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\title{Conception : EMLYON Business School }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{1 ère épreuve (OPTION ÉCONOMIQUE)}
\section*{MATHÉMATIQUES}
mardi 26 avril 2016, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

\section*{EXERCICE 1}
On note \(I\) et \(A\) les matrices de \(\mathbf{M}_{3}(\mathbb{R})\) définies par :

\[
I=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right), \quad A=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right)
\]

et \(\mathscr{E}\) l'ensemble des matrices de \(\mathbf{M}_{3}(\mathbb{R})\) défini par :

\[
\mathcal{E}=\left\{\left(\begin{array}{ccc}
a+c & b & c \\
b & a+2 c & b \\
c & b & a+c
\end{array}\right) ;(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3}\right\} .
\]

\section*{PARTIE I : Étude de la matrice \(A\)}
\begin{enumerate}
  \item Calculer \(A^{2}\).
  \item Montrer que la famille ( \(I, A, A^{2}\) ) est libre.
  \item a. Justifier, sans calcul, que \(A\) est diagonalisable.\\
b. Déterminer une matrice \(P\) de \(\mathbf{M}_{3}(\mathbb{R})\) inversible dont tous les coefficients de la première ligne sont égaux à 1 et une matrice \(D\) de \(\mathbf{M}_{3}(\mathbb{R})\) diagonale dont les coefficients diagonaux sont dans l'ordre croissant telles que : \(\quad A=P D P^{-1}\).
  \item Montrer : \(A^{3}=2 A\).
\end{enumerate}

\section*{PARTIE II : Étude d'une application définie sur \&}
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item Montrer que \(\mathscr{E}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbf{M}_{3}(\mathbb{R})\) et que la famille ( \(I, A, A^{2}\) ) est une base de \& . En déduire la dimension de \& .
  \item Montrer que, pour toute matrice \(M\) de \(\mathcal{E}\), la matrice \(A M\) appartient à \(\mathcal{E}\).
\end{enumerate}

On note \(f\) l'application de \(\mathscr{E}\) dans \(\mathscr{E}\) qui, à toute matrice \(M\) de \(\mathscr{E}\), associe \(A M\).\\
7. Vérifier que \(f\) est un endomorphisme de l'espace vectoriel \& .\\
8. Former la matrice \(F\) de \(f\) dans la base \(\left(I, A, A^{2}\right)\) de \(\mathscr{E}\).\\
9. a. Montrer : \(\quad f \circ f \circ f=2 f\).\\
b. En déduire que toute valeur propre \(\lambda\) de \(f\) vérifie : \(\quad \lambda^{3}=2 \lambda\).\\
c. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(f\).\\
10. L'endomorphisme \(f\) est-il bijectif ? diagonalisable?\\
11. Déterminer une base de \(\operatorname{Im}(f)\) et une base de \(\operatorname{Ker}(f)\).\\
12. a. Résoudre l'équation \(f(M)=I+A^{2}\), d'inconnue \(M \in \mathscr{E}\).\\
b. Résoudre l'équation \(f(N)=A+A^{2}\), d'inconnue \(N \in \mathscr{E}\).

\section*{EXERCICE 2}
On considère l'application \(f:[0 ;+\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\) définie, pour tout \(t\) de \([0 ;+\infty[\), par :

\[
f(t)=\left\{\begin{array}{cc}
t^{2}-t \ln (t) & \text { si } t \neq 0 \\
0 & \text { si } t=0
\end{array}\right.
\]

On admet : \(0,69<\ln (2)<0,70\).

\section*{PARTIE I : Étude de la fonction \(f\)}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(f\) est continue sur \([0 ;+\infty[\).
  \item Justifier que \(f\) est de classe \(C^{2}\) sur \(] 0 ;+\infty[\) et calculer, pour tout \(t\) de \(] 0 ;+\infty\left[, f^{\prime}(t)\right.\) et \(f^{\prime \prime}(t)\).
  \item Dresser le tableau des variations de \(f\). On précisera la limite de \(f\) en \(+\infty\).
  \item On note \(C\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormal ( \(O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}\) ).\\
a. Montrer que \(C\) admet une tangente en \(O\) et préciser celle-ci.\\
b. Montrer que \(C\) admet un point d'inflexion et un seul, noté \(I\), et préciser les coordonnées de \(I\).\\
c. Tracer l'allure de \(C\).
  \item Montrer que l'équation \(f(t)=1\), d'inconnue \(t \in[0 ;+\infty[\), admet une solution et une seule et que celle-ci est égale à 1 .
\end{enumerate}

