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\begin{document}
\section*{Concepteur : EMLYON Business School}
\section*{\(1^{\text {ère }}\) épreuve (option économique)}
\section*{MATHÉMATIQUES}
Lundi 29 avril 2013 de 8 heures à 12 heures

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
lls ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

\section*{Exercice 1}
\section*{Partie I - Calcul d'une intégrale dépendant d'un paramètre}
On considère l'application \(g:[0 ; 1] \longrightarrow \mathbb{R}\) définie, pour tout \(t \in[0 ; 1]\), par :

\[
g(t)=\left\{\begin{array}{cl}
-t \ln t & \text { si } 0<t \leqslant 1 \\
0 & \text { si } t=0 .
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(g\) est continue sur \([0 ; 1]\).
  \item À l'aide d'une intégration par parties, calculer, pour tout \(x \in] 0 ; 1\left[\right.\), l'intégrale \(\int_{x}^{1} g(t) \mathrm{d} t\).
  \item En déduire que l'intégrale \(\int_{0}^{1} g(t) \mathrm{d} t\) converge et que :
\end{enumerate}

\[
\int_{0}^{1} g(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{4}
\]

\section*{Partie II - Exemple de densité}
On considère l'application \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) définie, pour tout \(t \in \mathbb{R}\) par :

\[
f(t)=\left\{\begin{array}{cl}
-t \ln t+t^{1 / 3} & \text { si } 0<t<1 \\
0 & \text { sinon } .
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(f\) est continue sur \(]-\infty ; 1[\) et sur \(] 1 ;+\infty[\).
\end{enumerate}

Est-ce que \(f\) est continue en 1 ?\\
2. Établir que l'intégrale \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \mathrm{d} t\) converge et que : \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \mathrm{d} t=1\).\\
3. Montrer que \(f\) est une densité.\\
4. a. Montrer que \(f\) est de classe \(C^{2}\) sur \(] 0 ; 1\left[\right.\) et calculer \(f^{\prime}(t)\) et \(f^{\prime \prime}(t)\) pour tout \(\left.t \in\right] 0 ; 1[\).\\
b. En déduire que l'équation \(f^{\prime}(t)=0\), d'inconnue \(\left.t \in\right] 0 ; 1[\), admet une solution et une seule, notée \(\alpha\), et montrer : \(\frac{1}{\mathrm{e}}<\alpha<1\).\\
c. Écrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche une valeur approchée de \(\alpha\) à \(10^{-3}\) près, mettant en oeuvre l'algorithme de dichotomie.

\section*{Partie III - Calcul d'une fonction de répartition}
On admet qu'il existe une variable aléatoire réelle \(X\) ayant \(f\) pour densité (l'application \(f\) a été définie au début de la partie II) et on note \(F\) la fonction de répartition de \(X\).

\begin{enumerate}
  \item Calculer, pour tout \(x \in] 0 ; 1\left[\right.\), l'intégrale \(\int_{x}^{1} f(t) \mathrm{d} t\).\\
(On pourra utiliser le résultat obtenu à la question I.2.)
  \item Calculer \(F(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
  \item Tracer l'allure de la courbe représentative de \(F\).
\end{enumerate}

\section*{Partie IV - Étude d'extremum local pour une fonction de deux variables réelles}
On note \(D\) l'ensemble des couples ( \(x, y\) ) appartenant à \(] 0 ;+\infty\left[{ }^{2}\right.\) tels que : \(x+y<1\) et \(2 x<1\).\\
On considère l'application \(G: D \longrightarrow \mathbb{R}\), de classe \(C^{2}\) sur l'ouvert \(D\), définie, pour tout \((x, y) \in D\), par :

\[
G(x, y)=f(x+y)-\frac{1}{2} f(2 x)
\]

l'application \(f\) ayant été définie au début de la partie II.

\begin{enumerate}
  \item Représenter l'ensemble \(D\).
  \item Calculer, pour tout \((x, y) \in D\), les dérivées partielles premières de \(G\) en \((x, y)\), en fonction de \(x, y, f^{\prime}\).
  \item Soit \((x, y) \in D\). Montrer que \((x, y)\) est un point critique de \(G\) si et seulement si :
\end{enumerate}

\[
f^{\prime}(2 x)=0 \text { et } f^{\prime}(x+y)=0
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item En déduire que \(G\) admet un point critique et un seul, et qu'il s'agit de \(\left(\frac{\alpha}{2}, \frac{\alpha}{2}\right)\), le réel \(\alpha\) ayant été défini en II 4.b.
  \item Est-ce que \(G\) admet un extremum local ?
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}
On note \(A=\left(\begin{array}{cccc}0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \in \mathbf{M}_{4}(\mathbb{R})\).

\begin{enumerate}
  \item Est-ce que \(A\) est diagonalisable dans \(\mathbf{M}_{4}(\mathbb{R})\) ?
  \item Déterminer les valeurs propres de \(A\) et, pour chaque valeur propre de \(A\), déterminer une base du sous-espace propre associé.
  \item En déduire une matrice diagonale \(D \in \mathbf{M}_{4}(\mathbb{R})\), à coefficients diagonaux rangés dans l'ordre croissant, et une matrice inversible \(P \in \mathbf{M}_{4}(\mathbb{R})\), à coefficients diagonaux tous égaux à 1 , telles que \(A=P D P^{-1}\), et calculer \(P^{-1}\).
\end{enumerate}

On appelle commutant de \(A\), et on note \(\mathrm{C}_{A}\), l'ensemble des matrices \(M\) de \(\mathbf{M}_{4}(\mathbb{R})\) telles que

\[
A M=M A
\]

