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\begin{document}
Code épreuve : 296

\section*{Concepteur : EMLYON Business School}
\(1{ }^{\text {ère }}\) épreuve (option économique)

\section*{MATHÉMATIQUES}
Lundi 30 avril 2012 de 8 heures à 12 heures

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

\section*{Exercice 1}
On considère les matrices carrées d'ordre 2 suivantes :

\[
I=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right), \quad A=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ll}
2 & 2 \\
1 & 3
\end{array}\right) .
\]

\section*{Partie I: Étude de la matrice \(B\)}
\begin{enumerate}
  \item Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(B\).
\end{enumerate}

Est-ce que \(B\) est diagonalisable ?\\
2. Déterminer une matrice diagonale \(D\) de \(\mathbf{M}_{2}(\mathbb{R})\), dont les coefficients diagonaux sont dans l'ordre croissant, et une matrice inversible \(P\) de \(\mathbf{M}_{2}(\mathbb{R})\), dont les coefficients de la première ligne sont tous égaux à 1 , telles que \(B=P D P^{-1}\).\\
3. Vérifier que \(D^{2}=5 D-4 I\) et exprimer \(B^{2}\) comme combinaison linéaire de \(B\) et \(I\).\\
4. Montrer que \(B\) est inversible et exprimer \(B^{-1}\) comme combinaison linéaire de \(B\) et \(I\).

\section*{Partie II : Étude d'un endomorphisme de \(\mathrm{M}_{2}(\mathbb{R})\)}
On considère l'application \(h: \mathbf{M}_{2}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbf{M}_{2}(\mathbb{R}), \quad M \longmapsto h(M)=A M B\).

\begin{enumerate}
  \item Vérifier que \(h\) est un endomorphisme de \(\mathbf{M}_{2}(\mathbb{R})\).
  \item Montrer que \(h\) est bijectif et exprimer \(h^{-1}\) sous une forme analogue à celle donnée pour \(h\).
  \item On se propose dans cette question de déterminer les valeurs propres de \(h\).\\
a. Soient \(\lambda \in \mathbb{R}, M \in \mathbf{M}_{2}(\mathbb{R})\).
\end{enumerate}

On note \(N=M P\), où \(P\) est la matrice définie dans la question \(\mathbf{I} 2\).\\
Montrer : \(h(M)=\lambda M \Longleftrightarrow A N D=\lambda N\), où \(D\) est la matrice définie dans la question \(\mathbf{I} 2\).\\
b. Déterminer les réels \(\lambda\) pour lesquels il existe une matrice \(N\) de \(\mathrm{M}_{2}(\mathbb{R})\) non nulle telle que \(A N D=\lambda N\). Å cet effet, on pourra noter \(N=\left(\begin{array}{cc}x & y \\ z & t\end{array}\right)\).\\
c. En déduire les valeurs propres de \(h\). Montrer que \(h\) est diagonalisable et donner une matrice diagonale représentant \(h\).\\
d. On note \(e\) l'endomorphisme identité de \(\mathbf{M}_{2}(\mathbb{R})\) et on note 0 l'endomorphisme nul de \(\mathbf{M}_{2}(\mathbb{R})\).

Montrer: \(\quad(h-e) \circ(h+e) \circ(h-4 e) \circ(h+4 e)=0\).

\section*{Exercice 2}
\section*{Partie I: Étude d'une fonction d'une variable réelle}
On considère l'application \(f:[0 ;+\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\) définie, pour tout \(t \in[0 ;+\infty[\), par :

\[
f(t)=\left\{\begin{array}{cc}
t \ln t & \text { si } t \neq 0 \\
0 & \text { si } t=0
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(f\) est continue sur \([0 ;+\infty[\).
  \item Montrer que \(f\) est de classe \(C^{1}\) sur \(] 0 ;+\infty\left[\right.\) et calculer \(f^{\prime}(t)\) pour tout \(\left.t \in\right] 0 ;+\infty[\).
  \item Dresser le tableau des variations de \(f\). On précisera la limite de \(f\) en \(+\infty\).
  \item Montrer que \(f\) est convexe sur \(] 0 ;+\infty[\).
  \item On note \(\Gamma\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormal ( \(O ; \vec{i}, \vec{j}\) ).\\
a. Montrer que \(\Gamma\) admet une demi-tangente en \(O\) et préciser celle-ci.\\
b. Déterminer les points d'intersection de \(\Gamma\) et de l'axe des abscisses.\\
c. Préciser la nature de la branche infinie de \(\Gamma\).\\
d. Tracer l'allure de \(\Gamma\). On admet : \(0,36 \leqslant \mathrm{e}^{-1}<0,37\).
\end{enumerate}

\section*{Partie II : Étude d'une fonction de deux variables réelles}
On considère l'application \(F:] 0 ;+\infty\left[{ }^{2} \longrightarrow \mathbb{R}\right.\), de classe \(C^{2}\), définie, pour tout \(\left.(x, y) \in\right] 0 ;+\infty\left[{ }^{2}\right.\), par :

\[
F(x, y)=\frac{\ln x}{y}+\frac{\ln y}{x}
\]

\begin{enumerate}
  \item Calculer les dérivées partielles premières de \(F\) en tout \((x, y)\) de \(] 0 ;+\infty\left[{ }^{2}\right.\).
  \item Montrer que (e, e) est un point critique de \(F\).
  \item Calculer les dérivées partielles secondes de \(F\) en tout ( \(x, y\) ) de \(] 0 ;+\infty\left[{ }^{2}\right.\).
  \item Est-ce que \(F\) admet un extrémum local en (e, e) ?
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}
Soit \(a \in \mathbb{R}_{+}^{*}\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer que, pour tout entier \(n\) tel que \(n \geqslant 0\), l'intégrale \(I_{n}=\int_{0}^{+\infty} x^{n} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2 a^{2}}} \mathrm{~d} x\) est convergente.
  \item a. Rappeler une densité d'une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance nulle et de variance \(a^{2}\).\\
En déduire : \(I_{0}=a \sqrt{\frac{\pi}{2}}\).\\
b. Calculer la dérivée de l'application \(\varphi: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) définie, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), par : \(\varphi(x)=\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2 a^{2}}}\).
\end{enumerate}

