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\title{EPREUVES ESC \\
 CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES }

\author{MATHEMATIQUES\\
OPTION ECONOMIQUE}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
Année 2006

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ;

L'usage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.

Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

\section*{EXERCICE 1}
On considère les matrices : \(A=\left(\begin{array}{rrr}5 & -8 & 4 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right), \quad T=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right), \quad P_{\alpha}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & \alpha \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right)\) où \(\alpha \in \mathbb{R}\).\\
On note \(f\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) de matrice \(A\) dans la base canonique \(\mathcal{B}=\left(\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right)\) de \(\mathbb{R}^{3}\).

\begin{enumerate}
  \item Etudier en discutant selon \(\alpha\) l'inversibilité de la matrice \(P_{\alpha}\). (On utilisera la méthode du pivot).
  \item On note \(Q\) le polynôme défini sur \(\mathbb{R}\) par \(Q(x)=-x^{3}+5 x^{2}-8 x+4\).\\
(a) Montrer par une méthode du pivot que : \(\lambda\) est valeur propre de \(A \Longleftrightarrow Q(\lambda)=0\).\\
(b) Calculer \(Q(1)\). En déduire les valeurs propres de \(A\).\\
(c) Déterminer une base de chaque sous-espace propre de \(A\).
\end{enumerate}

La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?\\
3. On définit les triplets \(\overrightarrow{v_{1}}=(1,1,1)\) et \(\overrightarrow{v_{2}}=(4,2,1)\).\\
(a) Justifier que \(f\left(\overrightarrow{v_{1}}\right)=\overrightarrow{v_{1}}\) et que \(f\left(\overrightarrow{v_{2}}\right)=2 \overrightarrow{v_{2}}\).

Déterminer le réel \(\alpha_{0}\) tel que le triplet \(\overrightarrow{v_{3}}=\left(\alpha_{0}, 1,0\right)\) vérifie \(f\left(\overrightarrow{v_{3}}\right)=\overrightarrow{v_{2}}+2 \overrightarrow{v_{3}}\).\\
(b) Montrer grâce à la question 1 que \(P_{\alpha_{0}}\) est inversible.

En déduire que la famille \(\mathcal{B}^{\prime}=\left(\overrightarrow{v_{1}}, \overrightarrow{v_{2}}, \overrightarrow{v_{3}}\right)\) est une base de \(\mathbb{R}^{3}\).\\
(c) Vérifier par calcul que \(P_{\alpha_{0}}\left(\begin{array}{c}9 \\ -8 \\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)\) (ce résultat servira en question 4.)\\
(d) Sans calculer \(P_{\alpha_{0}}^{-1}\), justifier la relation: \(A=P_{\alpha_{0}} T P_{\alpha_{0}}^{-1}\)\\
(e) Montrer que pour tout entier naturel \(n, T^{n}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^{n} & n 2^{n-1} \\ 0 & 0 & 2^{n}\end{array}\right)\)\\
4. On considère la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) ainsi définie :\\
\(\left\{\begin{array}{l}u_{0}=1 ; \quad u_{1}=-1 ; \quad u_{2}=1 \\ \text { Pour tout entier naturel } n, \quad u_{n+3}=5 u_{n+2}-8 u_{n+1}+4 u_{n}\end{array}\right.\)\\
(a) On pose, pour tout entier naturel \(n, Y_{n}=\left(\begin{array}{c}u_{n+2} \\ u_{n+1} \\ u_{n}\end{array}\right)\). Montrer que \(Y_{n+1}=A Y_{n}\).\\
(b) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(\quad Y_{n}=P_{\alpha_{0}} T^{n} P_{\alpha_{0}}^{-1} Y_{0}\).\\
(c) En utilisant la question 3., exprimer \(u_{n}\) en fonction de \(n\) pour tout entier naturel \(n\).

\section*{EXERCICE 2}
Les questions 2 et 3 sont indépendantes.\\
On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=e^{x}-x\).\\
Pour chaque entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2 , on considère l'équation notée \(\left(E_{n}\right): g(x)=n\), d'inconnue le réel \(x\)..

\begin{enumerate}
  \item (a) Dresser le tableau des variations de \(g\) en précisant les limites aux bornes.\\
(b) Montrer que l'équation ( \(E_{n}\) ) admet exactement deux solutions, l'une strictement négative notée \(\alpha_{n}\) et l'autre strictement positive notée \(\beta_{n}\).
  \item Dans cette question on note \(\left(u_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}\) la suite ainsi définie :
\end{enumerate}

\[
\left\{\begin{array}{l}
u_{0}=-1 \\
\text { Pour tout entier naturel } k, u_{k+1}=e^{u_{k}}-2
\end{array}\right.
\]

(a) On rappelle que \(\alpha_{2}\) est le réel strictement négatif obtenu à la question 1.(b) lorsque \(n=2\)

Calculer \(g(-1)\) et \(g(-2)\) puis montrer que \(2 \leqslant \alpha_{2} \leqslant-1\).\\
(b) Justifier que \(e^{\alpha_{2}}-2=\alpha_{2}\).

