\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{fvextra, csquotes}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{bbold}

\title{Conception : EMLYON Business School }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\begin{displayquote}
\(1^{\text {ère }}\) épreuve (option économique) MATHÉMATIQUES
\end{displayquote}

Mardi 28 avril 2015 de 8 heures à 12 heures\\
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

\section*{EXERCICE 1}
Dans tout l'exercice, ( \(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P}\) ) désigne un espace probabilisé et toutes les variables aléatoires considérées seront supposées définies sur cet espace.

\section*{Partie I : Loi exponentielle}
Dans toute cette partie, \(\lambda\) désigne un réel strictement positif.

\begin{enumerate}
  \item Donner une densité, la fonction de répartition, l'espérance et la variance d'une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\).
  \item Justifier que les intégrales suivantes convergent et donner leurs valeurs :
\end{enumerate}

\[
\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\lambda x} \mathrm{~d} x, \quad \int_{0}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-\lambda x} \mathrm{~d} x
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item a. Soit \(U\) une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \([0 ; 1[\). Quelle est la loi de la variable aléatoire \(V=-\frac{1}{\lambda} \ln (1-U)\) ?\\
b. Écrire une fonction en Scilab qui, étant donné un réel \(\lambda\) strictement positif, simule la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\).
\end{enumerate}

On considère une suite \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi exponentielle de paramètre 1.

Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on définit la variable aléatoire \(T_{n}=\max \left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)\) qui, à tout \(\omega\) de \(\Omega\), associe le plus grand des réels \(X_{1}(\omega), \ldots, X_{n}(\omega)\) et on note \(f_{n}\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[
\forall x \in \mathbb{R}, \quad f_{n}(x)=\left\{\begin{array}{cl}
n \mathrm{e}^{-x}\left(1-\mathrm{e}^{-x}\right)^{n-1} & \text { si } x \geqslant 0 \\
0 & \text { si } x<0
\end{array} .\right.
\]

\section*{Partie II : Loi de la variable aléatoire \(T_{n}\)}
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item a. Calculer, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\) et pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}^{+*}\), la probabilité \(\mathbf{P}\left(T_{n} \leqslant x\right)\).\\
b. En déduire que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}, T_{n}\) est une variable aléatoire à densité, admettant pour densité la fonction \(f_{n}\).
  \item a. Montrer que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), la variable aléatoire \(T_{n}\) admet une espérance.\\
b. Déterminer l'espérance \(\mathbf{E}\left(T_{1}\right)\) de \(T_{1}\) et l'espérance \(\mathbf{E}\left(T_{2}\right)\) de \(T_{2}\).
  \item a. Vérifier : \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \forall x \in \mathbb{R}^{+}, f_{n+1}(x)-f_{n}(x)=-\frac{1}{n+1} f_{n+1}^{\prime}(x)\).\\
b. Montrer ensuite, à l'aide d'une intégration par parties :
\end{enumerate}

\[
\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad \int_{0}^{+\infty} x\left(f_{n+1}(x)-f_{n}(x)\right) \mathrm{d} x=\frac{1}{n+1} \int_{0}^{+\infty} f_{n+1}(x) \mathrm{d} x
\]

c. En déduire, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), une relation entre \(\mathbf{E}\left(T_{n+1}\right)\) et \(\mathbf{E}\left(T_{n}\right)\), puis une expression de \(\mathbf{E}\left(T_{n}\right)\) sous forme d'une somme.

\section*{Partie III : Loi du premier dépassement}
Dans toute cette partie, a désigne un réel strictement positif.\\
On définit la variable aléatoire \(N\) égale au plus petit entier \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\) tel que \(X_{n}>a\) si un tel entier existe, et égale à 0 sinon.\\
7. Justifier l'égalité d'événements : \((N=0)=\bigcap_{k=1}^{+\infty}\left(X_{k} \leqslant a\right)\). En déduire la probabilité \(\mathbf{P}(N=0)\).\\
8. Montrer : \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad \mathbf{P}(N=n)=\left(1-\mathrm{e}^{-a}\right)^{n-1} \mathrm{e}^{-a}\).\\
9. Déterminer l'espérance \(\mathbf{E}(N)\) et la variance \(\mathbf{V}(N)\) de \(N\).

