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\title{Conception : emLyon business school }

\author{VOIE GÉNÉRALE}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
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\section*{MATHÉMATIQUES APPLIQUEÉS}
\section*{FILIÈRE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE }
Mardi 23 Avril 2024, de 14h. à 18 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

\section*{Exercice 1}
\section*{Les parties \(B\) et \(C\) sont indépendantes de la partie \(A\).}
\section*{Partie A : Résolution d'un système différentiel}
On considère l'équation différentielle

\[
(E): \quad x^{\prime}(t)=-x(t)+e^{-t},
\]

où \(x\) est une fonction définie et dérivable sur \(\mathbf{R}\) à valeurs dans \(\mathbf{R}\).

\begin{enumerate}
  \item a) Résoudre l'équation différentielle homogène \(x^{\prime}(t)=-x(t)\) sur \(\mathbf{R}\).\\
b) Déterminer une solution particulière \(x_{0}\) de ( \(E\) ) de la forme \(x_{0}: t \mapsto(a t+b) e^{-t}\) avec \((a, b) \in \mathbf{R}^{2}\).\\
c) Résoudre l'équation différentielle ( \(E\) ).
\end{enumerate}

On s'intéresse maintenant au système différentiel :

\[
(S):\left\{\begin{array}{lll}
x^{\prime}(t) & = & -x(t)+y(t) \\
y^{\prime}(t) & = & -y(t)
\end{array}\right.
\]

où \(x\) et \(y\) désignent des fonctions définies et dérivables sur \(\mathbf{R}\) à valeurs dans \(\mathbf{R}\).\\
2. a) Donner la matrice \(A \in \mathscr{M}_{2}(\mathbf{R})\) telle que

\[
(S) \quad \Longleftrightarrow \quad X^{\prime}(t)=A X(t) \quad \text { avec } \quad X(t)=\binom{x(t)}{y(t)} .
\]

La matrice \(A\) est-elle diagonalisable?\\
b) Justifier l'existence d'une unique solution \((x, y)\) de \((S)\) telle que \(x(0)=1\) et \(y(0)=1\).\\
c) Déterminer cette solution \((x, y)\) en vous aidant de la question 1.\\
d) Étudier la convergence de la solution \((x, y)\) vers un état d'équilibre lorsque \(t\) tend vers \(+\infty\).\\
3. Recopier et compléter le programme en langage Python ci-dessous de manière à ce qu'il produise le graphique sur la droite représentant la trajectoire \(t \mapsto(x(t), y(t))\) pour \(t \in[-2,10]\).

On rappelle que la commande np. linspace \((-2,10,200)\) crée une liste de 200 valeurs régulièrement espacées allant de -2 à 10 .

\begin{verbatim}
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
T = np.linspace(-2,10,200)
x = [ ... for t in T]
y = [ ... for t in T]
plt.title("Trajectoire de la solution")
plt.plot( ... )
plt.show()
\end{verbatim}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{Trajectoire de la solution}
  \includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{ebcbc483-4f49-47f9-83fb-846dfd6406ae-2_483_707_2106_1137}
\end{center}
\end{figure}

\section*{Partie B : Étude d'une suite de fonctions}
Pour tout entier \(k \in \mathbf{N}^{*}\), on considère la fonction \(f_{k}\) définie sur \(\mathbf{R}\) par:

\[
\forall x \in \mathbf{R}, \quad f_{k}(x)=(x+1) e^{k x}
\]

On note \(\mathscr{C} \mathscr{C}_{k}\) la courbe de \(f_{k}\) dans le plan muni d'un repère orthonormé.\\
4. a) Calculer les limites de la fonction \(f_{k}\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).\\
b) Dresser le tableau de variation de \(f_{k}\) en y faisant figurer les valeurs prises par \(f_{k}\) en -1 et en 0 .\\
5. a) Étudier la position relative des courbes \(\mathscr{C}_{k}\) et \(\mathscr{C}_{k+1}\). Vous préciserez leurs points d'intersection.\\
b) Dessiner sur un même graphique l'allure de \(\mathscr{C}_{k}\) et \(\mathscr{C}_{k+1}\).

