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\title{Conception : EMLYON Business School }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\begin{displayquote}
\(1^{\text {ère }}\) épreuve (option économique) MATHÉMATIQUES
\end{displayquote}

Mardi 29 avril 2014 de 8 heures à 12 heures

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

\section*{EXERCICE 1}
On considère l'application \(\varphi:] 0 ;+\infty\left[\longrightarrow \mathbb{R}, x \longmapsto \mathrm{e}^{x}-x \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\right.\). On admet : \(2<\mathrm{e}<3\).

\section*{Partie I : Étude de la fonction \(\varphi\)}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(\varphi\) est de classe \(C^{3}\) sur \(] 0 ;+\infty[\), calculer, pour tout \(x\) de \(] 0 ;+\infty\left[, \varphi^{\prime}(x)\right.\) et \(\varphi^{\prime \prime}(x)\), et montrer : \(\forall x \in] 0 ;+\infty\left[, \quad \varphi^{\prime \prime \prime}(x)=\mathrm{e}^{x}+\frac{3 x+1}{x^{5}} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\right.\).
  \item Étudier le sens de variation de \(\varphi^{\prime \prime}\) et calculer \(\varphi^{\prime \prime}(1)\).
\end{enumerate}

En déduire le sens de variations de \(\varphi^{\prime}\), et montrer :

\[
\forall x \in] 0 ;+\infty\left[, \quad \varphi^{\prime}(x) \geqslant \mathrm{e} .\right.
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Déterminer la limite de \(\varphi(x)\) lorsque \(x\) tend vers 0 par valeurs strictement positives.
  \item Déterminer la limite de \(\frac{\varphi(x)}{x}\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), et la limite de \(\varphi(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).
  \item On admet : \(15<\varphi(3)<16\). Montrer : \(\forall x \in[3 ;+\infty[, \varphi(x) \geqslant \mathrm{e} x\).
\end{enumerate}

On note \(C\) la courbe représentative de \(\varphi\).\\
6. Montrer que \(C\) admet un unique point d'inflexion, déterminer les coordonnées de celui-ci et une équation de la tangente en ce point.\\
7. Dresser le tableau de variations de \(\varphi\), avec les limites en 0 et en \(+\infty\), et la valeur en 1.

Tracer l'allure de \(C\) et faire apparaître la tangente au point d'inflexion.\\
On précisera la nature de la branche infinie au voisinage de 0 et la nature de la branche infinie au voisinage de \(+\infty\).

\section*{Partie II : Étude d'extremum pour une fonction réelle de deux variables réelles}
On note \(U=\mathbb{R} \times] 0 ;+\infty\) [ et on considère l'application

\[
f: U \longrightarrow \mathbb{R}, \quad(x, y) \longmapsto x y-\mathrm{e}^{x} \ln y .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{7}
  \item Représenter graphiquement l'ensemble \(U\).
  \item Montrer que \(f\) est de classe \(C^{2}\) sur l'ouvert \(U\) et calculer, pour tout ( \(x, y\) ) de \(U\), les dérivées partielles premières et les dérivées partielles secondes de \(f\) au point \((x, y)\).
  \item Établir que, pour tout \((x, y)\) de \(U,(x, y)\) est un point critique de \(f\) si et seulement si :
\end{enumerate}

\[
x>0 \quad \text { et } \quad y=\mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \quad \text { et } \quad \varphi(x)=0 .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{10}
  \item En déduire que \(f\) admet un point critique et un seul, et qu'il s'agit de ( \(1, \mathrm{e}\) ).
  \item Est-ce que \(f\) admet un extremum local en ( \(1, \mathrm{e}\) ) ?
  \item Est-ce que \(f\) admet un extremum local sur \(U\) ?
\end{enumerate}

\section*{Partie III : Étude d'une suite et d'une série}
On considère la suite réelle \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par \(u_{0}=3\) et : \(\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1}=\varphi\left(u_{n}\right)\).\\
14. Montrer que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}, u_{n}\) existe et \(u_{n} \geqslant 3 \mathrm{e}^{n}\). (On pourra utiliser des résultats de la partie I).\\
15. Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est strictement croissante et que \(u_{n}\) tend vers \(+\infty\) lorsque l'entier \(n\) tend vers l'infini.\\
16. Écrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche le plus petit entier naturel \(n\) tel que \(u_{n} \geqslant 10^{3}\).\\
17. Quelle est nature de la série de terme général \(\frac{1}{u_{n}}\) ?

