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\begin{document}
BANQUE COMMUNE D'ÉPREUVES

\section*{Concepteur : EMLYON Business School}
\(1{ }^{\text {ère }}\) épreuve (option économique)

\section*{MATHÉMATIQUES}
Lundi 2 mai 2011 de 8 heures à 12 heures

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

\section*{Exercice 1}
On considère l'application

\[
f:] 0 ;+\infty\left[\longrightarrow \mathbb{R}, \quad x \longmapsto f(x)=(x+\ln x) \mathrm{e}^{x-1} .\right.
\]

\section*{Partie I: Étude et représentation graphique de \(f\)}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(f\) est dérivable sur \(] 0 ;+\infty\left[\right.\). On note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.
\end{enumerate}

Pour tout \(x\) de \(] 0 ;+\infty\left[\right.\), calculer \(f^{\prime}(x)\).\\
2. Établir :

\[
\forall x \in] 0 ;+\infty\left[, \quad \ln x+\frac{1}{x}>0 .\right.
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item En déduire :
\end{enumerate}

\[
\forall x \in] 0 ;+\infty\left[, \quad x+\ln x+1+\frac{1}{x}>0 .\right.
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item En déduire le sens de variation de \(f\).
  \item Dresser le tableau de variation de \(f\), comprenant la limite de \(f\) en 0 et la limite de \(f\) en \(+\infty\). Calculer \(f(1)\) et \(f^{\prime}(1)\).
  \item Préciser la nature des branches infinies de la courbe représentative \(C\) de \(f\) dans un repère du plan.
  \item Tracer l'allure de \(C\). On précisera la tangente au point d'abscisse 1.
\end{enumerate}

Il n'est demandé ni l'étude de la convexité, ni la recherche d'éventuels points d'inflexion.

\section*{Partie II : Étude d'une suite récurrente associée à \(f\)}
On considère la suite réelle \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par \(u_{0}=2\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}, u_{n}\) existe et \(u_{n} \geqslant 2\).
  \item Établir, par récurrence : \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n} \geqslant \mathrm{e}^{n}\).
\end{enumerate}

Quelle est la limite de \(u_{n}\) lorsque l'entier \(n\) tend vers l'infini ?\\
3. Écrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche le plus petit entier naturel \(n\) tel que \(u_{n} \geqslant 10^{20}\).

\section*{Partie III : Étude d'extremums locaux pour une fonction de deux variables associée à \(f\)}
On considère l'application

\[
F:] 0 ;+\infty\left[\longrightarrow \mathbb{R}, \quad x \longmapsto F(x)=\int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right.
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(F\) est de classe \(C^{2}\) sur \(] 0 ;+\infty\left[\right.\) et exprimer \(F^{\prime}(x)\), pour tout \(\left.x \in\right] 0 ;+\infty[\), à l'aide de \(f(x)\).\\
On considère l'application de classe \(C^{2}\)
\end{enumerate}

\[
G:] 0 ;+\infty\left[{ }^{2} \longrightarrow \mathbb{R}, \quad(x, y) \longmapsto G(x, y)=F(x)+F(y)-2 \mathrm{e}^{\frac{x+y}{2}}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Exprimer les dérivées partielles premières \(G_{x}^{\prime}(x, y)\) et \(G_{y}^{\prime}(x, y)\), pour tout \(\left.(x, y) \in\right] 0 ;+\infty\left[{ }^{2}\right.\), à l'aide de \(f(x), f(y)\) et \(\mathrm{e}^{\frac{x+y}{2}}\).
  \item a. Montrer que \(f\) est bijective.\\
b. Établir que, pour tout \((x, y) \in] 0 ;+\infty\left[{ }^{2},(x, y)\right.\) est un point critique de \(G\) si et seulement si :
\end{enumerate}

\[
x=y \quad \text { et } \quad x+\ln x=\mathrm{e}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Montrer que l'équation \(x+\ln x=\mathrm{e}\), d'inconnue \(x \in] 0 ;+\infty[\), admet une solution et une seule, que l'on notera \(\alpha\), et montrer que : \(1<\alpha<\mathrm{e}\).
  \item Montrer que \(G\) admet un extremum local. Préciser sa nature.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}
On considère les matrices carrées d'ordre 3 suivantes :

\[
I=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right), \quad A=\left(\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 3
\end{array}\right)
\]

