\documentclass[10pt]{article}
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\begin{document}
\section*{E.S.C.P Eco III 2000 Maths 3}
\section*{Exercice 1}
Dans tout l'exercice, \(\alpha\) désigne un paramètre réel. On considère la matrice

\[
A_{\alpha}=\left(\begin{array}{ccc}
-1 & 2-\alpha & -\alpha \\
-\alpha & 1 & -\alpha \\
2 & \alpha-2 & \alpha+1
\end{array}\right)
\]

et on note \(\phi_{\alpha}\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) représenté par \(A_{\alpha}\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\).

\begin{enumerate}
  \item a) Montrer que, quelque soit \(\alpha\), l'endomorphisme \(\phi_{\alpha}\) admet la valeur propre 1 .\\
b) On note \(E_{1}(\alpha)\) le sous espace propre de \(\phi_{\alpha}\) associé à la valeur propre 1 . Déterminer, suivant les valeurs de \(\alpha\), une base de \(E_{1}(\alpha)\).
  \item On considère les vecteurs
\end{enumerate}

\[
f_{1}=(1,1,-1) \quad \text { et } \quad f_{2}=(1,1,-2)
\]

et on note \(F_{1}\) le sous espace de \(\mathbb{R}^{3}\) engendré par \(f_{1}\) et \(f_{2}\).\\
a) Montrer que ( \(f_{1}, f_{2}\) ) est une base de \(F_{1}\).\\
b) Montrer que l'image par \(\phi_{\alpha}\) de tout vecteur de \(F_{1}\) appartient à \(F_{1}\).\\
c) Soit \(\widehat{\phi_{\alpha}}\) l'endomorphisme de \(F_{1}\) induit par \(\phi_{\alpha}\), c'est à dire vérifiant, pour tout vecteur \(V\) de \(F_{1}, \widehat{\phi_{\alpha}}(V)=\phi_{\alpha}(V)\).\\
Donner la matrice de \(\widehat{\phi_{\alpha}}\) dans la base \(\left(f_{1}, f_{2}\right)\) de \(F_{1}\).\\
3. Montrer que, pour tout réel \(\alpha\), l'endomorphisme \(\phi_{\alpha}\) admet la valeur propre \(\alpha-1\) et que l'on peut trouver un vecteur \(f_{3}\) de \(\mathbb{R}^{3}\) ne dépendant pas de \(\alpha\), qui soit, pour tout réel \(\alpha\), vecteur propre de \(\phi_{\alpha}\) associé à la valeur propre \(\alpha-1\).\\
4. a) Montrer que ( \(f_{1}, f_{2}, f_{3}\) ) est une base de \(\mathbb{R}^{3}\). Donner la matrice de \(\phi_{\alpha}\) dans cette base.\\
b) Pour quelles valeurs du paramètre \(\alpha\) l'endomorphisme \(\phi_{\alpha}\) est-il diagonalisable ?

\section*{Exercice 2}
\section*{I. Etude d'une suite vérifiant une relation de récurrence linéaire}
Etant donné un paramètre réel \(\alpha>0\), on note \(\mathcal{E}\) l'espace vectoriel des suites \(U=\left(u_{n}\right)_{n \geq 0}\) de réels qui vérifient, pour tout \(n\) positif, la relation