On appelle commutant de \(D\), et on note \(\mathrm{C}_{D}\), l'ensemble des matrices \(N\) de \(\mathbf{M}_{4}(\mathbb{R})\) telles que

\[
D N=N D .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Montrer que \(\mathrm{C}_{A}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbf{M}_{4}(\mathbb{R})\).
  \item Soit \(M \in \mathrm{M}_{4}(\mathbb{R})\). On note \(N=P^{-1} M P\). Montrer :
\end{enumerate}

\[
M \in \mathrm{C}_{A} \Longleftrightarrow N \in \mathrm{C}_{D} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item Déterminer \(\mathrm{C}_{D}\), en utilisant les coefficients des matrices.
  \item En déduire :
\end{enumerate}

\[
\mathrm{C}_{A}=\left\{\left(\begin{array}{cccc}
a & 0 & 0 & b \\
0 & c & d & 0 \\
0 & d & c & 0 \\
b & 0 & 0 & a
\end{array}\right) ;(a, b, c, d) \in \mathbb{R}^{4}\right\}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{7}
  \item Déterminer une base de \(\mathrm{C}_{A}\) et la dimension de \(\mathrm{C}_{A}\).
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 2 .\\
On considère une urne \(\mathcal{U}\) contenant \(n\) boules numérotées de 1 à \(n\) et indiscernables au toucher. On effectue une suite de tirages d'une boule avec remise de la boule dans l'urne \(\mathcal{U}\).

\section*{Partie I}
Soit \(k\) un entier supérieur ou égal à 1 . Pour tout \(i \in \llbracket 1 ; n \rrbracket\), on note \(X_{i}\) la variable aléatoire égale au nombre d'obtentions de la boule numéro \(i\) au cours des \(k\) premiers tirages.

\begin{enumerate}
  \item Soit \(i \in \llbracket 1 ; n \rrbracket\). Donner la loi de \(X_{i}\). Rappeler l'espérance et la variance de \(X_{i}\).
  \item Les variables aléatoires \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\) sont-elles indépendantes?
  \item Soit \((i, j) \in \llbracket 1 ; n \rrbracket^{2}\) tel que \(i \neq j\).\\
a. Déterminer la loi de la variable aléatoire \(X_{i}+X_{j}\). Rappeler la variance de \(X_{i}+X_{j}\).\\
b. En déduire la covariance du couple ( \(X_{i}, X_{j}\) ).
\end{enumerate}

Pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à 1 , on note \(Z_{k}\) la variable aléatoire égale au nombre de numéros distincts obtenus au cours des \(k\) premiers tirages et on note \(\mathrm{E}\left(Z_{k}\right)\) l'espérance de \(Z_{k}\).

\section*{Partie II}
\begin{enumerate}
  \item Déterminer la loi de la variable aléatoire \(Z_{1}\) et la loi de la variable aléatoire \(Z_{2}\).
\end{enumerate}

En déduire \(\mathrm{E}\left(Z_{1}\right)\) et \(\mathrm{E}\left(Z_{2}\right)\).\\
2. Soit \(k\) un entier supérieur ou égal à 1 .\\
a. Déterminer \(\mathrm{P}\left(Z_{k}=1\right)\) et déterminer \(\mathrm{P}\left(Z_{k}=k\right)\).\\
b. Montrer, pour tout \(\ell \in \llbracket 1 ; n \rrbracket: \mathrm{P}\left(Z_{k+1}=\ell\right)=\frac{\ell}{n} \mathrm{P}\left(Z_{k}=\ell\right)+\frac{n-\ell+1}{n} \mathrm{P}\left(Z_{k}=\ell-1\right)\).\\
c. En déduire : \(\mathrm{E}\left(Z_{k+1}\right)=\frac{n-1}{n} \mathrm{E}\left(Z_{k}\right)+1\).\\
3. a. Montrer que la suite \(\left(v_{k}\right)_{k \geqslant 1}\), de terme général \(v_{k}=\mathrm{E}\left(Z_{k}\right)-n\), est une suite géométrique.\\
b. En déduire, pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à 1 : \(\mathrm{E}\left(Z_{k}\right)=n\left(1-\left(\frac{n-1}{n}\right)^{k}\right)\).

\section*{Partie III}
On suppose maintenant que \(n=4\); ainsi l'urne \(\mathcal{U}\) contient quatre boules numérotées de 1 à 4 . Soit \(k\) un entier supérieur ou égal à 4 . On se propose de déterminer la loi de \(Z_{k}\).

\begin{enumerate}
  \item Rappeler la valeur de \(\mathrm{P}\left(Z_{k}=1\right)\). Déterminer \(\mathrm{P}\left(Z_{k} \geqslant 5\right)\).
  \item Montrer: \(\quad \mathrm{P}\left(Z_{k}=2\right)=6 \frac{2^{k}-2}{4^{k}}\).
  \item On note, pour tout \(i\) de \(\llbracket 1 ; 4 \rrbracket, A_{i}\) l'événement :\\
« la boule numéro \(i\) n'a pas été obtenue au cours des \(k\) premiers tirages ».\\
a. Montrer : \(\mathrm{P}\left(Z_{k} \leqslant 3\right)=4 \mathrm{P}\left(A_{1}\right)-6 \mathrm{P}\left(A_{1} \cap A_{2}\right)+4 \mathrm{P}\left(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}\right)\).\\
b. Calculer \(\mathrm{P}\left(A_{1}\right), \mathrm{P}\left(A_{1} \cap A_{2}\right)\) et \(\mathrm{P}\left(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}\right)\).\\
c. En déduire: \(\mathrm{P}\left(Z_{k} \leqslant 3\right)\), puis \(\mathrm{P}\left(Z_{k}=3\right)\) et \(\mathrm{P}\left(Z_{k}=4\right)\).
\end{enumerate}

\end{document}