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\author{Code sujet\\
OPTION ECONOMIQUE\\
293\\
ESC\\
\(\_\_\_\_\) MATE}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{Concepteur Epreuves ESC : ESC CHAMBERY}


\section*{MATHEMATIQUES}
Mercredi 14 mai 2008, de 14 h. à 18 h.\\
N.B.

Il n'est fait usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

\section*{EXERCICE 1}
On note \(\mathscr{B C}\) la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\) et on définit les matrices:

\[
I=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right), \quad N=\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right), \quad P_{y}=\left(\begin{array}{lll}
0 & 2 & 1 \\
4 & 0 & y \\
4 & 2 & 0
\end{array}\right) \quad, \quad A=\left(\begin{array}{ccc}
3 & 1 & -1 \\
1 & 1 & 1 \\
2 & 0 & 2
\end{array}\right) .
\]

On note \(f\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) de matrice \(A\) dans la base canonique \(\mathfrak{B C}\).\\
On note id l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) de matrice \(I\) dans la base canonique \(\mathscr{B C}\).

\begin{enumerate}
  \item (a) Calculer \((A-2 I)^{2}\) puis vérifier que \((A-2 I)^{3}=O_{3}\) (matrice nulle de \(\boldsymbol{M}_{3}(\mathbb{R})\) ).\\
(b) En déduire que le réel 2 est l'unique valeur propre de \(A\) et déterminer une base et la dimension du sous-espace propre de \(A\) associé à la valeur propre 2.
  \item Montrer par une méthode du pivot que \(P_{y}\) est inversible si et seulement si \(y \neq-1\).
  \item On note dans toute la suite les vecteurs : \(u_{1}=(0,4,4)\) et \(u_{2}=(2,0,2)\).\\
(a) Déterminer l'unique vecteur \(u_{3}\) de la forme \(u_{3}=(1, y, 0)\) tel que : \(f\left(u_{3}\right)=u_{2}+2 u_{3}\).\\
(b) Donner la matrice de passage \(P\) de la base \(\mathfrak{B C}\) à la famille \(\mathfrak{B}^{\prime}=\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right)\). Montrer à l'aide de la question 2 que \(P\) est inversible puis justifier que la famille \(\boldsymbol{B}^{\prime}\) est une base de \(\mathbb{R}^{3}\).\\
(c) Exprimer \(f\left(u_{1}\right)\) en fonction de \(u_{1}\), puis \(f\left(u_{2}\right)\) en fonction de \(u_{1}\) et \(u_{2}\).
\end{enumerate}

En déduire que la matrice \(T\) de l'endomorphisme \(f\) dans la base \(\mathscr{B}^{\prime}\) est \(T=2 I+N\).\\
Donner, en la justifiant en une seule ligne, la relation liant les matrices \(A, T, P\) et \(P^{-1}\).\\
On cherche maintenant à déterminer l'ensemble \(S\) des endomorphismes \(h\) de \(\mathbb{R}^{3}\) vérifiant la relation \([\mathbf{R}]\) :

\[
[\mathbf{R}]: f \circ h=h \circ f
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item (a) On note \(M^{\prime}\) la matrice de l'endomorphisme \(h\) relativement à la base \(\mathscr{B}^{\prime}\).
\end{enumerate}

Montrer que : \([\mathbf{R}] \Leftrightarrow\left(N M^{\prime}=M^{\prime} N\right)\).\\
(b) En posant \(M^{\prime}=\left(\begin{array}{lll}a & a^{\prime} & a^{\prime \prime} \\ b & b^{\prime} & b^{\prime \prime} \\ c & c^{\prime} & c^{\prime \prime}\end{array}\right)\), montrer que : \([\mathbf{R}] \Leftrightarrow M^{\prime}=\left(\begin{array}{ccc}a & a^{\prime} & a^{\prime \prime} \\ 0 & a & a^{\prime} \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)\).\\
(c) Calculer la matrice \(N^{2}\) et en déduire que \(S=\operatorname{Vect}\left(i d, f-2 i d,(f-2 i d)^{2}\right)\).\\
(d) On note \(\boldsymbol{\mathcal { G }}=\left(I, N, N^{2}\right)\). Montrer que \(\boldsymbol{\mathcal { G }}\) est libre et en déduire la dimension de \(S\).