\section*{Partie I : Détermination d'une racine carrée de \(A\)}
\begin{enumerate}
  \item Sans calcul, justifier que \(A\) est diagonalisable et non inversible. Déterminer le rang de \(A\).
  \item Montrer que 0,1 et 4 sont les trois valeurs propres de \(A\) et déterminer les sous-espaces propres associés.
  \item En déduire une matrice diagonale \(D\) de \(\mathbf{M}_{3}(\mathbb{R})\) dont les coefficients diagonaux sont dans l'ordre croissant, et une matrice inversible \(P\) de \(\mathrm{M}_{3}(\mathbb{R})\), dont les coefficients de la première ligne sont tous égaux à 1 , telles que : \(A=P D P^{-1}\).
  \item Calculer \(P^{-1}\).
  \item Montrer qu'il existe une matrice diagonale \(\Delta\) de \(\mathbf{M}_{3}(\mathbb{R})\), dont les coefficients diagonaux sont dans l'ordre croissant, telle que \(\Delta^{2}=D\), et déterminer \(\Delta\).
  \item On note \(R=P \Delta P^{-1}\). Montrer \(R^{2}=A\) et calculer \(R\).
\end{enumerate}

\section*{Partie II : Étude d'endomorphismes}
On munit \(\mathbb{R}^{3}\) de sa base canonique \(\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)\) et on considère les endomorphismes \(f\) et \(g\) de \(\mathbb{R}^{3}\) dont les matrices dans \(\mathcal{B}\) sont respectivement \(A\) et \(R\).\\
On note \(\mathcal{C}=\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right)\) la base de \(\mathbb{R}^{3}\) telle que \(P\) est la matrice de passage de \(\mathcal{B}\) à \(\mathcal{C}\).

\begin{enumerate}
  \item Déterminer les matrices de \(f\) et \(g\) dans la base \(\mathcal{C}\).
  \item a. Déterminer une base et la dimension de \(\operatorname{Ker}(f)\).\\
b. Déterminer une base et la dimension de \(\operatorname{Im}(f)\).
  \item a. Déterminer une base et la dimension de \(\operatorname{Ker}(g)\).\\
b. Déterminer une base et la dimension de \(\operatorname{Im}(g)\).
  \item Trouver au moins un automorphisme \(h\) de \(\mathbb{R}^{3}\) tel que \(g=f \circ h\).
\end{enumerate}

On déterminera \(h\) par sa matrice \(H\) dans la base \(\mathcal{C}\), puis on exprimera la matrice de \(h\) dans la base \(\mathcal{B}\) à l'aide de \(H\) et de \(P\).

\section*{Exercice 3}
\section*{Les deux parties sont indépendantes.}
Soit \(p \in] 0 ; 1[\). On note \(q=1-p\).

\section*{Partie I : Différence de deux variables aléatoires}
Soit \(n\) un entier naturel non nul. On considère \(n\) joueurs qui visent une cible. Chaque joueur effectue deux tirs. À chaque tir, chaque joueur a la probabilité \(p\) d'atteindre la cible. Les tirs sont indépendants les uns des autres.\\
On définit la variable aléatoire \(X\) égale au nombre de joueurs ayant atteint la cible au premier tir et la variable aléatoire \(Z\) égale au nombre de joueurs ayant atteint la cible au moins une fois à l'issue des deux tirs.

\begin{enumerate}
  \item Déterminer la loi de \(X\). Rappeler son espérance et sa variance.
  \item Montrer que \(Z\) suit une loi binomiale. Donner son espérance et sa variance.
\end{enumerate}

On note \(Y=Z-X\).\\
3. Que représente la variable aléatoire \(Y\) ? Déterminer la loi de \(Y\).\\
4. a. Les variables aléatoires \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes?\\
b. Calculer la covariance du couple ( \(X, Y\) ).

\section*{Partie II : Variable aléatoire à densité conditionnée par une variable aléatoire discrète}
Dans cette partie, on note \(U\) une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre \(p\).

\begin{enumerate}
  \item Rappeler la loi de \(U\), son espérance et sa variance.
\end{enumerate}

On considère une variable aléatoire \(T\) telle que : \(\quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad \forall t \in\left[0 ;+\infty\left[, \quad \mathrm{P}_{(U=n)}(T>t)=\mathrm{e}^{-n t}\right.\right.\).\\
2. a. Montrer : \(\forall t \in\left[0 ;+\infty\left[, \quad \mathrm{P}(T>t)=\frac{p \mathrm{e}^{-t}}{1-q \mathrm{e}^{-t}}\right.\right.\).\\
b. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire \(T\).\\
c. En déduire que \(T\) est une variable aléatoire à densité et en déterminer une densité.\\
3. On note \(Z=U T\)\\
a. Montrer : \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \forall z \in\left[0 ;+\infty\left[, \quad \mathrm{P}_{(U=n)}(Z>z)=\mathrm{e}^{-z}\right.\right.\).\\
b. En déduire que la variable aléatoire \(Z\) suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.\\
c. Montrer : \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \forall z \in[0 ;+\infty[, \quad \mathrm{P}(U=n, Z>z)=\mathrm{P}(U=n) \mathrm{P}(Z>z)\).


\end{document}