\section*{EXERCICE 2}
On considère l'espace vectoriel \(\mathbf{M}_{2}(\mathbb{R})\) des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels.\\
On définit :

\[
\begin{gathered}
A=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right), \quad C=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right), \quad T=\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{array}\right) \\
\mathcal{E}=\left\{\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
0 & c
\end{array}\right) ;(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3}\right\} .
\end{gathered}
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(\mathcal{E}\) est un espace vectoriel et que ( \(A, B, C\) ) est une base de \(\mathcal{E}\).
\end{enumerate}

Quelle est la dimension de \(\mathcal{E}\) ?\\
2. Établir que \(\mathcal{E}\) est stable par multiplication, c'est-à-dire :

\[
\forall(M, N) \in \mathcal{E}^{2}, \quad M N \in \mathcal{E}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Montrer que, pour toute matrice \(M\) de \(\mathcal{E}\), si \(M\) est inversible, alors \(M^{-1} \in \mathcal{E}\).
\end{enumerate}

Pour toute matrice \(M\) de \(\mathcal{E}\), on note \(f(M)=T M T\).\\
4. Montrer que \(f\) est un endomorphisme de \(\mathcal{E}\).\\
5. Vérifier que \(T\) est inversible et démontrer que \(f\) est un automorphisme de \(\mathcal{E}\).\\
6. Est-ce que \(T\) est diagonalisable ?

On note \(F\) la matrice de \(f\) dans la base \((A, B, C)\) de \(\mathcal{E}\).\\
7. Calculer \(f(A), f(B), f(C)\) en fonction de \((A, B, C)\) et en déduire \(F\).\\
8. Montrer que \(f\) admet une valeur propre et une seule et déterminer celle-ci, puis déterminer une base et la dimension du sous-espace propre pour \(f\) associé à cette valeur propre.\\
9. Est-ce que \(f\) est diagonalisable?\\
10. Soit \(\lambda\) un réel différent de 1 . Résoudre l'équation \(f(M)=\lambda M\), d'inconnue \(M \in \mathcal{E}\).

On note \(I=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\) et \(H=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)\).\\
11. Calculer \(H^{2}\), puis, pour tout \(a\) de \(\mathbb{R}\) et tout \(n\) de \(\mathbb{N},(I+a H)^{n}\).\\
12. Calculer, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}, F^{n}\).\\
13. Trouver une matrice \(G\) de \(\mathbf{M}_{3}(\mathbb{R})\) telle que \(G^{3}=F\).

Existe-t-il un endomorphisme \(g\) de \(\mathcal{E}\) tel que \(g \circ g \circ g=f\) ?

\section*{EXERCICE 3}
Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 2 , on considère une urne contenant \(n\) boules numérotées de 1 à \(n\), dans laquelle on effectue une succession de ( \(n+1\) ) tirages d'une boule avec remise et l'on note \(X_{n}\) la variable aléatoire égale au numéro du tirage où, pour la première fois, on a obtenu un numéro supérieur ou égal au numéro précédent.\\
Ainsi, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 2 , la variable aléatoire \(X_{n}\) prend ses valeurs dans \(\llbracket 2 ; n+1 \rrbracket\). Par exemple, si \(n=5\) et si les tirages amènent successivement les numéros \(5,3,2,2,6,3\), alors \(X_{5}=4\).\\
Pour tout \(k\) de \(\llbracket 1 ; n+1 \rrbracket\), on note \(N_{k}\) la variable aléatoire égale au numéro obtenu au \(k\)-ième tirage.