\section*{Partie C : Étude d'une suite implicite}
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item a) Montrer que, pour tout \(k \in \mathbf{N}^{*}\), l'équation \(f_{k}(x)=k\) admet une unique solution dans \(\mathbf{R}\) notée \(u_{k}\).\\
b) Déterminer explicitement \(u_{1}\).
  \item Montrer que, pour tout entier \(k \geqslant 1\), on a :
\end{enumerate}

\[
0 \leqslant u_{k} \leqslant \frac{\ln (k)}{k}
\]

En déduire que la suite ( \(u_{k}\) ) converge et donner sa limite.\\
8. a) Soit \(k \geqslant 1\) un entier, montrer que:

\[
u_{k}=\frac{\ln (k)}{k}-\frac{\ln \left(u_{k}+1\right)}{k}
\]

b) En déduire que \(u_{k} \sim \frac{\ln (k)}{k}\) lorsque \(k\) tend vers \(+\infty\).\\
9. Quelle est la nature de la série \(\sum_{k \geqslant 1} u_{k}\) ?

\section*{Exercice 2}
On considère les matrices carrées d'ordre deux suivantes :

\[
0_{2}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right), \quad I_{2}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) \quad \text { et } \quad A=\left(\begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array}\right)
\]

On note \(\mathscr{C}\) le sous-ensemble de \(\mathscr{M}_{2}(\mathbf{R})\) défini par:

\[
\mathscr{C}=\left\{M \in \mathscr{M}_{2}(\mathbf{R}) ; A M=M A\right\}
\]

\section*{Partie A: Étude de \(A\) et de \(\mathscr{C}\)}
\begin{enumerate}
  \item Calculer \(A^{2}\). En déduire que \(A\) est inversible et donner son inverse.
  \item La matrice \(A\) est-elle diagonalisable?
  \item Justifier que \(\mathscr{C}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathscr{M}_{2}(\mathbf{R})\).
  \item a) Résoudre l'équation \(A M=M A\) d'inconnue \(M \in \mathscr{M}_{2}(\mathbf{R})\).\\
b) Montrer que ( \(I_{2}, A\) ) est une base de \(\mathscr{C}\).
  \item Soient \(M\) et \(N\) deux matrices quelconques \(\operatorname{de} \mathscr{C}\).\\
a) Montrer que le produit \(M N\) appartient à \(\mathscr{C}\).\\
b) Montrer que \(M\) et \(N\) commutent, c'est-à-dire que \(M N=N M\).
  \item Soit \(M\) une matrice non nulle de \(\mathscr{C}\). Montrer que \(M\) est inversible et que \(M^{-1}\) appartient à \(\mathscr{C}\).
\end{enumerate}

\section*{Partie B : Toute équation du second degré admet une solution dans \(\mathscr{C}\)}
On fixe un polynôme unitaire du second degré à coefficients réels :

\[
P(x)=x^{2}+u x+v \quad \text { avec }(u, v) \in \mathbf{R}^{2}
\]

On note \(\Delta=u^{2}-4 v\) son discriminant.\\
Le but de cette partie est de montrer qu'il existe une matrice \(M \in \mathscr{C}\) telle que \(P(M)=0_{2}\).\\
7. Soit \(M=a I_{2}+b A\) avec \((a, b) \in \mathbf{R}^{2}\).\\
a) Montrer: \(M^{2}=\left(a^{2}-b^{2}\right) I_{2}+2 a b A\).\\
b) En déduire :

\[
P(M)=0_{2} \Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{r}
a^{2}-b^{2}+u a+v=0 \\
2 a b+u b=0
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{7}
  \item Dans cette question, on montre que le système ci-dessus admet au moins une solution \((a, b) \in \mathbf{R}^{2}\) en distinguant deux cas :\\
a) Si \(\Delta \geqslant 0\), montrer que le système admet au moins une solution de la forme \((a, 0)\).\\
b) Si \(\Delta<0\), montrer que le système admet au moins une solution ( \(a, b\) ) avec \(b \neq 0\).
  \item En vous aidant de la question précédente, donner une matrice \(M \in \mathscr{M}_{2}(\mathbf{R})\) telle que \(M^{2}+M+I_{2}=0_{2}\).
\end{enumerate}

