\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{bbold}

\title{CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
E.S.C.P. - E.A.P.

\section*{OPTION ECONOMIQUE}
\section*{MATHEMATIQUES III}
\section*{Mardi 14 Mai 2002, de 8 h. à 12 h.}
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

\section*{EXERCICE}
On désigne par \(I, O, J\) et \(A\) les matrices carrées d'ordre 3 suivantes :

\[
I=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right), \quad O=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right), \quad J=\left(\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right), \quad A=\left(\begin{array}{ccc}
-3 & 1 & 1 \\
1 & -3 & 1 \\
1 & 1 & -3
\end{array}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \item a) Écrire la matrice \(A\) comme combinaison linéaire des matrices \(I\) et \(J\), puis la matrice \(J\) comme combinaison linéaire des matrices \(A\) et \(I\).\\
b) Exprimer \(J^{2}\) en fonction de \(J\) et en déduire que la matrice \(A\) vérifie l'égalité \(A^{2}+5 A+4 I=O\).\\
c) Montrer que la matrice \(A\) est inversible et exprimer son inverse \(A^{-1}\) en fonction des matrices \(I\) et \(J\).
  \item a) Soit \(U\) la matrice-colonne \(\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)\). Calculer le produit matriciel \(J U\).
\end{enumerate}

En déduire une valeur propre de la matrice \(J\).\\
b) Montrer que 0 est valeur propre de \(J\) et donner une base du sous-espace propre associé.\\
c) La matrice \(J\) est-elle inversible? La matrice \(J\) est-elle diagonalisable?\\
3. a) Soit \(X\) une matrice-colonne non nulle à trois éléments et \(\lambda\) un réel vérifiant \(J X=\lambda X\). Montrer qu'il existe un réel \(\mu\) que l'on donnera en fonction de \(\lambda\) vérifiant \(A X=\mu X\).\\
b) En déduire que \(A\) est diagonalisable et que ses valeurs propres sont -1 et -4 .\\
c) Sans expliciter la matrice \(A^{-1}\), calculer ses valeurs propres et montrer qu'elle est diagonalisable.\\
4. Soit a un paramètre réel et \(F_{a}\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^{2}\) par :

\[
F_{a}(x, y)=\left(\begin{array}{lll}
x & y & a
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
-3 & 1 & 1 \\
1 & -3 & 1 \\
1 & 1 & -3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
a
\end{array}\right)
\]

a) Vérifier que cette fonction est de classe \(C^{1}\) sur \(\mathbb{R}^{2}\) et calculer ses dérivées partielles d'ordre 1 en tout point \((x, y)\) de \(\mathbb{R}^{2}\).\\
b) Montrer qu'il existe un unique point \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) de \(\mathbb{R}^{2}\), que l'on précisera, en lequel les dérivées partielles d'ordre 1 de \(F_{a}\) sont nulles. Calculer \(F_{a}\left(x_{0}, y_{0}\right)\).\\
c) Calculer, pour tout couple \((x, y)\) de \(\mathbb{R}^{2}\), le nombre : \(G_{a}(x, y)=F_{a}(x, y)+\frac{1}{3}(3 x-y-a)^{2}+2 a^{2}\) et préciser son signe.\\
d) En déduire que la fonction \(F_{a}\) admet un unique extremum sur \(\mathbb{R}^{2}\). Préciser s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum et donner sa valeur notée \(M(a)\).\\
e) Montrer que la fonction \(M\) qui, à tout réel \(a\) associe le nombre \(M(a)\), admet un unique extremum que l'on précisera. Que peut-on en conclure?

\section*{PROBLÈME}
Pour toutes suites numériques \(u=\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) et \(v=\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{I}}\), on définit la suite \(u * v=w\) par :

\[
\forall n \in \mathbb{N}, w_{n}=\sum_{k=0}^{n} u_{k} v_{n-k}
\]

\section*{Partie 1 : Exemples}
\section*{1. Premiers exemples}
Pour tout entier naturel \(n\), calculer \(w_{n}\) en fonction de \(n\) dans chacun des cas suivants :\\
a) pour tout entier naturel \(n, u_{n}=2\) et \(v_{n}=3\).\\
b) pour tout entier naturel \(n, u_{n}=2^{n}\) et \(v_{n}=3^{n}\).\\
c) pour tout entier naturel \(n, u_{n}=\frac{2^{n}}{n!}\) et \(v_{n}=\frac{3^{n}}{n!}\).

