 ; 1\left[, \quad \mathrm{~F}_{D}(t)=\frac{1-\mathrm{e}^{-t}}{1-\mathrm{e}^{-1}}\right.\right.\).\\
e. Montrer que \(D\) est une variable aléatoire à densité. Déterminer une densité de \(D\).


\end{document}