\section*{Partie I: Étude du cas \(n=3\)}
On suppose dans cette partie uniquement que \(n=3\). L'urne contient donc les boules numérotées \(1,2,3\).

\begin{enumerate}
  \item a. Exprimer l'événement \(\left(X_{3}=4\right)\) à l'aide d'événements faisant intervenir les variables aléatoires \(N_{1}, N_{2}, N_{3}\). En déduire \(\mathbf{P}\left(X_{3}=4\right)\).\\
b. Montrer que \(\mathbf{P}\left(X_{3}=2\right)=\frac{2}{3}\), et en déduire \(\mathbf{P}\left(X_{3}=3\right)\).
  \item Calculer l'espérance de \(X_{3}\).
\end{enumerate}

\section*{Partie II : Cas général}
Dans toute cette partie, \(n\) est un entier fixé supérieur ou égal à 2 .\\
3. Pour tout \(k\) de \(\llbracket 1 ; n+1 \rrbracket\), reconnaître la loi de \(N_{k}\) et rappeler son espérance et sa variance.\\
4. Calculer \(\mathbf{P}\left(X_{n}=n+1\right)\).\\
5. Montrer, pour tout \(i\) de \(\llbracket 1 ; n \rrbracket\) : \(\quad \mathbf{P}_{\left(N_{1}=i\right)}\left(X_{n}=2\right)=\frac{n-i+1}{n}\).\\
6. En déduire une expression simple de \(\mathbf{P}\left(X_{n}=2\right)\).\\
7. Soit \(k \in \llbracket 2 ; n \rrbracket\). Justifier l'égalité d'événements suivante: \(\quad\left(X_{n}>k\right)=\left(N_{1}>N_{2}>\cdots>N_{k}\right)\).

En déduire : \(\quad \mathbf{P}\left(X_{n}>k\right)=\frac{1}{n^{k}}\binom{n}{k}\).\\
Vérifier que cette dernière égalité reste valable pour \(k=0\) et pour \(k=1\).\\
8. Exprimer, pour tout \(k \in \llbracket 2 ; n+1 \rrbracket, \mathbf{P}\left(X_{n}=k\right)\) à l'aide de \(\mathbf{P}\left(X_{n}>k-1\right)\) et de \(\mathbf{P}\left(X_{n}>k\right)\).\\
9. En déduire: \(\mathbf{E}\left(X_{n}\right)=\sum_{k=0}^{n} \mathbf{P}\left(X_{n}>k\right)\). Calculer ensuite \(\mathbf{E}\left(X_{n}\right)\).\\
10. Montrer : \(\forall k \in \llbracket 2 ; n+1 \rrbracket, \quad \mathbf{P}\left(X_{n}=k\right)=\frac{k-1}{n^{k}}\binom{n+1}{k}\).

\section*{Partie III : Une convergence en loi}
On s'intéresse dans cette partie à la suite de variables aléatoires \(\left(X_{n}\right)_{n \geqslant 2}\).\\
11. Soit \(k\) un entier fixé supérieur ou égal à 2. Montrer : \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbf{P}\left(X_{n}=k\right)=\frac{k-1}{k!}\).\\
12. Montrer que la série \(\sum_{k \geqslant 2} \frac{k-1}{k!}\) converge et calculer sa somme.

On admet qu'il existe une variable aléatoire \(Z\) à valeurs dans \(\llbracket 2 ;+\infty \llbracket\) telle que :

\[
\forall k \in \llbracket 2 ;+\infty \llbracket, \quad \mathbf{P}(Z=k)=\frac{k-1}{k!}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{12}
  \item Montrer que \(Z\) admet une espérance et la calculer.
\end{enumerate}

Comparer \(\mathbf{E}(Z)\) et \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbf{E}\left(X_{n}\right)\).


\end{document}