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\begin{document}
\section*{Epreuve maths voie conomique}
EXERCICE 1 : suite d'intégrales impropres.\\
On considère, pour \(n\) entier naturel non nul, la fonction \(f_{n}\) définie sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) par :

\[
f_{n}(x)=\frac{n \ln x}{n+1+n x^{2}} \quad \text { pour tout réel } x \text { strictement positif. }
\]

On définit également sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) la fonction \(h\) par :

\[
h(x)=\frac{\ln x}{1+x^{2}} \quad \text { pour tout } x \text { strictement positif. }
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que les fonctions \(f_{n}\) et \(h\) sont continues sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) et étudier leur signe.
  \item (a) Montrer que l'intégrale impropre \(\int_{1}^{+\infty} \frac{\ln x}{x^{2}} d x\) est convergente et déterminer sa valeur.\\
(b) Montrer que l'intégrale impropre \(\int_{1}^{+\infty} h(x) d x\) est convergente.
\end{enumerate}

Dans toute la suite de l'exercice on note alors \(K\) l'intégrale impropre :\\
\(K=\int_{1}^{+\infty} h(x) d x\).\\
3. (a) Montrer, grâce au changement de variable \(u=\frac{1}{x}\) que \(K=-\int_{0}^{1} h(u) d u\).\\
(b) En déduire que l'intégrale impropre \(\int_{0}^{+\infty}|h(x)| d x\) converge et est égale à \(2 K\).\\
(c) En déduire également que l'intégrale impropre \(\int_{0}^{+\infty} h(x) d x\) converge et vaut 0 .\\
4. (a) Montrer que pour tout réel \(x\) strictement positif, \(\quad\left|f_{n}(x)\right| \leqslant|h(x)|\). En déduire la convergence de l'intégrale \(\int_{0}^{+\infty} f_{n}(x) d x\).\\
(b) Montrer que pour tout réel \(x\) strictement positif, \(\quad h(x)-f_{n}(x)= \frac{h(x)}{n+1+n x^{2}}\).\\
(c) En déduire successivement :

\[
\begin{aligned}
& 0 \leqslant \int_{1}^{+\infty}\left(h(x)-f_{n}(x)\right) d x \leqslant \frac{K}{n+1} \\
& -\frac{K}{n+1} \leqslant \int_{0}^{1}\left(h(x)-f_{n}(x)\right) d x \leqslant 0
\end{aligned}
\]

(d) Montrer que \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{+\infty} f_{n}(x) d x=0\).

\section*{EXERCICE 2 : calcul matriciel et algèbre linéaire.}
On considère un paramètre réel \(m\), et les matrices suivantes :

\[
A_{m}=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 2 & 2 \\
2 & 2+m & 2+m \\
-2 & -2-m & -2-m
\end{array}\right) \quad \text { et } \quad I_{3}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \item (a) Montrer que \(A_{m}^{2}\) et \(A_{m}^{3}\) ne dépendent plus de \(m\), et vérifier que : \(A_{m}^{3}=2 . A_{m}^{2}\).\\
(b) On suppose que \(\lambda\) est une valeur propre de \(A_{m}\) et que \(X\) est un vecteur propre associé à cette valeur propre \(\lambda\). Montrer que : \(\quad\left(\lambda^{3}-2 \lambda^{2}\right) X= \left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\) et en déduire que : \(\quad S_{p}\left(A_{m}\right) \subset\{0,2\}\).
  \item Dans cette série de questions on étudie le cas \(m=0\) et on cherche à diagonaliser \(A_{0}\).\\
(a) Montrer que les réels 0 et 2 sont bien valeurs propres de \(A_{0}\).\\
(b) Déterminer une base de chacun des deux sous-espaces propres de \(A_{0}\).\\
(c) Montrer que \(A_{0}\) est diagonalisable, et donner une matrice carrée inversible \(Q\) et une matrice diagonale \(D=\left(\begin{array}{ccc}\alpha & 0 & 0 \\ 0 & \alpha & 0 \\ 0 & 0 & \beta\end{array}\right)\) telles que \(A_{0}=Q D Q^{-1}\).\\
(d) Montrer l'existence de deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(A_{0}^{2}=a A_{0}+b I_{3}\).
  \item Dans cette série de questions, on suppose que le paramètre \(m\) est non nul. On note \(\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^{\nVdash}\) et \(f_{m}\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{\nVdash}\) dont la matrice relativement à \(\mathcal{B}\) est \(A_{m}\).\\
(a) Montrer que les réels 0 et 2 sont bien valeurs propres de \(f_{m}\).\\
(b) Déterminer une base de chacun des deux sous-espaces propres de \(f_{m}\) .\\
La matrice \(A_{m}\) est-elle diagonalisable ?\\
(c) On pose les vecteurs de \(\mathbb{R}^{\nVdash}\) :\\
\(u=e_{1}-e_{2}=(1,-1,0) \quad ; \quad v=f_{m}(u) \quad ; \quad w=e_{1}+e_{2}-e_{3}=(1,1,-1)\).\\
Calculer \(v, f_{m}(v)\) et \(f_{m}(w)\).\\
(d) Montrer que la famille ( \(u, v, w\) ) est une base de \(\mathbb{R}^{\nVdash}\) et former la matrice de l'endomorphisme \(f_{m}\) relativement à cette base.\\
(e) En déduire une matrice carrée inversible \(P_{m}\) telle que \(P_{m}^{-1} A_{m} P_{m}= \left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)\)\\
(f) Existe-t-il des réels \(c\) et \(d\) tels que \(A_{m}^{2}=c A_{m}+d I_{3}\) ?
\end{enumerate}