\section*{Partie C : Un endomorphisme bijectif de \(\mathscr{M}_{2}(\mathbf{R})\)}
On considère l'application \(\varphi: \mathscr{M}_{2}(\mathbf{R}) \rightarrow \mathscr{M}_{2}(\mathbf{R})\) définie par :

\[
\forall M \in \mathscr{M}_{2}(\mathbf{R}), \quad \varphi(M)=A M A
\]

On note ( \(E_{1}, E_{2}, E_{3}, E_{4}\) ) la base canonique de \(\mathscr{M}_{2}(\mathbf{R})\) définie par:

\[
E_{1}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right), \quad E_{2}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right), \quad E_{3}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right) \quad \text { et } \quad E_{4}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{9}
  \item Montrer que \(\varphi\) est un endomorphisme de \(\mathscr{M}_{2}(\mathbf{R})\).
  \item Calculer \(\varphi \circ \varphi\). En déduire que l'endomorphisme \(\varphi\) est bijectif, et donner \(\varphi^{-1}\).
  \item a) Calculer \(\varphi\left(E_{1}\right), \ldots, \varphi\left(E_{4}\right)\), puis donner la matrice \(B\) de \(\varphi\) dans la base canonique de \(\mathscr{M}_{2}(\mathbf{R})\).\\
b) Justifier sans calcul que \(B\) est diagonalisable et \(\operatorname{Sp}(B)=\{-1,1\}\).\\
(On pourra remarquer que \(B^{2}=I_{4}\) où \(I_{4}\) est la matrice identité d'ordre 4)\\
c) Déterminer une base de chaque sous-espace propre de \(B\).
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}
Soit \(N\) un entier naturel supérieur ou égal à 1 . On dispose d'une urne contenant \(N\) boules numérotées de 1 à \(N\), et on effectue une succession illimitée de tirages d'une boule avec remise dans l'urne. Pour tout \(k \in \mathbf{N}^{*}\), on note \(X_{k}\) la variable aléatoire indiquant le numéro de la boule obtenue au \(k\)-ième tirage.

Pour tout entier \(i \in \llbracket 1 ; N \rrbracket\), on note \(T_{i}\) la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir \(i\) numéros distincts, ainsi \(T_{i}=k\) si on a obtenu \(i\) numéros distincts lors des \(k\) premiers tirages, mais seulement \(i-1\) numéros distincts lors des \(k-1\) premiers tirages.

Exemple : on suppose \(N=4\), si les huit premiers tirages donnent

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\(i\) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
\hline
\(X_{i}\) & 2 & 3 & 3 & 3 & 1 & 2 & 1 & 4 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

alors \(T_{1}=1, T_{2}=2, T_{3}=5\) et \(T_{4}=8\).

\section*{Partie A : Simulation informatique}
\begin{enumerate}
  \item Soit \(k \in \mathbf{N}^{*}\). Reconnaître la loi de \(X_{k}\).
  \item Le programme en langage Python ci-dessous définit une fonction «ajout» qui prend en argument une liste \(L\) et un entier \(x\).
\end{enumerate}

\begin{verbatim}
def ajout(L,x):
    if (x in L) == False :
        L.append(x)
\end{verbatim}

Expliquez succinctement comment et à quelle condition l'exécution de la commande ajout ( \(\mathrm{L}, \mathrm{x}\) ) modifie la liste L.\\
3. Recopier et compléter la fonction Python "Simul\_T" ci-dessous.

Cette fonction prend en argument deux entiers \(N \in \mathbf{N}^{*}\) et \(i \in \llbracket 1 ; N \rrbracket\). Elle a pour but de simuler la variable aléatoire \(T_{i}\). Dans le script nous notons :

\begin{itemize}
  \item L la liste sans répétition des numéros sortis lors des tirages effectués;
  \item k le rang du tirage en cours;
  \item x le résultat du tirage en cours.
\end{itemize}

\begin{verbatim}
import numpy.random as rd
def Simul_T(N,i):
    L = []
    k = 0
    while ... :
        x = rd.randint(1,N+1)
        ajout(L,x)
        k = ...
    return(...)
\end{verbatim}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item On suppose \(N=3\).
\end{enumerate}

Rédiger un programme Python qui calcule et affiche la moyenne de 100 réalisations de Simul\_T(3,2). Que représente le résultat obtenu par rapport à la variable aléatoire \(T_{2}\) ?