\[
u_{n+2}=\alpha\left(u_{n+1}+u_{n}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que l'on peut trouver deux réels \(r\) et \(s\), avec \(r<s\), tels que les suites \(R=\left(r_{n}\right)_{n \geq 0}\) et \(S=\left(s_{n}\right)_{n \geq 0}\) forment une base de l'espace vectoriel \(\mathcal{E}\). Exprimer \(r\) et \(s\) en fonction de \(\alpha\) et comparer \(|r|\) et \(|s|\).
  \item Etant donné un élément \(U=\left(u_{n}\right)_{n \geq 0}\) de \(\mathcal{E}\) s'écrivant \(U=a R+b S\) avec \((a, b) \in \mathbb{R}^{2}\), donner l'expression de \(a\) et \(b\) en fonction de \(u_{0}\) et \(u_{1}\).
  \item On suppose, dans cette question, que l'on a \(\quad 0<\alpha<\frac{1}{2}\). Soit \(U=\left(u_{n}\right)_{n \geq 0}\) un élément de \(\mathcal{E}\).\\
a) Montrer que la suite \(U\) converge vers 0 .\\
b) Si \(u_{1}-u_{0} r\) n'est pas nul, montrer qu'il existe un indice \(n_{0}\) tel que, pour \(n>n_{0}, u_{n}\) ne s'annule pas et garde un signe constant et que l'on a
\end{enumerate}

\[
\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left|u_{n}\right|}{n}=\ln s
\]

c) Montrer que si, au contraire, \(u_{1}-u_{0} r\) est nul et si la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geq 0}\) n'est pas identiquement nulle, alors, pour tout entier \(n\) positif, \(u_{n}\) et \(u_{n+1}\) sont de signes contraires. Quel équivalent peut-on donner, dans ce cas, de \(\ln \left|u_{n}\right|\) ?\\
4. On suppose, dans cette question, que l'on a \(\frac{1}{2}<\alpha\).

A quelle condition sur \(u_{0}\) et \(u_{1}\) l'élément \(U=\left(u_{n}\right)_{n \geq 0}\) de \(\mathcal{E}\) est-il une suite bornée? Montrer que les éléments de \(\mathcal{E}\) qui sont des suites bornées forment un sous espace vectoriel de \(\mathcal{E}\) dont on précisera la dimension.

\section*{II. Etude d'une récurrence non linéaire}
Soit \(\beta\) un réel strictement positif. On note \(m=\min (1, \beta)\) le plus petit des nombres 1 et \(\beta\) et \(M=\max (1, \beta)\) le plus grand de ces deux nombres.\\
On considère la suite \(V=\left(v_{n}\right)_{n \geq 0}\) vérifiant \(v_{0}=0, v_{1}=\beta\) et, pour tout \(n\) positif, la relation

\[
v_{n+2}=\sqrt{v_{n+1}}+\sqrt{v_{n}}
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer, pour tout \(n\) strictement ppsitif, l'inégalité \(m \leq v_{n} \leq 4 M\).
  \item Montrer que si la suite \(V\) admet une limite, cette limite est nécessairement égale à 4 .
\end{enumerate}

On se propose de montrer que, pour tout \(\beta\) strictement positif, la suite \(V\) admet effectivement pour limite 4 .\\
3. Montrer, pour tout \(n\) positif, l'inégalité

\[
\left|v_{n+2}-4\right| \leq \frac{\left|v_{n+1}-4\right|}{\sqrt{v_{n+1}}+2}+\frac{\left|v_{n}-4\right|}{\sqrt{v_{n}}+2}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item On pose \(\alpha=\frac{1}{\sqrt{m}+2}\) et on considère la suite \(U=\left(u_{n}\right)_{n \geq 0}\) vérifiant la relation de récurrence linéaire \(u_{n+2}=\alpha\left(u_{n+1}+u_{n}\right)\) et les conditions initiales \(u_{0}=\left|v_{1}-4\right|\) et \(u_{1}=\left|v_{2}-4\right|\). Montrer que, pour tout \(n\) strictement positif, \(\left|v_{n}-4\right| \leq u_{n-1}\).
  \item En conclusion, montrer à l'aide des résultats de la première partie que la suite \(V\) converge vers 4.
  \item Ecrire un programme en Turbo-Pascal qui lise un entier \(N\) et un réel \(\beta\) et qui affiche, en sortie, les \(N\) premiers termes de la suite \(V\).
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}
Sachant qu'un appareil a fonctionné correctement pendant un certaine durée \(x\), on s'intéresse à la probabilité qu'il continue à bien fonctionner pendant encore au moins une durée \(y\). Pour cela on convient de représenter la durée de vie de ce type d'appareil par une variable aléatoire réelle \(X\) définie sur un espace probabilisé dont on notera la probabilité \(\mathbf{P}\). L'exercice a pour objet l'étude de quelques fonctions liées à cette durée de vie.\\
I. On suppose d'abord que \(X\) prend ses valeurs dans \(N^{*}\) et que, pour tout \(n\) de \(N^{*}\), \(P(X=n)\) n'est pas nul.

