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\begin{document}
\section*{ESCP-EAP}
\section*{OPTION ÉCONOMIQUE}
\section*{MATHÉMATIQUES III}
Jeudi 15 mai 2003 , de 8 h à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

\section*{EXERCICE}
Soit \(a, b\) deux entiers naturels non nuls et \(s\) leur somme.\\
Une urne contient initialement \(a\) boules noires et \(b\) boules blanches indiscernables au toucher.\\
On effectue dans cette urne une suite infinie de tirages au hasard d'une boule selon le protocole suivant :

\begin{itemize}
  \item si la boule tirée est blanche, elle est remise dans l'urne ;
  \item si la boule tirée est noire, elle est remplacée dans l'urne par une boule blanche prise dans une réserve annexe.\\
Avant chaque tirage, l'urne contient donc toujours \(s\) boules.\\
On désigne par ( \(\Omega, \mathcal{B}, \mathbf{P}\) ) un espace probabilisé qui modélise cette expérience et, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note :
  \item \(B_{n}\) l'événement << la \(n\)-ième boule tirée est blanche > ;
  \item \(X_{n}\) la variable aléatoire désignant le nombre de boules blanches tirées au cours des \(n\) premiers tirages;
  \item \(u_{n}\) l'espérance de la variable aléatoire \(X_{n}\), c'est-à-dire \(u_{n}=\mathbf{E}\left(X_{n}\right)\).
\end{itemize}

\section*{1. Étude d'un ensemble de suites}
Soit \(A\) l'ensemble des suites \(\left(x_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) de réels qui vérifient :

\[
\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad s x_{n+1}=(s-1) x_{n}+b+n
\]

a) Soit \(\alpha\) et \(\beta\) deux réels et \(\left(v_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) la suite définie par: \(\quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad v_{n}=\alpha n+\beta\).

Déterminer en fonction de \(b\) et de \(s\) les valeurs de \(\alpha\) et \(\beta\) pour que la suite \(\left(v_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) appartienne à \(A\).\\
b) Soit \(\left(x_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) une suite appartenant à \(A,\left(v_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) la suite déterminée à la question précédente et \(\left(y_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) la suite définie par : \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad y_{n}=x_{n}-v_{n}\).\\
Montrer que la suite \(\left(y_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) est une suite géométrique et expliciter, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(y_{n}\) puis \(x_{n}\) en fonction de \(x_{1}, b, s\) et \(n\).

\section*{2. Expression de la probabilité \(\mathbf{P}\left(B_{n+1}\right)\) à l'aide de \(u_{n}\)}
a) Donner, en fonction de \(b\) et de \(s\), les valeurs respectives de la probabilité \(\mathbf{P}\left(B_{1}\right)\) et du nombre \(u_{1}\).\\
b) Calculer la probabilité \(\mathbf{P}\left(B_{2}\right)\) et vérifier l'égalité : \(\quad \mathbf{P}\left(B_{2}\right)=\frac{b+1-u_{1}}{s}\).\\
c) Soit \(n\) un entier naturel vérifiant \(1 \leqslant n \leqslant a\). Montrer que, pour tout entier \(k\) de l'intervalle \(\llbracket 0, n \rrbracket\), la probabilité conditionnelle \(\mathbf{P}\left(B_{n+1} /\left[X_{n}=k\right]\right)\) est égale à \(\frac{b+n-k}{s}\).\\
En déduire l'égalité : \(\quad \mathbf{P}\left(B_{n+1}\right)=\frac{b+n-u_{n}}{s}\).\\
d) Soit \(n\) un entier naturel vérifiant \(n>a\).

Si \(k\) est un entier de l'intervalle \([0, n-a-1]\), quel est l'événement \(\left[X_{n}=k\right]\) ?\\
Si \(k\) est un entier de l'intervalle \([n-a, n]]\), justifier l'égalité : \(\mathbf{P}\left(B_{n+1} /\left[X_{n}=k\right]\right)=\frac{b+n-k}{s}\).\\
Montrer enfin que l'égalité \(\mathbf{P}\left(B_{n+1}\right)=\frac{b+n-u_{n}}{s}\) est encore vérifiée.

\section*{3. Calcul des nombres \(u_{n}\) et \(\mathbf{P}\left(B_{n}\right)\)}
a) Soit \(n\) un entier naturel non nul. Établir, pour tout entier \(k\) de l'intervalle \(\llbracket n+1-a, n \rrbracket\), l'égalité :

\[
\mathbf{P}\left(\left[X_{n+1}=k\right]\right)=\frac{a-n+k}{s} \mathbf{P}\left(\left[X_{n}=k\right]\right)+\frac{b+n-k+1}{s} \mathbf{P}\left(\left[X_{n}=k-1\right]\right)
\]

Vérifier cette égalité pour \(k=n+1, k=n-a\) et pour tout entier \(k\) de l'intervalle \(\llbracket 1, n-a-1 \rrbracket\).\\
b) Calculer, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_{n}\) et de \(n\). En déduire que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) appartient à l'ensemble \(A\) étudié dans la question 1 .\\
c) Donner, pour tout entier naturel \(n\) non nul, les valeurs de \(u_{n}\) et de \(\mathbf{P}\left(B_{n+1}\right)\) en fonction de \(b, s\) et \(n\).\\
d) Quelles sont les limites des suites \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) et \(\left(\mathbf{P}\left(B_{n}\right)\right)_{n \geqslant 1}\) ?