\section*{2. Programmation}
Dans cette question, les suites \(u\) et \(v\) sont définies par : \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n}=\ln (n+1)\) et \(v_{n}=\frac{1}{n+1}\).\\
Écrire un programme en Turbo-Pascal qui demande à l'utilisateur une valeur de l'entier naturel \(n\), qui calcule et affiche les valeurs \(w_{0}, w_{1}, \ldots, w_{n}\).

\section*{3. Un résultat de convergence}
Dans cette question, la suite \(u\) est définie par: \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\) et \(v\) cst une suite de récls positifs, décroissante à partir du rang 1 et de limite nulle.\\
a) Établir, pour tout couple d'entiers naturels \((n, m)\) vérifiant \(n<m\), l'inégalité : \(\quad \sum_{k=n+1}^{m} u_{k} \leqslant u_{n}\).\\
b) Soit n un entier strictement supérieur à 1. Prouver les inégalités :

\[
w_{2 n} \leqslant v_{0} u_{2 n}+2 v_{n}+v_{1} u_{n} \quad \text { et } \quad w_{2 n+1} \leqslant v_{0} u_{2 n+1}+2 v_{n+1}+v_{1} u_{n}
\]

c) En déduire que les deux suites \(\left(w_{2 n}\right)_{n \in \Pi!}\) et \(\left(w_{2 n+1}\right)_{n \in \Pi}\) convergent vers 0 . La suite \(\left(w_{n}\right)_{n \in \Pi}\) converge donc, elle aussi, vers 0 .\\
d) Soit \(b\) la suite définie par: \(\forall n \in \mathbb{N}, b_{n}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\). À l'aide de la question précédente, montrer que la suite \(b * v\) est convergente et de limite nulle.

\section*{Partie 2 : Application à l'étude d'un ensemble de suites}
Dans cette partie, \(A\) désigne l'ensemble des suites \(a=\left(a_{n}\right)_{n \in \Pi}\) de réels positifs vérifiant :

\[
\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad a_{n+1} \leqslant \frac{1}{2}\left(a_{n}+a_{n-1}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que toute suite décroissante de réels positifs est élément de \(A\) et qu'une suite strictement croissante ne peut appartenir à \(A\).
  \item Soit \(z=\left(z_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite réelle vérifiant : \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, z_{n+1}=\frac{1}{2}\left(z_{n}+z_{n-1}\right)\).\\
a) Montrer qu'il existe deux constantes réelles \(\alpha\) et \(\beta\) telles que l'on a :
\end{enumerate}

\[
\forall n \in \mathbb{N}, z_{n}=\alpha+\beta\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}
\]

b) En déduire qu'il existe des suites appartenant à \(A\) et non monotones.\\
3. Soit \(a=\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{I}}\) un élément de \(A\) et \(b\) la suite définie par : \(\forall n \in \mathbb{N}, b_{n}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\).

On définit alors la suite \(c\) par : \(\quad c_{0}=a_{0}\) et \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, c_{n}=a_{n}+\frac{1}{2} a_{n-1}\).\\
a) Montrer que la suite \(c\) est décroissante à partir du rang 1 et qu'elle converge vers un nombre \(\ell\) que l'on ne cherchera pas à calculer.\\
b) Pour tout entier naturel \(n\), établir l'égalité : \(\sum_{k=0}^{n}\left(-\frac{1}{2}\right)^{k} c_{n-k}=a_{n}\).

Que peut-on en déduire pour les suites \(b * c\) et \(a\) ?\\
c) Soit \(\varepsilon\) la suite définie par : \(\forall n \in \mathbb{N}, \varepsilon_{n}=c_{n}-\ell\). Montrer que la suite \(b * \varepsilon\) converge vers 0 .\\
d) On désigne par \(d\) la suite \(b * \varepsilon\).

Pour tout entier naturel \(n\), établir l'égalité : \(d_{n}=a_{n}-\frac{2}{3} \ell\left(1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right)\).\\
En déduire que la suite a converge et préciser sa limite.

\section*{Partie 3 : Application aux variables aléatoires}
Dans cette partie, toutes les variables aléatoires envisagées sont supposées définies sur le même espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P}\) ).