\section*{Partie B: Étude de \(T_{2}\) dans le cas d'une urne contenant trois boules}
Dans cette partie on suppose \(N=3\), ainsi l'urne contient exactement trois boules numérotées 1,2 et 3 .\\
5. Donner l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire \(T_{2}\).\\
6. Soit \(k \geqslant 2\) un entier fixé.\\
a) Décrire l'évènement ( \(T_{2}=k\) ) \(\cap\left(X_{1}=1\right)\) à l'aide des évènements ( \(X_{j}=1\) ) et ( \(X_{j} \neq 1\) ) avec \(j \in \mathbf{N}^{*}\).\\
b) En déduire \(P\left(\left(T_{2}=k\right) \cap\left(X_{1}=1\right)\right)\).\\
c) Montrer que \(P\left(T_{2}=k\right)=\frac{2}{3^{k-1}}\).\\
7. Justifier que \(T_{2}\) admet une espérance et la calculer.\\
8. Déterminer la loi de la variable aléatoire \(Z_{2}=T_{2}-1\).

Reconnaître une loi usuelle, retrouver l'espérance de \(T_{2}\) et donner sa variance.

\section*{Partie C : Quelques résultats dans le cas général}
On retourne au cas général, l'urne contient \(N\) boules numérotées de 1 à \(N\).\\
Pour tout \(i \in \llbracket 1 ; N \rrbracket\), on note \(Z_{i}\) la variable aléatoire définie par:

\[
\begin{cases}Z_{1}=1 & \text { si } i=1 \\ Z_{i}=T_{i}-T_{i-1} & \text { si } i \geqslant 2\end{cases}
\]

La variable aléatoire \(Z_{i}\) donne le nombre de tirages nécessaires, après le \(T_{i-1}\)-ième tirage, pour obtenir un numéro distinct des \(i-1\) numéros déjà tirés.\\
On admet que les variable aléatoires \(Z_{1}, \ldots, Z_{N}\) sont indépendantes.

\section*{Décomposition de \(T_{i}\)}
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{8}
  \item Soit \(i \in \llbracket 2 ; N \rrbracket\).\\
a) Justifier que \(Z_{i}\) suit la loi géométrique de paramètre \(\frac{N-i+1}{N}\).\\
b) Exprimer \(E\left(Z_{i}\right)\) et \(V\left(Z_{i}\right)\) en fonction de \(i\) et \(N\). Vérifier que ces formules restent vraies pour \(i=1\).
  \item Soit \(i \in \llbracket 1\); N】. Exprimer \(T_{i}\) comme somme de \(Z_{1}, \ldots, Z_{i}\).
\end{enumerate}

\section*{Loi de \(T_{3}\)}
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{10}
  \item a) Calculer \(P\left(\left(Z_{2}=\ell\right) \cap\left(Z_{3}=k\right)\right)\) pour tous \(\ell\) et \(k\) dans \(\mathbf{N}^{*}\).\\
b) En déduire que, pour tout entier \(n \geqslant 2\),
\end{enumerate}

\[
P\left(Z_{2}+Z_{3}=n\right)=\frac{(N-1)(N-2)}{2}\left(\left(\frac{2}{N}\right)^{n}-\frac{2}{N^{n}}\right)
\]

c) Déterminer la loi de \(T_{3}\).

\section*{Esperance et covariance}
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{11}
  \item Soit \(i \in \llbracket 1 ; N \rrbracket\), montrer que \(E\left(T_{i}\right)=N \sum_{k=N-i+1}^{N} \frac{1}{k}\).
  \item Soient \(i\) et \(j\) deux entiers tels que \(1 \leqslant i \leqslant j \leqslant N\), montrer que
\end{enumerate}

\[
\operatorname{cov}\left(T_{i}, T_{j}\right)=V\left(T_{i}\right)
\]

où \(\operatorname{cov}\left(T_{i}, T_{j}\right)\) désigne la covariance de \(T_{i}\) et \(T_{j}\).

Fin de l'énoncé


\end{document}