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\title{EPREUVES ESC CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{MATHEMATIQUES OPTION ECONOMIQUE}
MERCREDI 16 MAI 2001, de 8 h à 12 h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document;\\
"L'usage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve".

Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

L'épreuve est composée de trois exercices indépendants.\\
N.B. Il est demandé au candidat d'indiquer, impérativement, son numéro d'inscription sur les copies.

\section*{EXERCICE 1}
On considère la fonction \(f\) définie sur \([0 ; 1]\) par \(f(x)=2 x e^{x}\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(f\) réalise une bijection de \([0 ; 1]\) sur un ensemble que l'on déterminera.
\end{enumerate}

On note \(f^{-1}\) la bijection réciproque de \(f\). Donner les tableaux des variations de \(f\) et de \(f^{-1}\).\\
2. Vérifier qu'il existe dans \([0 ; 1]\) un et un seul réel noté \(\alpha\) tel que \(\alpha e^{\alpha}=1\).

Montrer que \(\alpha \neq 0\).\\
On définit la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) par :

\[
\left\{\begin{array}{l}
u_{0}=\alpha \\
\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=f^{-1}\left(u_{n}\right)
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Montrer que pour tout entier naturel \(n, u_{n}\) existe et \(\left.\left.u_{n} \in\right] 0 ; 1\right]\).
  \item (a) Montrer que pour tout réel \(x\) de \([0 ; 1], f(x)-x \geq 0\). Vérifier que l'égalité ne se produit que pour \(x=0\).\\
(b) En déduire que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in I N}\) est strictement décroissante.\\
(c) Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in I N}\) est convergente et qu'elle a pour limite 0 .
  \item On se propose de préciser ce résultat en déterminant un équivalent de \(u_{n}\).
\end{enumerate}

On pose pour tout entier naturel \(n\) : \(S_{n}=\sum_{k=0}^{n} u_{k}\)\\
(a) Montrer que pour tout entier naturel \(n: \quad u_{n+1}=\frac{1}{2} u_{n} e^{-u_{n+1}}\)\\
(b) En déduire par récurrence que pour tout entier naturel \(n: u_{n}=\frac{e^{-S_{n}}}{2^{n}}\)\\
(c) Montrer que \(u_{n} \leq\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\), et en déduire que la série de terme général \(u_{n}\) est convergente. On note \(L\) sa somme. Montrer que \(\alpha \leq L \leq 2\).\\
(d) Montrer finalement que \(u_{n+\infty} \sim \frac{e^{-L}}{2^{n}}\).

\section*{EXERCICE 2}
On donne les matrices carrées d'ordre 3 suivantes :

\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
5 & 5 & -14 \\
6 & 6 & -16 \\
5 & 5 & -14
\end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{ccc}
8 & 4 & -16 \\
0 & 4 & -8 \\
4 & 4 & -12
\end{array}\right) \quad P=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
2 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 1
\end{array}\right)
\]

Ainsi que les matrices colonne :

\[
V_{1}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
1
\end{array}\right) \quad V_{2}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0
\end{array}\right) \quad V_{3}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \item Vérifier que \(V_{1}, V_{2}\) et \(V_{3}\) sont des vecteurs propres de \(A\).
\end{enumerate}

A quelles valeurs propres sont-ils associés?\\
2. (a) Montrer que \(P\) est inversible et calculer \(P^{-1}\).\\
(b) Justifier la relation \(P^{-1} A P=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -4\end{array}\right)\)

On note \(D\) cette matrice diagonale.\\
(c) Calculer la matrice \(\Delta=P^{-1} B P\) et vérifier qu'elle est diagonale.\\
3. On se propose de calculer les matrices colonne \(X_{n}\) définies par les relations:

\[
X_{0}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right), X_{1}=\left(\begin{array}{c}
0 \\
-1 \\
1
\end{array}\right) \text { et } \forall n \in \mathbb{N}, X_{n+2}=A X_{n+1}+B X_{n}
\]

