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\title{Conception : emlyon business school }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{OPTION ÉCONOMIQUE}
\section*{MATHÉMATIQUES}
Lundi 29 avril 2019, de 14 h 00 à 18 h 00 .

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

\section*{EXERCICE 1}
Dans ce problème, toutes les variables aléatoires sont supposées définies sur un même espace probabilisé noté ( \(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P}\) ).

\section*{PARTIE A : Des résultats préliminaires}
Soient \(U\) et \(V\) deux variables aléatoires à densité indépendantes, de densités respectives \(f_{U}\) et \(f_{V}\) et de fonctions de répartition respectives \(F_{U}\) et \(F_{V}\).\\
On suppose que les fonctions \(f_{U}\) et \(f_{V}\) sont nulles sur \(]-\infty ; 0\) [ et continues sur \([0 ;+\infty[\).

\begin{enumerate}
  \item a. Justifier : \(\quad \forall t \in\left[0 ;+\infty\left[, \quad 0 \leqslant F_{U}(t) f_{V}(t) \leqslant f_{V}(t)\right.\right.\).\\
b. En déduire que l'intégrale \(\int_{0}^{+\infty} F_{U}(t) f_{V}(t) \mathrm{d} t\) converge.
\end{enumerate}

On admet le résultat suivant :

\[
\int_{0}^{+\infty} F_{U}(t) f_{V}(t) \mathrm{d} t=\mathrm{P}([U \leqslant V])
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item En déduire: \(\quad \mathbf{P}([U>V])=\int_{0}^{+\infty}\left(1-F_{U}(t)\right) f_{V}(t) \mathrm{d} t\).
  \item Exemple : Soient \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}^{+*}\). On suppose dans cette question que \(U\) suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) et que \(V\) suit la loi exponentielle de paramètre \(\mu\).\\
a. Rappeler, pour tout \(t\) de \(\mathbb{R}^{+}\), une expression de \(F_{U}(t)\) et de \(f_{V}(t)\).\\
b. En déduire : \(\quad \mathbf{P}([U>V])=\frac{\mu}{\lambda+\mu}\).
\end{enumerate}

\section*{PARTIE B : Une application}
Soit \(\lambda \in \mathbb{R}^{+*}\). On considère une suite \(\left(T_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) de variables aléatoires indépendantes, suivant toutes la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\).\\
On définit ensuite la variable aléatoire \(N\) égale au plus petit entier \(k\) de \(\mathbb{N}^{*}\) tel que \(T_{k} \leqslant T_{0}\) si un tel entier existe et égale à 0 sinon.\\
4. Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\). On définit la variable aléatoire \(M_{n}\) par : \(\quad M_{n}=\min \left(T_{1}, \ldots, T_{n}\right)\).\\
a. Calculer, pour tout \(t\) de \(\mathbb{R}^{+}, \mathrm{P}\left(\left[M_{n}>t\right]\right)\).\\
b. En déduire la fonction de répartition de \(M_{n}\) sur \(\mathbb{R}\).

Reconnaître la loi de \(M_{n}\) et préciser son(ses) paramètre(s).\\
5. a. Montrer : \(\quad \mathbf{P}([N=1])=\mathbf{P}\left(\left[T_{1} \leqslant T_{0}\right]\right)=\frac{1}{2}\).\\
b. Justifier : \(\quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad[N>n]=\left[M_{n}>T_{0}\right]\).

En déduire, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), une expression de \(\mathbf{P}([N>n])\) en fonction de \(n\).\\
c. Montrer alors : \(\quad \forall n \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\}, \quad \mathbf{P}([N=n])=\frac{1}{n(n+1)}\).\\
d. En déduire la valeur de \(\mathbf{P}([N=0])\).\\
6. La variable aléatoire \(N\) admet-elle une espérance?

\section*{EXERCICE 2}
On rappelle que deux matrices \(A\) et \(B\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) sont dites semblables lorsque\\
il existe une matrice \(P\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) inversible telle que : \(B=P^{-1} A P\).\\
L'objectif de cet exercice est d'étudier des exemples de matrices inversibles qui sont semblables à leur inverse. Les trois parties de cet exercice sont indépendantes entre elles.

