\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{bbold}

\begin{document}
Concepteur : EM LYON\\
\(\_\_\_\_\) MATE

\section*{Première épreuve (option économique)}
\section*{MATHÉMATIQUES}
Mardi 29 avril 2008 de 8 heures à 12 heures

Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

Tournez S.V.P.

\section*{Exercice 1}
On admet l'encadrement suivant : \(2,7<\mathrm{e}<2,8\).

\section*{Partie I : Étude d'une fonction}
On considère l'application \(f:[0 ;+\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\) définie, pour tout \(t \in[0 ;+\infty[\), par :

\[
f(t)=\left\{\begin{array}{cc}
t \ln t-t & \text { si } t \neq 0 \\
0 & \text { si } t=0
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(f\) est continue sur \([0 ;+\infty[\).
  \item Justifier que \(f\) est de classe \(C^{1}\) sur \(] 0 ;+\infty\left[\right.\) et calculer \(f^{\prime}(t)\) pour tout \(\left.t \in\right] 0 ;+\infty[\).
  \item Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\).
  \item Dresser le tableau des variations de \(f\).
  \item Montrer que \(f\) est convexe sur \(] 0 ;+\infty[\).
  \item On note \(\Gamma\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormal ( \(O ; \vec{i}, \vec{j}\) ).\\
a. Montrer que \(\Gamma\) admet une demi-tangente en \(O\).\\
b. Déterminer les points d'intersection de \(\Gamma\) avec l'axe des abscisses.\\
c. Préciser la nature de la branche infinie de \(\Gamma\).\\
d. Tracer \(\Gamma\).
\end{enumerate}

\section*{Partie II : Étude d'une fonction définie par une intégrale}
On considère l'application \(G:] 1 ;+\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\) définie, pour tout \(x \in] 1 ;+\infty[\), par :

\[
G(x)=\frac{1}{2} \int_{x-1}^{x+1} f(t) \mathrm{d} t
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(G\) est de classe \(C^{2}\) sur \(] 1 ;+\infty[\) et que, pour tout \(x \in] 1 ;+\infty[\) :
\end{enumerate}

\[
\begin{aligned}
G^{\prime}(x) & =\frac{1}{2}(f(x+1)-f(x-1)) \\
\text { et } G^{\prime \prime}(x) & =\frac{1}{2}(\ln (x+1)-\ln (x-1))
\end{aligned}
\]

À cet effet, on pourra faire intervenir une primitive \(F\) de \(f\) sans chercher à calculer \(F\).\\
2. a. Montrer que \(G^{\prime}\) est strictement croissante sur \(] 1 ;+\infty[\).\\
b. Vérifier : \(G^{\prime}(2)>0\).\\
c. Établir que l'équation \(G^{\prime}(x)=0\), d'inconnue \(\left.x \in\right] 1 ;+\infty[\), admet une solution et une seule, notée \(\alpha\), et que \(\alpha<2\).

\section*{Partie III : Étude d'une fonction de deux variables réelles}
On considère l'application \(\Phi:] 1 ;+\infty\left[{ }^{2} \longrightarrow \mathbb{R}\right.\) définie, pour tout \(\left.(x, y) \in\right] 1 ;+\infty\left[{ }^{2}\right.\), par :

\[
\Phi(x, y)=(y-f(x+1))^{2}+(y-f(x-1))^{2} \text {, où l'application } f \text { est définie dans la partie } \mathbf{I} \text {. }
\]

\begin{enumerate}
  \item Justifier que \(\Phi\) est de classe \(C^{2}\) sur \(] 1 ;+\infty\left[{ }^{2}\right.\) et calculer les dérivées partielles premières de \(\Phi\) en tout \((x, y)\) de \(] 1 ;+\infty\left[{ }^{2}\right.\).
  \item Vérifier que ( \(\alpha, f(\alpha+1))\) est un point critique de \(\Phi\), où \(\alpha\) est défini en II 2.c.
  \item Est-ce que \(\Phi\) admet un extrémum local en \((\alpha, f(\alpha+1))\) ?
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}
On considère les matrices carrées d'ordre trois suivantes :

\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -1 \\
-2 & -2 & -1
\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 1 \\
-3 & -2 & -1 \\
1 & 1 & 0
\end{array}\right), \quad D=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) .
\]

\section*{Partie I : Réduction simultanée de \(A\) et \(B\)}
\begin{enumerate}
  \item Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(A\).
  \item En déduire une matrice carrée \(P\) d'ordre trois, inversible, de deuxième ligne ( \(-1 \quad 1 \quad 1\) ), telle que \(A=P D P^{-1}\), et calculer \(P^{-1}\).
  \item Calculer la matrice \(C=P^{-1} B P\) et vérifier que \(C\) est diagonale.
\end{enumerate}

