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\title{E.S.C.P. - E.A.P. \\
 CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{OPTION ECONOMIQUE}
\section*{MATHEMATIQUES III}
Jeudi 10 Mai 2001, de 8h. à 12h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

\section*{EXERCICE I}
A. On considère la matrice \(A\) définie par :

\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
-1 & -1 & 2 \\
1 & 2 & -1 \\
-2 & -1 & 3
\end{array}\right)
\]

et on note \(\varphi\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) représenté par \(A\) dans la base canonique.

\begin{enumerate}
  \item a) Montrer que \(A\) admet les valeurs propres 1 et 2 et n'en admet pas d'autre.
\end{enumerate}

Déterminer les sous-espaces propres \(E_{1}\) et \(E_{2}\) associés à ces valeurs propres.\\
b) La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?\\
2. Soit \(V\) un vecteur propre de \(A\) associé à la valeur propre 1. Trouver un vecteur \(W\) de \(\mathbb{R}^{3}\) tel que \(\varphi(W)=V+W\).\\
3. Soit \(U\) un vecteur propre de \(A\) associé à la valeur propre 2 . Montrer que la famille \((U, V, W)\) est une base de \(\mathbb{R}^{3}\).\\
4. Déterminer la matrice \(B\) représentant l'endomorphisme \(\varphi\) dans la base ( \(U, V, W\) ) ainsi qu'une matrice inversible \(P\) telle qu'on ait l'égalité \(B=P^{-1} A P\).\\
B. Étant données les matrices

\[
I=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right), \quad H=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right), \quad N=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)
\]

on associe à tout élément ( \(a, b, c\) ) de \(\mathbb{R}^{3}\) la matrice \(C_{(a, b, c)}\) définie par:

\[
C_{(a, b, c)}=a I+b H+c N
\]

On note \(\mathcal{M}\) l'ensemble des matrices \(C_{(a, b, c)}\), où ( \(a, b, c\) ) décrit \(\mathbb{R}^{3}\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(\mathcal{M}\) est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel \(M_{3}(\mathbb{R})\) des matrices carrées d'ordre 3 et déterminer sa dimension.
  \item Vérifier que la matrice \(B\) définie dans la question A. 4 appartient à \(\mathcal{M}\).
  \item Préciser les conditions que doivent vérifier les nombres \(a, b\) et \(c\) pour que la matrice \(C_{(a, b, c)}\) soit inversible. Déterminer, quand elle existe, sa matrice inverse.
  \item Déterminer les valeurs propres de \(C_{(a, b, c)}\).
\end{enumerate}

Montrer que cette matrice est diagonalisable si et seulement si \(c\) est nul.

\section*{EXERCICE II}
A. On considère la fonction \(G\) de deux variables réelles définie, pour tout \(x\) et tout \(y\) strictement positifs, par :

\[
G(x, y)=\frac{x^{2}}{2 y^{2}}-\ln x+y-\frac{3}{2}
\]

\begin{enumerate}
  \item Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 et 2 de la fonction \(G\).
  \item Rechercher les extremums éventuels de la fonction \(G\) dans le domaine \(] 0, \infty[\times] 0, \infty[\).\\
B. On considère maintenant la fonction \(f\) définie, pour tout \(x\) strictement positif, par :
\end{enumerate}

\[
f(x)=G(x, 1)=\frac{x^{2}}{2}-\ln x-\frac{1}{2}
\]

\begin{enumerate}
  \item Étudier les variations de \(f\). Montrer que c'est une fonction convexe. Donner sa représentation graphique.
  \item a) Calculer une primitive de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(] 0,+\infty[\).\\
b) En déduire que l'intégrale \(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\) existe et calculer sa valeur.
  \item Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 2 . On pose : \(S_{n}=\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} f\left(\frac{j}{n}\right)\).\\
a) Établir, pour tout entier \(j\) vérifiant \(1 \leq j<n\), les inégalités :
\end{enumerate}

\[
\frac{1}{n} f\left(\frac{j+1}{n}\right) \leq \int_{\frac{j}{n}}^{\frac{j+1}{n}} f(x) \mathrm{d} x \leq \frac{1}{n} f\left(\frac{j}{n}\right)
\]

b) En déduire l'encadrement

\[
\int_{\frac{1}{n}}^{1} f(x) \mathrm{d} x \leq S_{n} \leq \frac{1}{n} f\left(\frac{1}{n}\right)+\int_{\frac{1}{n}}^{1} f(x) \mathrm{d} x
\]

c) Montrer les inégalités :

\[
0 \leq \frac{1}{n} f\left(\frac{1}{n}\right) \leq \int_{0}^{\frac{1}{n}} f(x) \mathrm{d} x
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item On considère la suite \(\left(S_{n}\right)_{n \geq 2}\) où, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 2 , \(S_{n}\) est défini comme dans la question précédente. Montrer que cette suite converge et déterminer sa limite.
  \item On rappelle que, pour tout entier naturel non nul \(n\), on a l'égalité : \(\sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\).\\
a) Exprimer, pour tout entier naturel non nul \(n\), la somme \(\sum_{j=1}^{n} f\left(\frac{j}{n}\right)\) en fonction de \(n\).\\
b) En déduire la limite : \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n} \ln \left(\frac{n^{n}}{n!}\right)\).
\end{enumerate}

\section*{EXERCICE III}
\section*{A. Préliminaire}
Montrer, pour tout entier naturel non nul \(n\), l'égalité : \(\sum_{k=1}^{n} k^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}\).\\
B. Soit \(N\) un entier supérieur ou égal à 2 .