A cet effet, on définit pour tout \(n \in \mathbb{N}: Y_{n}=P^{-1} X_{n}\) et on pose également \(Y_{n}=\left(\begin{array}{c}u_{n} \\ v_{n} \\ w_{n}\end{array}\right)\)\\
(a) Montrer que \(Y_{0}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)\) et \(Y_{1}=\left(\begin{array}{c}-3 \\ -1 \\ 4\end{array}\right)\)\\
(b) Montrer que pour tout entier naturel \(n, Y_{n+2}=D Y_{n+1}+\Delta Y_{n}\).\\
(c) Montrer alors que pour tout entier naturel \(n\) :

\[
\left\{\begin{array}{l}
u_{n+2}=u_{n+1} \\
v_{n+2}=4 v_{n} \\
w_{n+2}=-4 w_{n+1}-4 w_{n}
\end{array}\right.
\]

En déduire les expressions explicites de \(u_{n}, v_{n}\) et \(w_{n}\) en fonction de \(n\).\\
(d) Donner finalement la matrice \(X_{n}\) en fonction de \(n\).

\section*{EXERCICE 3}
\begin{enumerate}
  \item On pose pour tout entier naturel \(n\) non nul l'intégrale : \(I_{n}=\int_{1}^{+\infty} \frac{\ln t}{t^{n}} d t\)\\
(a) Calculer pour \(A \geq 1\) l'intégrale \(\int_{1}^{A} \frac{\ln t}{t} d t\) et en déduire que \(I_{1}\) est divergente.\\
(b) Montrer grâce à une intégration par parties que pour tout entier \(n \geq 2\), lintégrale \(I_{n}\) converge et vaut \(\frac{1}{(n-1)^{2}}\).\\
(c) Etudier les variations de la fonction \(f\) définie sur \(\left[2 ;+\infty\left[\right.\right.\) par \(f(t)=\frac{\ln t}{t^{2}}\) et donner sa limite en \(+\infty\). ( On donne \(\sqrt{e} \approx 1,65\) )\\
(d) En déduire grâce à \(I_{2}\) que \(\sum_{k=2}^{+\infty} \frac{\ln k}{k^{2}}\) converge ( On ne cherchera pas à calculer cette série).
  \item On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(\left\{\begin{array}{l}g(t)=0 \text { si } t<1 \\ g(t)=\frac{4 \ln t}{t^{3}} \text { si } t \geq 1\end{array}\right.\)\\
(a) Montrer que \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}\) et constitue une densité de probabilité. (On utilisera les résultats de la question 1.(b).)\\
On nomme dans toute la suite \(X\) une variable aléatoire admettant la densité \(g\).\\
(b) Etudier l'existence et la valeur éventuelles de l'espérance \(\mathrm{E}(X)\).\\
(c) La variable \(X\) admet-elle une variance?
  \item Etude d'une variable discrète définie à partir de \(X\).\\
(a) On considère la fonction \(G\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(\left\{\begin{array}{l}G(t)=0 \text { si } t<1 \\ G(t)=1-\frac{2 \ln t}{t^{2}}-\frac{1}{t^{2}} \text { si } t \geq 1\end{array}\right.\)
\end{enumerate}

Montrer que \(G\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) puis justifier que \(G\) est la fonction de répartition de la variable aléatoire \(X\).\\
On note \(Z\) la variable aléatoire discrète définie par :

\[
Z(\Omega)=\mathbb{N} \quad \text { et } \quad Z=[X], \text { partie entière de } X
\]

On rappelle que si \(x \in \mathbb{R}^{+}\)et \(k \in \mathbb{N},[x]=k \Leftrightarrow k \leq x<k+1\).\\
(b) Montrer que pour tout entier naturel \(k, P(Z=k)=G(k+1)-G(k)\).\\
(c) En déduire par récurrence sur l'entier naturel \(n\) que :

\[
\sum_{k=0}^{n} k P(Z=k)=-(n+1)[1-G(n+1)]+\sum_{k=0}^{n}(1-G(k+1))
\]

(d) Montrer que \((1-G(k))\) est équivalent en \(+\infty\) à \(\frac{2 \ln k}{k^{2}}\)\\
(e) Déduire de l'ensemble des résultats obtenus que \(Z\) admet une espérance.


\end{document}