\section*{PARTIE A : Premier exemple}
On considère la matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) définie par : \(\quad A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 / 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)\)

\begin{enumerate}
  \item Déterminer les valeurs propres de \(A\).
\end{enumerate}

Justifier que \(A\) est inversible et diagonalisable.\\
2. Déterminer une matrice \(D\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) diagonale où les coefficients diagonaux sont rangés dans l'ordre croissant, et une matrice \(P\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) inversible telles que : \(A=P D P^{-1}\). Expliciter la matrice \(D^{-1}\).\\
3. On note \(Q=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)\). Calculer \(Q^{2}\) et \(Q D Q\).\\
4. En déduire que les matrices \(A\) et \(A^{-1}\) sont semblables.

\section*{PARTIE B : Deuxième exemple}
On considère \(f\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) défini par :

\[
\forall(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}, \quad f(x, y, z)=(x,-z, y+2 z)
\]

On note \(M\) la matrice de \(f\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\).\\
On considère également les vecteurs \(u_{1}\) et \(u_{2}\) de \(\mathbb{R}^{3}\) définis par : \(\quad u_{1}=(1,0,0)\) et \(u_{2}=(0,1,-1)\).\\
5. Expliciter la matrice \(M\) et montrer que \(M\) est inversible.\\
6. a. Vérifier que 1 est valeur propre de \(f\) et que ( \(u_{1}, u_{2}\) ) est une base du sous-espace propre associé.\\
b. Déterminer un vecteur \(u_{3}\) de \(\mathbb{R}^{3}\) tel que: \(f\left(u_{3}\right)-u_{3}=u_{2}\).\\
c. Montrer que la famille \(\mathcal{B}_{1}=\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right)\) est une base de \(\mathbb{R}^{3}\).

On admet que \(\mathcal{B}_{2}=\left(u_{1},-u_{2}, u_{3}\right)\) est également une base de \(\mathbb{R}^{3}\).\\
7. a. Écrire la matrice \(M_{1}\) de \(f\) dans la base \(\mathcal{B}_{1}\) et la matrice \(M_{2}\) de \(f\) dans la base \(\mathcal{B}_{2}\).\\
b. Justifier que les matrices \(M_{1}\) et \(M_{2}\) sont semblables, et calculer \(M_{1} M_{2}\).\\
8. En déduire que les matrices \(M\) et \(M^{-1}\) sont semblables.

\section*{PARTIE C : Troisième exemple}
On considère la matrice \(T\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) définie par : \(\quad T=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\).\\
On note \(I_{3}\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) et on pose: \(\quad N=T-I_{3}\).\\
9. Justifier que la matrice \(T\) est inversible. Est-elle diagonalisable ?\\
10. a. Calculer \(N^{3}\) puis \(\left(I_{3}+N\right)\left(I_{3}-N+N^{2}\right)\).\\
b. En déduire une expression de \(T^{-1}\) en fonction de \(I_{3}, N\) et \(N^{2}\).\\
11. On note \(g\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) dont la matrice dans la base canonique est \(N\).\\
a. Justifier qu'il existe un vecteur \(u\) de \(\mathbb{R}^{3}\) tel que: \(g \circ g(u) \neq 0\) et \(g \circ g \circ g(u)=0\).\\
b. Montrer que la famille \(\mathcal{B}_{3}=(g \circ g(u), g(u), u)\) est une base de \(\mathbb{R}^{3}\).\\
c. Écrire la matrice de \(g\) dans la base \(\mathcal{B}_{3}\).\\
d. Calculer \(N^{2}-N\) et en déduire que les matrices \(N\) et \(N^{2}-N\) sont semblables.\\
12. Montrer que les matrices \(T\) et \(T^{-1}\) sont semblables.

\section*{EXERCICE 3}
On considère la fonction \(f\) définie sur \(] 0 ;+\infty[\) par :

\[
\forall t \in] 0 ;+\infty\left[, \quad f(t)=t+\frac{1}{t}\right.
\]

\section*{PARTIE A : Étude d'une fonction d'une variable}
\begin{enumerate}
  \item Étudier les variations de la fonction \(f\) sur \(] 0 ;+\infty[\).
\end{enumerate}

Dresser le tableau de variations de \(f\) en précisant les limites en 0 et \(+\infty\).\\
2. Montrer que \(f\) réalise une bijection de \([1 ;+\infty[\) vers \([2 ;+\infty[\).