On note \(\mathfrak{F}^{\prime}=\left(\right.\) id \(\left., f, f^{2}\right)\). Montrer que \(\mathfrak{F}^{\prime}\) est une base de \(S\).

\section*{EXERCICE 2}
Soit \(n\) un entier naturel non nul. On considère dans cet exercice une variable aléatoire \(X_{n}\) qui suit la loi normale de paramètres \(m=0\) et \(\sigma^{2}=\frac{1}{n} \cdot\left(\operatorname{loi} \mathcal{N}\left(0, \frac{1}{n}\right)\right)\).

\begin{enumerate}
  \item (a) Justifier que la fonction \(f_{n}\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f_{n}(t)=\sqrt{\frac{n}{2 \pi}} e^{-\left(\frac{n}{2} t^{2}\right)}\) est une densité de \(X_{n}\).\\
(b) Justifier que \(f_{n}\) est paire.\\
(c) Dans cette question uniquement on considère que \(n=4\), et on donne \(\sqrt{\frac{2}{\pi}} \approx 0,8\).
\end{enumerate}

Représenter l'allure de la courbe représentative de \(f_{4}\) dans un repère orthonormé et situer les points d'inflexion de cette courbe en donnant leur abscisse ( leur ordonnée vaut environ 0,5 ).\\
(d) Justifier graphiquement l'égalité : \(P\left(X_{n} \leq 0\right)=P\left(X_{n} \geq 0\right)=\frac{1}{2}\).

On note \(\Phi\) la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, définie sur \(\mathbb{R}\) par la relation :

\[
\Phi(x)=\int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2} t^{2}} d t
\]

On donne en outre la valeur approchée \(\quad \Phi(1) \approx 0,8\).\\
2. (a) Justifier que \(\Phi(0)=\frac{1}{2}\) puis montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}, \Phi(x)=\frac{1}{2}+\int_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2} t^{2}} d t\).\\
(b) En déduire que \(\Phi\) est de classe \(C^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) et que pour tout \(x \in \mathbb{R}, \Phi^{\prime}(x)=f_{1}(x)\).\\
(c) Justifier que la variable \(\sqrt{n} X_{n}\) suit la loi normale centrée réduite.

En déduire : \(P\left(0 \leq X_{n} \leq \frac{1}{\sqrt{n}}\right) \approx 0,3\).\\
On note dans toute la suite \(H\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(\left\{\begin{array}{l}H(x)=e^{-\frac{1}{x}} \Phi(x) \text { si } x \neq 0 \\ H(0)=0\end{array}\right.\)\\
3. (a) Etablir les résultats suivants :

\[
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\>}} H(x)=0, \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\<}} H(x)=+\infty, \lim _{x \rightarrow+\infty} H(x)=1, \lim _{x \rightarrow-\infty} H(x)=0 .
\]

(b) Justifier que \(H\) est de classe \(C^{1}\) sur \(\mathbb{R}^{*}\) et que \(H\) est continue à droite en 0.\\
(c) Montrer que pour tout réel \(x>0, H^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}} e^{-\frac{1}{x}} \Phi(x)+\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{x}-\frac{1}{2} x^{2}}\). Justifier \(\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\>}} \frac{1}{x^{2}} e^{-\frac{1}{x}}=0\).\\
En déduire que \(H\) est dérivable à droite en 0 et que \(H_{d}^{\prime}(0)=0\).\\
(d) Etudier les variations de \(H\) et tracer l'allure de la courbe de \(H\) dans un repère orthonormé.\\
(On fera apparaître les caractéristiques étudiées, et on utilisera \(H(1) \approx 0,3\) )

\section*{EXERCICE 3}
\section*{Les parties \(\mathbf{A}\) et \(\mathbf{B}\) sont indépendantes .}
Un joueur A dispose d'une pièce qui a la propriété de faire PILE avec la probabilité \(\frac{1}{3}\).\\
Un joueur B dispose d'une pièce qui a la propriété de faire PILE avec la probabilité \(p \in] 0 ; 1[\).\\
Les résultats des lancers de ces pièces seront toujours supposés indépendants.