\section*{PROBLÈME}
Dans tout le problème, on désigne par \(\mathcal{C}\) l'espace vectoriel des applications continues de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\). À toute application \(f\) de \(\mathcal{C}\), on associe l'application \(D(f)\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par :

\[
\forall x \in \mathbb{R}, \quad D(f)(x)=f(x+1)-f(x)
\]

Les parties \(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}\) et \(\boldsymbol{C}\) sont indépendantes.\\
Question préliminaire : \(D\) est-il un endomorphisme de \(\mathcal{C}\) ?

\section*{Partie A: Image par \(D\) d'une fonction de répartition}
\begin{enumerate}
  \item Soit \(F\) une application de \(\mathcal{C}\). Rappeler les propriétés que doit posséder \(F\) pour être considérée comme une fonction de répartition.
  \item Soit \(F\) une application de \(\mathcal{C}\) qui est une fonction de répartition et \(g\) l'application \(D(F)\).\\
a) Montrer que \(g\) est positive.\\
b) Prouver, pour tout réel \(x\), la double inégalité : \(\quad F(x) \leqslant \int_{x}^{x+1} F(t) \mathrm{d} t \leqslant F(x+1)\).
\end{enumerate}

En déduire que les limites \(\lim _{x \rightarrow-\infty} \int_{x}^{x+1} F(t) \mathrm{d} t\) et \(\lim _{x \rightarrow+\infty} \int_{x}^{x+1} F(t) \mathrm{d} t\) existent et préciser leurs valeurs.\\
c) Soit \(A\) et \(B\) deux réels vérifiant \(A<0<B\) et \(I(A, B)\) l'intégrale : \(I(A, B)=\int_{A}^{B} g(t) \mathrm{d} t\).

Justifier l'égalité : \(\quad I(A, B)=\int_{B}^{B+1} F(t) \mathrm{d} t-\int_{A}^{A+1} F(t) \mathrm{d} t\).\\
d) Prouver alors soigneusement que \(g\) est une densité de probabilité.

\section*{3. Un exemple}
On suppose, dans cette question, que \(F\) est la fonction de répartition d'une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle \([0,1]\) et on pose : \(g=D(F)\).\\
Déterminer \(g(x)\) pour tout réel \(x\), en distinguant les cas \(x<-1,-1 \leqslant x<0, \quad 0 \leqslant x<1\) et \(1 \leqslant x\). Représenter graphiquement l'application \(g\).

\section*{Partie B : Recherche des valeurs propres de \(D\)}
Si \(\lambda\) est un réel, on dit que \(\lambda\) est une valeur propre de \(D\) s'il existe une application \(f\) de \(\mathcal{C}\), distincte de l'application nulle, vérifiant : \(D(f)=\lambda f\).

\begin{enumerate}
  \item Soit \(a\) un réel. On note \(g_{a}\) l'application de \(\mathcal{C}\) définie par : \(\forall x \in \mathbb{R}, g_{a}(x)=e^{a x}\).
\end{enumerate}

Déterminer l'application \(D\left(g_{a}\right)\).\\
2. En déduire que tout réel \(\lambda\) strictement supérieur à -1 est une valeur propre de \(D\).\\
3. Soit \(a\) un réel. On note \(h_{a}\) l'application de \(\mathcal{C}\) définie par : \(\forall x \in \mathbb{R}, h_{a}(x)=\sin (\pi x) e^{a x}\).

Déterminer l'application \(D\left(h_{a}\right)\).\\
4. En déduire que tout réel \(\lambda\) strictement inférieur à -1 est une valeur propre de \(D\).\\
5. Le réel -1 est-il une valeur propre de \(D\) ?

\section*{Partie C : Image par \(D\) d'une application polynomiale}
Pour tout entier naturel \(p\), on désigne par \(E_{p}\) le sous-espace de \(\mathcal{C}\) dont les éléments sont les applications polynomiales de degré au plus \(p\).\\
On note \(X\) l'application \(x \mapsto x\) et, pour tout entier naturel non nul \(k\), on note \(X^{k}\) l'application \(x \mapsto x^{k}\). Soit \(\left(H_{i}\right)_{i \in \mathbb{N}}\) la suite d'applications polynomiales définie par :

\[
H_{0}=1 \quad \text { et } \quad \forall i \in \mathbb{N}^{*}, \quad H_{i}=\frac{1}{i!} \prod_{k=0}^{i-1}(X-k)
\]

\begin{enumerate}
  \item Préciser \(H_{1}, H_{2}, H_{3}\) et montrer que \(\mathcal{U}_{3}=\left(H_{0}, H_{1}, H_{2}, H_{3}\right)\) est une base de \(E_{3}\).
  \item Soit \(\mathcal{B}_{3}=\left(1, X, X^{2}, X^{3}\right)\) la base canonique de \(E_{3}\).\\
a) Écrire la matrice de passage \(P\) de la base \(\mathcal{B}_{3}\) à la base \(\mathcal{U}_{3}\) et calculer la matrice \(P^{-1}\).\\
b) Soit \(a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}\) des réels et \(Q\) l'application polynomiale \(a_{0}+a_{1} X+a_{2} X^{2}+a_{3} X^{3}\).
\end{enumerate}