EXERCICE 3 : v.a.r. usuelles, fonctions de deux variables, optimisation.

Dans tout l'exercice \(n\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 .\\
On considère deux variables aléatoires discrètes indépendantes \(X\) et \(Y\) telles que :\\
\(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(x\) (notée \(B(n, x)\) avec \(x \in] 0,1[\) ).\\
\(Y\) suit une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(y\) (notée \(B(n, y)\) avec \(y \in] 0,1[\) ).\\
On pose alors \(Z\) la variable aléatoire discrète définie par l'égalité : \(Z= 2 n-X-Y\).

\begin{enumerate}
  \item (a) Déterminer l'ensemble \(Z(\Omega)\) des valeurs possibles de \(Z\).\\
(b) Exprimer en fonction de \(n, x\) et \(y\) les probabilités :
\end{enumerate}

\[
P(Z=0) \quad ; \quad P(Z=2 n) \quad ; \quad P(Z=2 n-1) \quad ; \quad P(Z=1)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item (a) Donner les espérances et variances suivantes : \(E(X), E(Y), V(X)\), \(V(Y)\), et en déduire \(E\left(X^{2}\right)\) et \(E\left(Y^{2}\right)\).\\
(b) On pose \(W\) la variable aléatoire définie par \(W=X Y Z\).
\end{enumerate}

Montrer que l'espérance de \(W\) est donnée par : \(\quad E(W)=n^{2}(n-\) 1) \(x y(2-x-y)\).\\
3. On pose \(D=] 0,1[\times] 0,1[\) et \(f\) la fonction de deux variables définie sur \(D\) par :

\[
f(x, y)=x y(2-x-y) \text { pour tout couple }(x, y) \text { de } D
\]

(a) Justifier que \(f\) est de classe \(C^{2}\) sur \(D\).\\
(b) Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de \(f\), en déduire le seul point \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) de \(D\) (appelé " point critique ") susceptible de réaliser un extremum local pour \(f\).\\
(c) Calculer les dérivées partielles d'ordre 2 de \(f\), et montrer que \(f\) admet un maximum local en \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) de valeur \(\frac{8}{27}\).\\
(d) Montrer que pour tout couple \((x, y)\) de \(D\) :

\[
f(x, y)-\frac{8}{27}=\frac{1}{4}\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}\left(y-\frac{8}{3}\right)-y\left(x+\frac{1}{2} y-1\right)^{2}
\]

En déduire que ce maximum local est un maximum global de \(f\) sur D.\\
4. On suppose que les variables \(X, Y\) définies plus haut représentent, en centimètres, la largeur et la longueur d'une brique, dont la hauteur \(Z\) est telle que la somme des côtés, \(X+Y+Z\), est toujours égale à 56 cm , et de volume \(X Y Z\).\\
(a) Quelles sont les valeurs que l'on doit donner aux paramètres \(x\) et \(y\) pour que le volume moyen de la brique soit maximal ?\\
(b) Montrer que ce volume moyen maximum est de \(6272 \mathrm{~cm}^{3}\).


\end{document}