On note \(g:[2 ;+\infty[\rightarrow[1 ;+\infty[\) la bijection réciproque de la restriction de \(f\) à \([1 ;+\infty[\).\\
3. a. Dresser le tableau de variations de \(g\).\\
b. Justifier que la fonction \(g\) est dérivable sur \(] 2 ;+\infty[\).\\
c. Soit \(y \in[2 ;+\infty[\).

En se ramenant à une équation du second degré, résoudre l'équation \(f(t)=y\) d'inconnue \(t \in] 0 ;+\infty\). En déduire une expression de \(g(y)\) en fonction de \(y\).

\section*{PARTIE B : Étude d'une fonction de deux variables}
On considère la fonction \(h\) de classe \(C^{2}\) sur l'ouvert \(\left.U=\right] 0 ;+\infty[\times] 0 ;+\infty[\) définie par :

\[
\forall(x, y) \in U, \quad h(x, y)=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)(1+x)(1+y)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de \(h\) en tout \((x, y)\) de \(U\).
  \item Soit \((x, y) \in U\). Montrer :
\end{enumerate}

\[
(x, y) \text { est un point critique de } h \Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
y=x^{2} \\
x=y^{2}
\end{array} .\right.
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item En déduire que \(h\) admet un unique point critique sur \(U\) dont on précisera les coordonnées ( \(a, b\) ).
  \item a. Vérifier :
\end{enumerate}

\[
\forall(x, y) \in U, \quad h(x, y)=2+f(x)+f(y)+f\left(\frac{x}{y}\right) .
\]

b. En déduire que \(h\) admet en \((a, b)\) un minimum global sur \(U\).

\section*{PARTIE C : Étude d'une suite}
On introduit la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) définie par :

\[
u_{1}=1 \quad \text { et } \quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad u_{n+1}=u_{n}+\frac{1}{n^{2} u_{n}}=\frac{1}{n} f\left(n u_{n}\right) \text {. }
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{7}
  \item Montrer que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}, u_{n}\) existe et \(u_{n} \geqslant 1\).
  \item Recopier et compléter les lignes 3 et 4 de la fonction Scilab suivante afin que, prenant en argument un entier \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), elle renvoie la valeur de \(u_{n}\).
\end{enumerate}

\begin{verbatim}
function u = suite(n)
    \(\mathrm{u}=1\)
    for k = ..................
        u = ..................
    end
endfunction
\end{verbatim}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{9}
  \item On pose, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}, \quad v_{n}=u_{n+1}-u_{n}\).\\
a. Montrer : \(\quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad 0 \leqslant v_{n} \leqslant \frac{1}{n^{2}}\).\\
b. En déduire la nature de la série \(\sum_{n \geqslant 1} v_{n}\).\\
c. Calculer, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(2, \sum_{k=1}^{n-1} v_{k}\).
\end{enumerate}

En déduire que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) converge vers un réel \(\ell\), que l'on ne cherchera pas à déterminer.\\
11. a. Montrer que, pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à 2 , on a: \(\frac{1}{k^{2}} \leqslant \int_{k-1}^{k} \frac{1}{t^{2}} \mathrm{~d} t\).\\
b. Pour tous entiers \(n\) et \(p\) tels que \(2 \leqslant p<n\), calculer \(\sum_{k=p}^{n-1} v_{k}\) et en déduire:

\[
0 \leqslant u_{n}-u_{p} \leqslant \int_{p-1}^{n-1} \frac{1}{t^{2}} \mathrm{~d} t
\]

c. En déduire, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 3 : \(\quad u_{2} \leqslant u_{n} \leqslant 1+u_{2}\). Montrer alors que \(\ell\) appartient à l'intervalle [ \(2 ; 3\) ].\\
d. Montrer, pour tout entier \(p\) supérieur ou égal à 2 :

\[
0 \leqslant \ell-u_{p} \leqslant \frac{1}{p-1}
\]

e. En déduire une fonction Scilab qui renvoie une valeur approchée de \(\ell\) à \(10^{-4}\) près.

\section*{- FIN -}

\end{document}