Quelles sont les coordonnées de \(Q\) dans la base \(\mathcal{U}_{3}\) ?\\
En particulier, vérifier l'égalité : \(X^{3}=H_{1}+6 H_{2}+6 H_{3}\).

\section*{3. Application : moment d'ordre 3 d'une variable aléatoire de Poisson}
Soit \(a\) un réel strictement positif et \(Z\) une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre \(a\).\\
a) Pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 3 , on pose : \(\quad S_{n}=\sum_{k=0}^{n} \frac{k^{3} a^{k}}{k!}\).

Transformer \(S_{n}\) à l'aide de la relation : \(\forall k \in \mathbb{N}, \quad k^{3}=H_{1}(k)+6 H_{2}(k)+6 H_{3}(k)\).\\
En déduire que la série de terme général \(\frac{n^{3} a^{n}}{n!}\) est convergente et préciser \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{3} a^{n}}{n!}\).\\
b) En déduire que la variable aléatoire \(Z\) admet un moment d'ordre 3 donné par :

\[
\mathbf{E}\left(Z^{3}\right)=a+3 a^{2}+a^{3}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Dans cette question, \(p\) est un entier naturel non nul fixé.\\
a) Montrer que, si \(Q\) appartient à \(E_{p}, D(Q)\) appartient aussi à \(E_{p}\).
\end{enumerate}

On note alors \(D_{p}\) l'endomorphisme de \(E_{p}\) qui, à tout \(Q\) de \(E_{p}\), associe \(D(Q)\).\\
b) Montrer que la famille \(\mathcal{U}_{p}=\left(H_{0}, H_{1}, \ldots, H_{p}\right)\) est une base de \(E_{p}\).\\
c) Déterminer \(D_{p}\left(H_{0}\right), D_{p}\left(H_{1}\right)\) et prouver, pour tout entier \(i\) vérifiant \(0<i \leqslant p\), l'égalité : \(D_{p}\left(H_{i}\right)=H_{i-1}\).\\
d) Écrire la matrice \(M_{p}\) représentative de \(D_{p}\) dans la base \(\mathcal{U}_{p}\).\\
e) Préciser la ou les valeurs propres de \(M_{p}\). Cette matrice est-elle diagonalisable?

\section*{5. Application : moment d'ordre \(p\) d'une variable aléatoire de Poisson}
Soit \(p\) un entier naturel non nul fixé et \(b_{0}, b_{1}, \ldots, b_{p}\) les réels vérifiant

\[
X^{p}=b_{0} H_{0}+b_{1} H_{1}+\cdots+b_{p} H_{p}
\]

Par une méthode analogue à celle de la question 3., montrer que la variable aléatoire \(Z\) définie dans la question 3. admet un moment d'ordre \(p\) donné par \(\mathbf{E}\left(Z^{p}\right)=\sum_{i=0}^{p} \frac{b_{i} a^{i}}{i!}\).\\
6. Dans cette question, \(p\) est un entier naturel non nul et, pour tout entier \(i\) vérifiant \(0 \leqslant i \leqslant p\), on considère l'application \(\varphi_{i}\) de \(E_{p}\) dans \(\mathbb{R}\) qui, à tout élément \(Q\) de \(E_{p}\), associe le réel :

\[
\varphi_{i}(Q)=\sum_{k=0}^{i}(-1)^{i-k} \mathrm{C}_{i}^{k} Q(k)
\]

où \(\mathrm{C}_{i}^{k}\) désigne le coefficient binomial d'indices \(i\) et \(k\).\\
a) Montrer que, pour tout entier \(i\) vérifiant \(0 \leqslant i \leqslant p\), l'application \(\varphi_{i}\) est linéaire.\\
b) Soit \(i\) et \(j\) deux entiers vérifiant \(0 \leqslant i \leqslant p\) et \(0 \leqslant j \leqslant p\); établir les égalités :

\[
\varphi_{i}\left(H_{i}\right)=1 \quad \text { et si } \quad j \neq i, \quad \varphi_{i}\left(H_{j}\right)=0
\]

c) En déduire, pour tout entier \(i\) vérifiant \(0 \leqslant i \leqslant p\), la relation : \(b_{i}=\sum_{k=0}^{i}(-1)^{i-k} \mathrm{C}_{i}^{k} k^{p}\).


\end{document}