PARTIE II : Étude d'une fonction \(F\) de deux variables réelles\\
On considère l'application \(F:] 0 ;+\infty\left[{ }^{2} \longrightarrow \mathbb{R}\right.\) de classe \(C^{2}\), définie, pour tout ( \(x, y\) ) de \(] 0 ;+\infty\left[{ }^{2}\right.\), par :

\[
F(x, y)=x \ln (y)-y \ln (x)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item Calculer les dérivées partielles premières de \(F\) en tout \((x, y)\) de \(] 0 ;+\infty\left[{ }^{2}\right.\).
  \item a. Soit \((x, y) \in] 0 ;+\infty\left[{ }^{2}\right.\). Montrer que ( \(x, y\) ) est un point critique de \(F\) si et seulement si :
\end{enumerate}

\[
x>1, \quad y=\frac{x}{\ln (x)} \quad \text { et } \quad f(\ln (x))=1
\]

b. Établir que \(F\) admet un point critique et un seul et qu'il s'agit de (e, e).\\
8. La fonction \(F\) admet-elle un extremum local en (e, e) ?

\section*{PARTIE III : Étude d'une suite récurrente}
On considère la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par : \(\quad u_{0}=\frac{1}{2} \quad\) et \(\quad \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)\).\\
9. Montrer : \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n} \in\left[\frac{1}{2} ; 1\right]\).\\
10. Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est croissante.\\
11. En déduire que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge et déterminer sa limite. (On pourra étudier les variations de la fonction \(t \longmapsto t-\ln (t)\).)\\
12. Écrire un programme en Scilab qui calcule et affiche un entier naturel \(N\) tel que \(1-u_{N}<10^{-4}\).

\section*{EXERCICE 3}
\section*{PARTIE I : Étude d'une variable aléatoire}
On considère l'application \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) définie, pour tout \(t\) de \(\mathbb{R}\), par : \(\quad f(t)=\frac{\mathrm{e}^{-t}}{\left(1+\mathrm{e}^{-t}\right)^{2}}\).

\begin{enumerate}
  \item Vérifier que la fonction \(f\) est paire.
  \item Montrer que \(f\) est une densité d'une variable aléatoire réelle.
\end{enumerate}

Dans toute la suite de l'exercice, on considère une variable aléatoire réelle \(X\) à densité, de densité \(f\).\\
3. Déterminer la fonction de répartition de \(X\).\\
4. a. Montrer que l'intégrale \(\int_{0}^{+\infty} t f(t) \mathrm{d} t\) converge.\\
b. En utilisant l'imparité de la fonction \(\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, t \longmapsto t f(t)\), montrer que \(X\) admet une espérance et que l'on a : \(\quad \mathbf{E}(X)=0\).

\section*{PARTIE II : Étude d'une autre variable aléatoire}
On considère l'application \(\varphi: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) définie, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\), par : \(\quad \varphi(x)=\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)\).\\
5. Montrer que \(\varphi\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur un intervalle \(I\) à préciser.\\
6. Exprimer, pour tout \(y\) de \(I, \varphi^{-1}(y)\).

On définit la variable aléatoire réelle \(Y\) définie par : \(\quad Y=\varphi(X)\).\\
7. Justifier : \(\mathbf{P}(Y \leqslant 0)=0\).\\
8. Déterminer la fonction de répartition de \(Y\).\\
9. Reconnaître alors la loi de \(Y\) et donner, sans calcul, son espérance et sa variance.

\section*{PARTIE III : Étude d'une convergence en loi}
On considère une suite de variables aléatoires réelles \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\), mutuellement indépendantes, de même densité \(f\), où \(f\) a été définie dans la partie I.

On pose, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}: \quad T_{n}=\max \left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right) \quad\) et \(\quad U_{n}=T_{n}-\ln (n)\).\\
10. a. Déterminer, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), la fonction de répartition de \(T_{n}\).\\
b. En déduire : \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \forall x \in \mathbb{R}, \mathbf{P}\left(U_{n} \leqslant x\right)=\left(1+\frac{\mathrm{e}^{-x}}{n}\right)^{-n}\).\\
11. En déduire que la suite de variables aléatoires \(\left(U_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) converge en loi vers une variable aléatoire réelle à densité dont on précisera la fonction de répartition et une densité.

\section*{- FIN -}

\end{document}