En déduire par récurrence sur \(k\) que pour tout entier naturel : \(\alpha_{2} \leqslant u_{k} \leqslant-1\).\\
(c) En utilisant l'inégalité des accroissements finis avec une fonction adéquate, montrer que pour tous réels \(a\) et \(b\) tels que \(a \leqslant-b \leqslant-1, \quad 0 \leqslant e^{b}-e^{a} \leqslant \frac{1}{e}(b-a)\).\\
(d) Montrer que pour tout entier naturel \(k, u_{k+1}-\alpha_{2}=e^{u_{k}}-e^{\alpha_{2}}\)

En déduire par récurrence sur k que pour tout entier naturel \(k: 0 \leqslant u_{k}-\alpha_{2} \leqslant\left(\frac{1}{e}\right)^{k}\).\\
(e) Montrer que la suite \(\left(u_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}\) est convergente et de limite \(\alpha_{2}\).\\
(f) On considère le programme Turbo-Pascal suivant: ( où trunc désigne la fonction partie entière)

\begin{verbatim}
program ex2 ;
var N, k : integer ; epsilon, u : real ;
begin
writeln ( ' Donnez un reel strictement positif');
readln (epsilon );
N := trunc ( - Ln (epsilon ) ) + 1 ; u ._ -1 ;
for k := 1 to N do ...........................;
end.
\end{verbatim}

Montrer que l'entier naturel \(N\) calculé dans ce programme vérifie : \(\left(\frac{1}{e}\right)^{N} \leqslant\) epsilon\\
Compléter la partie pointillée de ce programme afin que la variable u contienne après son exécution une valeur approchée de \(\alpha_{2}\) à epsilon près.\\
3. On revient au cas général où \(n \geqslant 2\).\\
(a) Montrer que \(1 \leqslant g(\ln n) \leqslant n\). En déduire \((\ln (2 n)) \geqslant n\) (on donne \(\ln 2 \simeq 0,69)\).\\
(b) En déduire que \(\ln (n) \leqslant \beta_{n} \leqslant \ln (2 n)\), puis établir \(\beta_{n} \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \ln (n)\).

\section*{EXERCICE 3}
Dans cet exercice \(R\) désigne un réel fixé strictement positif et on considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[
\begin{cases}f(t)=0 & \text { si } t \notin[0 ; R] \\ f(t)=\frac{2 t}{R^{2}} & \text { si } t \in[0 ; R]\end{cases}
\]

\begin{enumerate}
  \item (a) Etudier la continuité de \(f\).\\
(b) Montrer que \(f\) est une densité de probabilité.
\end{enumerate}

On note dans toute la suite \(X\) une variable aléatoire réelle de densité \(f . F_{X}\) désigne sa fonction de répartition.\\
2. (a) Déterminer la valeur \(F_{X}(x)\) lorsque \(x<0\), puis lorsque \(x>R\).\\
(b) Montrer que pour tout réel \(x\) de \([0 ; R], F_{X}(x)=\frac{x^{2}}{R^{2}}\).\\
3. (a) Montrer que \(X\) admet une espérance et que \(E(X)=\frac{2 R}{3}\).\\
(b) Montrer que \(X\) admet une variance et que \(V(X)=\frac{R^{2}}{18}\).

Dans toute la suite \(n\) désigne un entier naturel non nul et \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\) des variables aléatoires indépendantes et de même loi que \(X\). On cherche à estimer le réel \(R\) à l'aide de \(X_{1}, X_{2}, . ., X_{n}\).\\
4. On note \(T_{n}=\frac{3}{2 n} \sum_{k=1}^{n} X_{k}\) et on cherche à estimer \(R\) avec \(T_{n}\).

Montrer que \(T_{n}\) est un estimateur sans biais de \(R\) et calculer son risque quadratique noté \(r\left(T_{n}\right)\).\\
5. On note \(M_{n}\) la variable aléatoire prenant pour valeur le maximum des valeurs prises par les variables \(X_{1}, X_{2}, . ., X_{n}\), de sorte que pour tout réel \(x, \quad\left(M_{n} \leqslant x\right)=\left(X_{1} \leqslant x\right) \cap\left(X_{2} \leqslant x\right) \cap \cdots \cap\left(X_{n} \leqslant x\right)\).\\
(a) Montrer que pour tout réel \(x, P\left(M_{n} \leqslant x\right)=\left(F_{X}(x)\right)^{n}\). En déduire la fonction de répartition de \(M_{n}\), puis montrer que \(M_{n}\) est une variable aléatoire à densité.\\
(b) Montrer qu'une densité possible de \(M_{n}\) est la fonction \(g_{n}\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[
\begin{cases}g_{n}(t)=2 n \frac{t^{2 n-1}}{R^{2 n}} & \text { si } t \in[0 ; R] \\ g_{n}(t)=0 & \text { si } t \notin[0 ; R]\end{cases}
\]

(c) Montrer que \(M_{n}\) admet une espérance et une variance, et que:

\[
E\left(M_{n}\right)=\frac{2 n}{2 n+1} R \quad \text { et } \quad V\left(M_{n}\right)=\frac{n}{(n+1)(2 n+1)^{2}} R^{2}
\]

(d) On cherche à estimer \(R\) avec \(M_{n}\) :

Calculer le biais de \(M_{n}\), noté \(b\left(M_{n}\right)\), et son risque quadratique noté \(r\left(M_{n}\right)\).\\
6. (a) Déterminer un équivalent simple lorsque \(n\) tend vers \(\infty\) de \(b\left(M_{n}\right)\) et \(r\left(M_{n}\right)\).\\
(b) Quels sont les avantages et les inconvénients réciproques des estimateurs \(T_{n}\) et \(M_{n}\) ?


\end{document}