On s'intéresse maintenant à la variable aléatoire \(Z\), définie pour tout \(\omega\) de \(\Omega\) par :

\[
Z(\omega)=\left\{\begin{array}{cc}
X_{N(\omega)}(\omega) & \text { si } N(\omega) \neq 0 \\
0 & \text { si } N(\omega)=0
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{9}
  \item Justifier : \(\mathbf{P}(Z \leqslant a)=0\).
  \item Soit \(x \in] a ;+\infty[\).\\
a. Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\). Justifier l'égalité d'événements :
\end{enumerate}

\[
((N=n) \cap(Z \leqslant x))=\left\{\begin{array}{ll}
\left(a<X_{1} \leqslant x\right) & \text { si } n=1 \\
\left(T_{n-1} \leqslant a\right) \cap\left(a<X_{n} \leqslant x\right) & \text { si } n \geqslant 2
\end{array} .\right.
\]

En déduire la probabilité \(\mathbf{P}((N=n) \cap(Z \leqslant x))\).\\
b. Montrer alors : \(\quad \mathbf{P}(Z \leqslant x)=1-\mathrm{e}^{a-x}\).\\
12. a. Montrer que la variable aléatoire \(Z-a\) suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.\\
b. En déduire l'existence et la valeur de \(\mathbf{E}(Z)\), ainsi que l'existence et la valeur de \(\mathbf{V}(Z)\).

\section*{EXERCICE 2}
Dans cet exercice, on pourra utiliser l'encadrement suivant : \(2<\mathrm{e}<3\).

\section*{Partie I : Étude d'une fonction}
On considère l'application \(\quad \varphi: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, x \longmapsto \varphi(x)=x^{2} \mathrm{e}^{x}-1\).

\begin{enumerate}
  \item Dresser le tableau de variations de \(\varphi\), en précisant la limite de \(\varphi\) en \(-\infty\), sa valeur en 0 et sa limite en \(+\infty\).
  \item Établir que l'équation \(\mathrm{e}^{x}=\frac{1}{x^{2}}\), d'inconnue \(\left.x \in\right] 0 ;+\infty[\), admet une solution et une seule, notée \(\alpha\), et que \(\alpha\) appartient à l'intervalle \(] \frac{1}{2} ; 1[\).
\end{enumerate}

On considère l'application \(\quad f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, x \longmapsto f(x)=x^{3} \mathrm{e}^{x}\), et la suite réelle \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par : \(\quad u_{0}=1\) et \(\quad \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)\).

\section*{Partie II : Étude d'une suite}
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Montrer : \(\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n} \geqslant 1\).
  \item Établir que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est croissante.
  \item Quelle est la limite de \(u_{n}\) lorsque l'entier \(n\) tend vers l'infini?
\end{enumerate}

\section*{Partie III : Étude d'une série}
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item Montrer que la série \(\sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{f(n)}\) converge. On note \(S=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{f(n)}\).
  \item Montrer : \(\forall n \in \mathbb{N}^{*},\left|S-\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{f(k)}\right| \leqslant \frac{1}{(\mathrm{e}-1) \mathrm{e}^{n}}\).
  \item En déduire une fonction en Scilab qui calcule une valeur approchée de \(S\) à \(10^{-4}\) près.
\end{enumerate}