\section*{Partie II : Étude d'un endomorphisme d'un espace de matrices}
On note \(E\) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre trois, et on considère l'application \(f: E \longrightarrow E\) qui, à toute matrice \(M\) carrée d'ordre trois, associe \(f(M)=A M-M B\).

\begin{enumerate}
  \item Donner la dimension de \(E\).
  \item Vérifier que \(f\) est un endomorphisme de \(E\).
  \item Soit \(M \in E\). On note \(N=P^{-1} M P\), où \(P\) est définie en \(\mathbf{I} .2\).\\
a. Montrer : \(M \in \operatorname{Ker}(f) \Longleftrightarrow D N=N C\).\\
b. Déterminer les matrices \(N\) carrées d'ordre trois telles que : \(D N=N C\).\\
c. Montrer que l'ensemble des matrices \(N\) carrées d'ordre trois telles que \(D N=N C\) est un espace vectoriel, et en déterminer une base et la dimension.
  \item a. En déduire la dimension de \(\operatorname{Ker}(f)\), puis la dimension de \(\operatorname{Im}(f)\).\\
b. Donner au moins un élément non nul de \(\operatorname{Ker}(f)\) et donner au moins un élément non nul de \(\operatorname{Im}(f)\).
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}
Les parties I et II sont indépendantes.

\section*{Partie I: Étude d'une variable aléatoire}
\begin{enumerate}
  \item Soit \(h\) la fonction définie sur l'intervalle \([0 ; 1]\) par :
\end{enumerate}

\[
\forall x \in[0 ; 1], \quad h(x)=\frac{x}{2-x}
\]

a. Montrer que \(h\) est une bijection de \([0 ; 1]\) sur \([0 ; 1]\) et, pour tout \(y \in[0 ; 1]\), exprimer \(h^{-1}(y)\).\\
b. Déterminer deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) vérifiant : \(\forall x \in[0 ; 1], \quad h(x)=\alpha+\frac{\beta}{2-x}\).\\
c. Calculer \(\int_{0}^{1} h(x) \mathrm{d} x\).\\
2. Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle \([0 ; 1]\).\\
a. Donner l'espérance et la variance de la variable aléatoire \(X\).\\
b. Pour tout réel \(y\) de \([0 ; 1]\), déterminer la probabilité de l'événement \(\left(\frac{X}{2-X} \leqslant y\right)\).\\
c. Montrer que la variable aléatoire \(Y=\frac{X}{2-X}\) admet une densité et déterminer une densité \(g\) de \(Y\).\\
d. Montrer que \(Y\) admet une espérance \(\mathrm{E}(Y)\) et déterminer \(\mathrm{E}(Y)\).

\section*{Partie II : Étude d'un temps d'attente}
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 2 . Une réunion est prévue entre \(n\) invités que l'on note \(I_{1}, I_{2}, \ldots, I_{n}\). Chaque invité arrivera entre l'instant 0 et l'instant 1.

Pour tout entier \(k\) tel que \(1 \leqslant k \leqslant n\), on modélise l'instant d'arrivée de l'invité \(I_{k}\) par une variable aléatoire \(T_{k}\) de loi uniforme sur l'intervalle \([0 ; 1]\). On suppose de plus que, pour tout réel \(t\), les \(n\) événements \(\left(T_{1} \leqslant t\right),\left(T_{2} \leqslant t\right), \ldots,\left(T_{n} \leqslant t\right)\) sont indépendants.

\begin{enumerate}
  \item Soit un réel \(t\) appartenant à \([0 ; 1]\). Pour tout entier \(k\) tel que \(1 \leqslant k \leqslant n\), on note \(B_{k}\) la variable aléatoire de Bernoulli prenant la valeur 1 si l'événement \(\left(T_{k} \leqslant t\right)\) est réalisé et la valeur 0 sinon.\\
On note \(S_{t}=B_{1}+B_{2}+\cdots+B_{n}\).\\
a. Que modélise la variable aléatoire \(S_{t}\) ?\\
b. Déterminer la loi de la variable aléatoire \(S_{t}\).
  \item Soit \(R_{1}\) la variable aléatoire égale à l'instant de la première arrivée.\\
a. Soit un réel \(t\) appartenant à \([0 ; 1]\). Comparer l'événement ( \(R_{1}>t\) ) et l'événement ( \(S_{t}=0\) ).\\
b. Montrer que la variable aléatoire \(R_{1}\) admet une densité et en déterminer une.
  \item Soit \(R_{2}\) la variable aléatoire égale à l'instant de la deuxième arrivée.
\end{enumerate}

Montrer que la variable aléatoire \(R_{2}\) admet une densité et en déterminer une.


\end{document}