On pose, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\),

\[
p_{n}=\mathbf{P}(X=n), \quad G_{n}=\mathbf{P}(X \geq n)=\sum_{k=n}^{\infty} p_{k} \quad \text { et } \quad Z_{n}=\frac{p_{n}}{G_{n}}
\]

\begin{enumerate}
  \item Justifier les inégalités \(0<p_{n}<G_{n} \leq 1\) et \(0<Z_{n}<1\).
  \item Soit \(n\) un entier naturel. Etablir l'égalité \(\mathbf{P}(X \geq n+1 / X \geq n)=1-Z_{n}\).
  \item a) Montrer que la suite \((\mathbf{P}(X \geq n+1 / X \geq n))_{n \geq 0}\) est constante si et seulement si la suite \(\left(Z_{n}\right)_{n \geq 0}\) est constante.\\
b) Vérifier que les conditions précédentes sont réalisées dans le cas où la loi de \(X\) est une loi géométrique.\\
c) Réciproquement, on suppose qu'il existe une constante \(p\) appartenant à \(] 0,1[\) telle que la suite \(\left(Z_{n}\right)_{n \geq 0}\) soit la suite constante égale à \(p\). Montrer par récurrence que \(X\) suit une loi géométrique.
  \item Montrer que si, pour tout entier \(m\) de \(\mathbb{N}^{*}\), la suite \(\left(\frac{p_{n+m}}{p_{n}}\right)_{n e 0}\) est décroissante, alors la suite \(\left(Z_{n}\right)_{n \geq 0}\) est croissante et la suite \((\mathbf{P}(X \geq n+1 / X \geq n))_{n \geq 0}\) est décroissante. (On dit alors qu'il y a vieillissement de l'appareil dont \(X\) est la durée de vie.)
\end{enumerate}

\section*{II. On suppose maintenant que la variable aléatoire \(X\) prend ses valeurs dans \(R^{+*}\) et admet une densité \(f\) continue et strictement positive sur \(R^{+*}\).}
On pose, pour tout réel strictement positif \(x\),

\[
G(x)=\int_{x}^{+\infty} f(t) d t \quad \text { et } \quad Z(x)=\frac{f(x)}{G(x)}
\]

\begin{enumerate}
  \item a) Si \(x\) et \(y\) sont des réels strictement positifs, on pose \(H(x, y)=\frac{G(x+y)}{G(x)}\). Montrer que l'on a alors, pour tout couple \((x, y)\) de \(\mathbb{R}^{+*}\), l'égalité :
\end{enumerate}

\[
\frac{\partial H}{\partial x}(x, y)=\frac{G(x+y)}{G(x)}(Z(x)-Z(x+y))
\]

b) Montrer que la fonction \(x \mapsto Z(x)\) est une fonction croissante sur \(\mathbb{R}^{+*}\) si et seulement si, pour tout réel \(y\) strictement positif fixé, la fonction \(x \mapsto \mathbf{P}(X \geq x+y / X \geq x)\) est une fonction décroissante.\\
2. a) Montrer que si la loi de \(X\) est une loi exponentielle, alors la fonction \(Z\) est constante.\\
b) Réciproquement, montrer que si \(Z\) est la fonction constante égale au réel strictement positif \(\lambda\), alors la fonction \(x \mapsto e^{\lambda x} G(x)\) est constante. Quelle est alors la loi de \(X\) ?


\end{document}