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\author{JEUDI 4 MAI 2000, de 8 h à 12 h}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
EPREUVES ESC

\section*{CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES}
\section*{MATHEMATIQUES \\
 OPTION ECONOMIQUE}
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ;\\
L'usage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
L'épreuve est composée de trois exercices indépendants.\\
N.B. Il est demandé au candidat d'indiquer, impérativement, son numéro d'inscription sur les copies.

\section*{Exercice 1}
\begin{enumerate}
  \item Soit f la fonction définie sur R par \(f(x)=\frac{x}{x^{2}+x+1}\).
\end{enumerate}

On désigne par \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.\\
(a) Etudier les variations de \(f\) ainsi que ses limites en \(-\infty\) et \(+\infty\).\\
(b) Calculer une équation de la tangente \(T\) à \(\mathcal{C}\) à l'abscisse 0 .\\
(c) Etudier la position relative de \(\mathcal{C}\) et de \(T\). Préciser les points d'intersection.\\
(d) Construire \(\mathcal{C}\) et \(T\).\\
2. On considère la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par : \(\left\{\begin{array}{l}u_{0}=1 \\ \text { pour tout } n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)=\frac{u_{n}}{u_{n}{ }^{2}+u_{n}+1}\end{array}\right.\)\\
(a) Soit \(p\) un entier naturel non nul. Montrer que : \(f\left(\frac{1}{p}\right) \leq \frac{1}{p+1}\).\\
(b) En déduire par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}, 0<u_{n} \leq \frac{1}{n+1}\)\\
(c) Calculer \(\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}\).\\
(d) Vérifier que : \(\frac{1}{u_{n+1}}=u_{n}+1+\frac{1}{u_{n}}\)\\
(e) En déduire, par récurrence et à l'aide du 2.(b) que pour tout \(n \geq 1, \frac{1}{u_{n}} \leq n+1+\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\).\\
(f) Justifier l'inégalité pour tout entier \(k \geq 2, \quad \frac{1}{k} \leq \int_{k-1}^{k} \frac{d x}{x}\).\\
(g) En déduire que : pour \(n \geq 2, \quad \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k} \leq \ln (n)\), puis que : pour \(n \geq 2, \frac{1}{u_{n}} \leq n+2+\ln (n)\).\\
(h) A l'aide des résultats, précédents, calculer \(\lim _{n \rightarrow+\infty} n u_{n}\).

\section*{Exercice 2}
\section*{Partie A}
Soit la matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)\).\\
On considère l'ensemble \(E\) des matrices \(M\) de \(\mathbb{M}_{3}(\mathbb{R})\) telles que

\[
M=x A+y A^{2}+z A^{3} \text { avec }(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}
\]

\begin{enumerate}
  \item (a) Calculer \(A^{2}\) et \(A^{3}\).\\
(b) Etablir que \(A, A^{2}\) et \(A^{3}\) sont linéairement indépendantes.\\
(c) Justifier que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{M}_{3}(\mathbb{R})\). En donner une base et la dimension.
  \item (a) Calculer les valeurs propres de \(A\).\\
(b) La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
\end{enumerate}

\section*{Partie B}
Soient \(\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\) et \(u=(a, b, c)\) un élément de \(\mathbb{R}^{3}\).\\
On considère l'endomorphisme g de \(\mathbb{R}^{3}\) défini par : \(g\left(e_{1}\right)=e_{2}, g\left(e_{2}\right)=e_{3}\) et \(g\left(e_{3}\right)=u\).

\begin{enumerate}
  \item (a) Ecrire la matrice de \(g\) dans la base \(\mathcal{B}\).\\
(b) En déduire que : \(g(u)=e_{1} \Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{ccc}a c & = & 1 \\ a+b c & = & 0 \\ b+c^{2} & = & 0\end{array}\right.\).
  \item Déterminer par leur matrice dans la base B , quand ils existent, les endomorphismes g de \(\mathbb{R}^{3}\) tels que :
\end{enumerate}

\[
g\left(e_{1}\right)=e_{2}, g\left(e_{2}\right)=e_{3}, g\left(e_{3}\right)=u \text { et } g(u)=e_{1}
\]

\section*{Exercice 3}
On dispose d'une urne contenant une boule blanche et une boule noire ainsi que d'une pièce non truquée. On considère l'expérience \(\mathcal{E}\) suivante :

\begin{itemize}
  \item on jette une fois la pièce
  \item si l'on obtient pile, on tire avec remise une boule de l'urne
  \item si l'on obtient face, on tire sans remise une boule de l'urne.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \item On répète deux fois \(\mathcal{E}\). Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.\\
(a) Donner les valeurs de \(X\).\\
(b) Définir l'événement ( \(X=2\) ), en déduire \(P[X=2]=\frac{1}{8}\) et donner \(P[X=0]\).\\
(c) Calculer l'espérance et la variance de \(X\).
  \item On répète \(\mathcal{E}\) et on s'arrête dès que l'urne est vide ou dès que l'on a effectué \(\mathcal{E}\) trois fois. Soient \(Y\) la variable aléatoire égale au nombre de réalisations de \(\mathcal{E}\) effectuées et \(Z\) la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.\\
(a) Calculer \(P[Y=2]\). En déduire la loi de Y .\\
(b) Montrer que \(P[Y=3 \cap Z=1]=\frac{11}{32}\). Déterminer la loi du couple ( \(Y, Z\) ).\\
(c) Calculer la covariance de ce couple.
  \item On répète \(\mathcal{E}\) jusqu'à ce que l'on obtienne la première boule blanche.
\end{enumerate}

Soit T la variable aléatoire égale au nombre de réalisations de E ainsi effectuées.\\
(a) Quel est l'ensemble des valeurs de T ?\\
(b) Calculer \(P[T=1]\) et \(P[T=2]\).\\
(c) Soit n un entier. Calculer pour \(n \geq 3\) la probabilité de l'événement \(E_{n-2}\) : "les \(\mathrm{n}-2\) premières réalisations de \(\mathcal{E}\) donnent chacune pile et une boule noire".\\
En déduire que pour \(n \geq 2, P[T=n]=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\)\\
(d) Calculer l'espérance de T .


\end{document}