\section*{PARTIE A}
Dans cette partie on effectue le jeu suivant :\\
Les joueurs A et B lancent leur pièce simultanément jusqu'à ce qu'au moins une des deux pièces donne PILE.\\
Si A et B font PILE simultanément, le jeu s'arrête sans que personne n'ait gagné d'argent.\\
Sinon, le premier à obtenir PILE s'arrête et l'autre continue ses lancers jusqu'à obtenir PILE également et paye un euro à son adversaire à chacun des lancers de cette série " en solitaire " .

Par exemple si A a obtenu PILE pour la première fois à son \(7^{\circ}\) lancer et si B a obtenu PILE pour la première fois à son \(11^{\circ}\) lancer, c'est B qui doit payer à A la somme de 4 euros.

On note \(X\) la variable aléatoire réelle égale au nombre de lancers effectués par le joueur A, \(Y\) la variable aléatoire réelle égale au nombre de lancers effectués par le joueur B et \(Z=Y-X\).

\begin{enumerate}
  \item Justifier que les variables \(X\) et \(Y\) suivent des lois géométriques dont on donnera le paramètre .
\end{enumerate}

Préciser \(X(\Omega), Y(\Omega)\) et les valeurs de \(P(X=k), P(Y=k), E(X), E(Y), V(X), V(Y)\).\\
2. (a) Montrer que \(E(Z)=\frac{1-3 p}{p}\) et \(V(Z)=\frac{6 p^{2}-p+1}{p^{2}}\).\\
(b) Montrer que \(\sum_{k=1}^{+\infty} P(X=k) P(Y=k)=\frac{p}{1+2 p}\) et en déduire \(P(Z=0)\).\\
(c) Soit \(n \in N^{*}\). Montrer que \(P(Z=n)=\frac{p}{1+2 p}(1-p)^{n}\) et en déduire \(P(Z>0)\).

En déduire \(P(Z<0)\) puis interpréter les événements \((Z=0),(Z>0),(Z<0)\).

\section*{PARTIE B}
On veut d'abord programmer en Turbo-Pascal le lancer simultané des deux pièces par les joueurs A et B .

\begin{enumerate}
  \item En utilisant la fonction random, recopier et compléter la fonction suivante pour qu'elle simule ce lancer simultané et renvoie 0 si les résultats de A et B sont identiques et 1 s'ils sont différents.
\end{enumerate}

\begin{verbatim}
function lancer(p : real): integer;
var A,B:char;
begin
    if ( ............................... ) then A:= 'P' else A:= 'F';
    if ( ............................... ) ) then B:= 'P' else B:= 'F';
    if ( .............................. ) then lancer := 0 else lancer := 1;
end;
\end{verbatim}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Montrer que la probabilité que les lancers de A et B soient différents est \(\frac{1+p}{3}\).
\end{enumerate}

On procède alors au jeu suivant : ( \(N\) est un entier naturel fixé non nul ).\\
Les joueurs A et B lancent leur pièce simultanément \(N\) fois de suite\\
Le joueur B paye un euro à A à chaque fois que les pièces n'affichent pas le même résultat.\\
On note \(H_{N}\) la variable aléatoire égale à la somme payée par le joueur B au joueur A .\\
3. Justifier que \(H_{N}\) suit une loi classique que l'on détaillera.\\
4. Montrer que \(\left(\frac{3 H_{N}}{N}-1\right)\) est un estimateur sans biais du réel \(p\) et déterminer son risque quadratique.


\end{document}