\section*{1. Résultats préliminaires}
On suppose que \(X\) et \(Y\) sont deux variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans \(\mathbb{N}\) et on désigne par \(S\) leur somme.\\
a) Pour tout entier naturel \(n\), on pose : \(u_{n}=\mathbf{P}([X=n])\) et \(v_{n}=\mathbf{P}([Y=n])\).

Montrer que l'on a: \(\forall n \in \mathbb{N}, \mathbf{P}([S=n])=w_{n}\), ( \(w\) étant la suite définie à partir des suites \(u\) et \(v\) en tête du problème).\\
b) Retrouver alors le résultat de la question 1.c) de la Partie 1 par un choix adéquat des lois de \(X\) et de \(Y\).\\
c) Pour toute variable aléatoire \(Z\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\), on note \(2^{-Z}\) la variable aléatoire prenant, pour tout entier naturel \(n\), la valeur \(2^{-n}\) si et seulement si l'événement [ \(Z=n\) ] est réalisé. Montrer que la variable aléatoire \(2^{-Z}\) admet une espérance donnée par:

On note \(r(Z)\) cette espérance.

\[
\mathrm{E}\left(2^{-Z}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \mathbf{P}([Z=n])\left(\frac{1}{2}\right)^{n}
\]

d) Que peut-on dire des variables aléatoires \(2^{-X}\) et \(2^{-Y}\) ?

En déduire l'égalité : \(\quad r(S)=r(X) r(Y)\).\\
e) On suppose que \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathrm{I} \text { !* }}\) est une suite de variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans \(\mathbb{N}\) et de méme loi. Pour tout entier naturel non nul \(q\). on désigne par \(S_{q}\) la variable aléatoire définie par : \(\quad S_{q}=\sum_{i=1}^{q} X_{i}\). Établir l'égalité : \(r\left(S_{q}\right)=\left(r\left(X_{1}\right)\right)^{q}\).

\section*{2. Une formule sommatoire}
a) Montrer que les égalités : \(\forall n \in \mathbb{N}, \mathbf{P}([Z=n])=\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\) définissent la loi de probabilité d'une variable aléatoire \(Z\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\). Calculer alors le nombre \(r(Z)\).\\
b) On suppose que \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) * est une suite de variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans \(\mathbb{N}\), de même loi que \(Z\) et, pour tout entier naturel non nul \(q\), on désigne encore par \(S_{q}\) la variable :

\[
S_{q}=\sum_{i=1}^{q} X_{i}
\]

En admettant, pour tout entier naturel non nul \(q\), l'égalité \(\sum_{k=0}^{n} C_{k+q}^{q}=C_{n+q+1}^{q+1}\), montrer par récurrence que la loi de \(S_{q}\) est donnée par :

\[
\forall n \in \mathbb{N}, \mathbf{P}\left(\left[S_{q}=n\right]\right)=C_{n+q-1}^{q-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{n+q}
\]

c) Pour tout entier naturel non nul \(q\), calculer le nombre \(r\left(S_{q}\right)\) et en déduire la relation :

\[
\sum_{n=0}^{\infty} C_{n+q-1}^{q-1}\left(\frac{1}{4}\right)^{n}=\left(\frac{4}{3}\right)^{q}
\]

\section*{3. Un exemple concret}
On admet, dans cette question, que la variable aléatoire \(Z\) définie à la question 2.a) représente le nombre de petits devant naître en 2003 d'un couple de kangourous. Chaque petit kangourou a la même probabilité \(\frac{1}{2}\) d'être mâle ou femelle, indépendamment des autres. On note \(F\) la variable aléatoire égale au nombre de femelles devant naître en 2003.\\
a) Préciser, pour tout entier naturel \(n\), la loi conditionnelle de \(F\) sachant \([Z=n]\).\\
b) À l'aide de la formule obtenue en 2.c, montrer que la loi de \(F\) est donnée par :

\[
\forall n \in \mathbb{N}, \mathbf{P}([F=n])=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}
\]

c) Justifier l'existence des espérances \(\mathrm{E}(Z)\) et \(\mathrm{E}(F)\) des variables aléatoires \(Z\) et \(F\), puis vérifier l'égalité : \(\mathrm{E}(Z)=2 \mathrm{E}(F)\).


\end{document}