Une urne contient \(N\) boules dont \(N-2\) sont blanches et 2 sont noires. On tire au hasard, successivement et sans remise, les \(N\) boules de cette urne.\\
Les tirages étant numérotés de 1 à \(N\), on note \(X_{1}\) la variable aléatoire égale au numéro du tirage qui a fourni, pour la première fois, une boule noire et \(X_{2}\) la variable aléatoire égale au numéro du tirage qui a fourni, pour la deuxième fois, une boule noire.

\begin{enumerate}
  \item Préciser l'espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P}\) ) que l'on peut utiliser pour modéliser cette expérience aléatoire.
  \item Soit \(i\) et \(j\) deux entiers de l'intervalle \([1, N]\). Montrer que l'on a
\end{enumerate}

\[
\mathbf{P}\left(X_{1}=i, X_{2}=j\right)=\left\{\begin{array}{ccc}
0 & \text { si } & 1 \leq j \leq i \leq N \\
\frac{2}{N(N-1)} & \text { si } & 1 \leq i<j \leq N
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Déterminer les lois de probabilité des variables aléatoires \(X_{1}\) et \(X_{2}\). Ces variables sont-elles indépendantes?
  \item a) Montrer que la variable aléatoire \(N+1-X_{2}\) a la même loi que \(X_{1}\).\\
b) Déterminer la loi de la variable aléatoire \(X_{2}-X_{1}\) et la comparer à la loi de \(X_{1}\).
  \item À l'aide des résultats de la question 4 :\\
a) Calculer les espérances \(\mathrm{E}\left(X_{1}\right)\) et \(\mathrm{E}\left(X_{2}\right)\).\\
b) Montrer l'égalité des variances \(\mathrm{V}\left(X_{1}\right)\) et \(\mathrm{V}\left(X_{2}\right)\).\\
c) Établir la relation : \(2 \operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{2}\right)=\mathrm{V}\left(X_{1}\right)\), où \(\operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{2}\right)\) désigne la covariance des variables aléatoires \(X_{1}\) et \(X_{2}\).
  \item Calculer \(\mathrm{V}\left(X_{1}\right)\); en déduire \(\mathrm{V}\left(X_{2}\right)\) et \(\operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{2}\right)\).\\
C. Dans cette partie, \(N\) désigne encore un entier supérieur ou égal à 2 .
  \item On considère le programme Turbo-Pascal suivant, où RANDOM(10) désigne un nombre entier tiré au hasard par l'ordinateur dans l'intervalle [ 0,9 ] (la procédure RANDOMIZE sert à initialiser la fonction RANDOM) :\\
PROGRAM Tirage;\\
VAR\\
a,b,c: INTEGER;\\
BEGIN\\
RANDOMIZE ;\\
\(\mathrm{a}:=\operatorname{RANDOM}(10)+1\);\\
b:= RANDOM(10)+1;\\
IF a \(\geq \mathrm{b}\) THEN\\
BEGIN\\
\(\mathrm{c}:=\mathrm{a} ; \mathrm{a}:=\mathrm{b} ; \mathrm{b}:=\mathrm{c}\);\\
END ;\\
IF a < b WRITELN('(',a,',',b,')');\\
END.\\
a) Que fait l'ordinateur dans le cas où les variables \(a\) et \(b\) contiennent toutes les deux le même nombre?\\
b) Qu'affiche l'ordinateur dans le cas où les variables \(a\) et \(b\) contiennent respectivement les nombres 3 et 5 ?\\
c) Qu'affiche l'ordinateur dans le cas où les variables \(a\) et \(b\) contiennent respectivement les nombres 10 et 1 ?
  \item On suppose que \(A\) et \(B\) sont deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P}\) ), indépendantes, suivant la même loi uniforme sur l'ensemble \(\{1,2, \ldots, N\}\) et on désigne par \(D\) l'événement : " \(A\) ne prend pas la même valeur que \(B\) ".\\
a) Montrer que la probabilité de l'événement \(D\) est \(\frac{N-1}{N}\).\\
b) Soit \(Y_{1}\) et \(Y_{2}\) les variables aléatoires définies par: \(\left\{\begin{array}{l}Y_{1}=\min (A, B) \\ Y_{2}=\max (A, B)\end{array}\right.\)
\end{enumerate}

Calculer, pour tout couple \((i, j)\) d'éléments de l'ensemble \(\{1,2, \ldots, N\}\), la probabilité conditionnelle \(\mathbf{P}\left(\left[Y_{1}=i, Y_{2}=j\right] / D\right)\).\\
3. Expliquer pourquoi le programme de la question 1 permet de simuler les variables aléatoires \(X_{1}\) et \(X_{2}\) de la partie \(\mathbf{B}\), dans le cas où \(N\) est égal à 10 .


\end{document}