En déduire : \(I_{1}=a^{2}\).\\
3. a. Montrer, pour tout entier \(n\) tel que \(n \geqslant 2\) et pour tout \(t \in[0 ;+\infty[\) :

\[
\int_{0}^{t} x^{n} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2 a^{2}}} \mathrm{~d} x=-a^{2} t^{n-1} \mathrm{e}^{-\frac{t^{2}}{2 a^{2}}}+(n-1) a^{2} \int_{0}^{t} x^{n-2} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2 a^{2}}} \mathrm{~d} x
\]

b. En déduire, pour tout entier \(n\) tel que \(n \geqslant 2\) : \(I_{n}=(n-1) a^{2} I_{n-2}\).\\
c. Calculer \(I_{2}\) et \(I_{3}\).

On considère l'application \(g_{a}: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) définie, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), par :

\[
g_{a}(x)= \begin{cases}0 & \text { si } x \leqslant 0 \\ \frac{x}{a^{2}} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2 a^{2}}} & \text { si } x>0\end{cases}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Montrer que \(g_{a}\) est une densité.
\end{enumerate}

On considère une variable aléatoire \(X\) admettant \(g_{a}\) comme densité.\\
5. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire \(X\).\\
6. Montrer que la variable aléatoire \(X\) admet une espérance \(\mathrm{E}(X)\) et que \(\mathrm{E}(X)=a \sqrt{\frac{\pi}{2}}\).\\
7. Montrer que la variable aléatoire \(X\) admet une variance \(\mathrm{V}(X)\) et calculer \(\mathrm{V}(X)\).\\
8. a. On considère une variable aléatoire \(U\) suivant la loi uniforme sur l'intervalle \(] 0 ; 1]\). Montrer que la variable aléatoire \(Z=a \sqrt{-2 \ln (U)}\) suit la même loi que la variable aléatoire \(X\).\\
b. En déduire un programme en langage Pascal, utilisant le générateur aléatoire Pascal, simulant la variable aléatoire \(X\), le réel a strictement positif étant entré par l'utilisateur.

Soit un entier \(n\) tel que \(n \geqslant 2\).\\
On dit que \(n\) variables aléatoires à densité \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\) sont indépendantes si, pour tout \(n\)-uplet \(\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)\) de réels, les événements \(\left(X_{1} \leqslant x_{1}\right),\left(X_{2} \leqslant x_{2}\right), \ldots,\left(X_{n} \leqslant x_{n}\right)\) sont mutuellement indépendants.\\
On admet que si \(n\) variables aléatoires à densité \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\) admettent une espérance, alors la variable aléatoire \(X_{1}+\cdots+X_{n}\) admet une espérance qui est égale à la somme des espérances.\\
On admet que si \(n\) variables aléatoires à densité \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\) sont indépendantes et admettent une variance, alors la variable aléatoire \(X_{1}+\cdots+X_{n}\) admet une variance qui est égale à la somme des variances.

On considère \(n\) variables aléatoires indépendantes \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\) suivant toutes la même loi que la variable aléatoire \(X\).\\
9. On considère la variable aléatoire \(A_{n}=\frac{\sqrt{2}}{n \sqrt{\pi}}\left(X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}\right)\).\\
a. Montrer que la variable aléatoire \(A_{n}\) est un estimateur sans biais de \(a\).\\
b. Déterminer le risque quadratique de l'estimateur \(A_{n}\).

On définit la variable aléatoire \(M_{n}=\operatorname{Min}\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right)\).\\
Ainsi : \(\forall t \in \mathbb{R},\left(M_{n}>t\right)=\left(X_{1}>t\right) \cap\left(X_{2}>t\right) \cap \cdots \cap\left(X_{n}>t\right)\).\\
10. a. Montrer, pour tout \(t \in\left[0 ;+\infty\left[: \quad \mathrm{P}\left(M_{n}>t\right)=\mathrm{e}^{-\frac{n t^{2}}{2 a^{2}}}\right.\right.\).\\
b. En déduire la fonction de répartition de \(M_{n}\).\\
c. Montrer que \(M_{n}\) est une variable aléatoire à densité, admettant \(g_{b}\) comme densité avec \(b=\frac{a}{\sqrt{n}}\).\\
d. Montrer que la variable aléatoire \(M_{n}\) admet une espérance \(\mathrm{E}\left(M_{n}\right)\) et une variance \(\mathrm{V}\left(M_{n}\right)\). Calculer \(\mathrm{E}\left(M_{n}\right)\) et \(\mathrm{V}\left(M_{n}\right)\).\\
11. a. En déduire un estimateur \(B_{n}\) sans biais de \(a\), de la forme \(\lambda_{n} M_{n}\) avec \(\lambda_{n} \in \mathbb{R}\).\\
b. Déterminer le risque quadratique de l'estimateur \(B_{n}\).


\end{document}