\section*{Partie IV : Étude d'une fonction de deux variables}
On considère l'ouvert \(U=] 0 ;+\infty\left[\times \mathbb{R}\right.\) de \(\mathbb{R}^{2}\) et l'application de classe \(C^{2}\) suivante :

\[
g: U \longrightarrow \mathbb{R},(x, y) \longmapsto g(x, y)=\frac{1}{x}+\mathrm{e}^{x}-y^{2} \mathrm{e}^{y}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{8}
  \item Représenter graphiquement l'ensemble \(U\).
  \item Calculer, pour tout \((x, y)\) de \(U\), les dérivées partielles premières de \(g\) en \((x, y)\).
  \item Montrer que \(g\) admet deux points critiques et deux seulement, et que ceux-ci sont \((\alpha, 0)\) et \((\alpha,-2)\), où \(\alpha\) est le réel défini à la question 2 .
  \item Est-ce que \(g\) admet un extremum local en \((\alpha, 0)\) ?
  \item Est-ce que \(g\) admet un extremum local en \((\alpha,-2)\) ?
  \item Est-ce que \(g\) admet un extremum global sur \(U\) ?
\end{enumerate}

\section*{EXERCICE 3}
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension 3 . On note \(0_{E}\) le vecteur nul de \(E\).\\
On note \(i\) l'application identité de \(E\), et \(\theta\) l'application constante nulle de \(E\) dans \(E\) :

\[
i: E \longrightarrow E, x \longmapsto x \quad \text { et } \quad \theta: E \longrightarrow E, x \longmapsto 0_{E} .
\]

On considère un endomorphisme \(f\) de \(E\) tel que :

\[
f \neq \theta, \quad f^{2}+i \neq \theta, \quad f \circ\left(f^{2}+i\right)=\theta,
\]

où \(f^{2}\) désigne \(f \circ f\).

\begin{enumerate}
  \item a. Montrer que \(f\) n'est pas bijectif.\\
b. En déduire que 0 est valeur propre de \(f\), puis montrer qu'il existe \(u\) appartenant à \(E\) tel que :
\end{enumerate}

\[
u \neq 0_{E} \quad \text { et } \quad f(u)=0_{E} .
\]

Soit \(v_{1}\) appartenant à \(E\) tel que: \(\quad v_{1} \neq 0_{E}\) et \(f\left(v_{1}\right)=0_{E}\).\\
2. Montrer : \(\operatorname{Sp}(f)=\{0\}\).\\
3. Est-ce que \(f\) est diagonalisable ?\\
4. Montrer que \(f^{2}+i\) n'est pas bijectif, puis en déduire qu'il existe \(v\) appartenant à \(E\) tel que :

\[
v \neq 0_{E} \quad \text { et } \quad f^{2}(v)=-v .
\]

Soit \(v_{2}\) appartenant à \(E\) tel que: \(\quad v_{2} \neq 0_{E}\) et \(f^{2}\left(v_{2}\right)=-v_{2}\). On note : \(\quad v_{3}=f\left(v_{2}\right)\).\\
5. Montrer : \(f\left(v_{3}\right)=-v_{2}\).\\
6. a. Montrer que la famille \(\mathcal{B}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right)\) est une base de \(E\).\\
b. Déterminer la matrice \(C\) de \(f\) dans la base \(\mathcal{B}\).

On considère les matrices suivantes : \(\quad A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \quad\) et \(\quad B=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\), et le sous-espace vectoriel \(\mathcal{F}\) de \(\mathbf{M}_{3}(\mathbb{R})\) engendré par ( \(A, B, C\) ), c'est-à-dire :

\[
\mathcal{F}=\left\{a A+b B+c C ;(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3}\right\}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{6}
  \item Déterminer la dimension de \(\mathcal{F}\).
  \item Montrer : \(\left\{M \in \mathbf{M}_{3}(\mathbb{R}) ; C M=M C\right\}=\mathcal{F}\).
  \item a. Pour tout \((a, b, c) \in \mathbb{R}^{3}\), calculer la matrice \((a A+b B+c C)^{2}\).\\
b. En déduire une matrice \(M\) de \(\mathbf{M}_{3}(\mathbb{R})\) telle que : \(\quad M^{2}=\left(\begin{array}{ccc}4 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & -12 \\ 0 & 12 & 5\end{array}\right)\).
  \item On note \(g=f^{2}-i\).
\end{enumerate}

Montrer que \(g\) est bijectif et exprimer \(g^{-1}\) à l'aide de \(f\) et \(i\).


\end{document}