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\title{ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{OPTION ECONOMIQUE \\
 MATHEMATIQUES III }
Année 2004

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

\section*{EXERCICE}
On désigne par \(E\) l'espace vectoriel \(\mathbb{R}^{6}\) et par \(\mathcal{B}\) sa base canonique: \(\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}, e_{5}, e_{6}\right)\).\\
On pose \(\mathcal{B}_{1}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)\) et \(\mathcal{B}_{2}=\left(e_{4}, e_{5}, e_{6}\right)\), et on désigne respectivement par \(E_{1}\) et \(E_{2}\) les sous-espaces vectoriels de \(E\) engendrés par \(\mathcal{B}_{1}\) et \(\mathcal{B}_{2}\).\\
Enfin, \(A\) est la matrice carrée d'ordre 3 à coefficients réels suivante :

\[
\left(\begin{array}{ccc}
0 & 2 & 1 \\
2 & 0 & 1 \\
-2 & 2 & -1
\end{array}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \item Soit \(u\) l'endomorphisme de \(E_{1}\) dont la matrice dans la base \(\mathcal{B}_{1}\) est \(A\).
\end{enumerate}

Déterminer les valeurs propres de \(u\) ainsi qu'une base de vecteurs propres.\\
2. Soit \(f\) l'application linéaire de \(E_{1}\) vers \(E_{2}\) définie par : \(f\left(e_{1}\right)=e_{4}, f\left(e_{2}\right)=e_{5}\) et \(f\left(e_{3}\right)=e_{6}\).

Montrer que \(f\) est un isomorphisme et déterminer la matrice de son isomorphisme réciproque \(f^{-1}\) relativement aux bases \(\mathcal{B}_{2}\) et \(\mathcal{B}_{1}\).\\
3. (a) Montrer que, si ( \(x_{1}, x_{2}\) ) est un élément de \(E_{1} \times E_{2}\) vérifiant l'égalité \(x_{1}+x_{2}=0\), les vecteurs \(x_{1}\) et \(x_{2}\) sont nuls.\\
(b) En déduire que, si ( \(x_{1}, x_{2}\) ) et ( \(y_{1}, y_{2}\) ) sont deux éléments de \(E_{1} \times E_{2}\) vérifiant l'égalité \(x_{1}+x_{2}=y_{1}+y_{2}\), alors on a : \(x_{1}=y_{1}\) et \(x_{2}=y_{2}\).\\
4. Pour tout vecteur \(x\) de \(E\) dont les coordonnées dans la base \(\mathcal{B}\) sont \(\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}, \lambda_{5}, \lambda_{6}\right)\), on pose :

\[
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}=\lambda_{1} e_{1}+\lambda_{2} e_{2}+\lambda_{3} e_{3} \\
x_{2}=\lambda_{4} e_{4}+\lambda_{5} e_{5}+\lambda_{6} e_{6}
\end{array} \quad \text { et } \quad F(x)=u\left(x_{1}\right)+f\left(x_{1}\right)+f^{-1}\left(x_{2}\right)\right.
\]

(a) Prouver que l'application \(F\) qui à tout vecteur \(x\) de \(E\) associe le vecteur \(F(x)\), est un endomorphisme de \(E\).\\
(b) Déterminer le noyau de \(F\) et en déduire que \(F\) est un automorphisme.\\
(c) Montrer que la matrice \(M\) de \(F\) dans la base \(\mathcal{B}\) peut s'écrire sous la forme :

\[
M=\left(\begin{array}{cccccc}
0 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
-2 & 2 & -1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item On suppose, dans cette question, que \(\mu\) est une valeur propre de \(F\) et que \(x\) est un vecteur propre associé à \(\mu\); on définit les vecteurs \(x_{1}\) de \(E_{1}\) et \(x_{2}\) de \(E_{2}\) comme dans la question précédente.\\
(a) Justifier que la valeur propre \(\mu\) n'est pas nulle.\\
(b) Utiliser les résultats de la question 3 pour prouver que les vecteurs \(x_{1}\) et \(x_{2}\) sont tous les deux non nuls et que \(x_{1}\) est un vecteur propre de \(u\) associé à la valeur propre \(\mu-\frac{1}{\mu}\).
  \item Étudier la fonction \(\varphi\) définie sur \(\mathbb{R}^{\times}\)par \(\varphi(x)=x-\frac{1}{x}\) et en donner une représentation graphique.
  \item On suppose, dans cette question, que \(\lambda\) est une valeur propre de \(u\) et que \(x_{1}\) est un vecteur propre de \(u\) associé à \(\lambda\).\\
(a) Montrer que l'équation d'inconnue \(\mu\) suivante : \(\lambda=\mu-\frac{1}{\mu}\) admet deux solutions distinctes \(\mu_{1}\) et \(\mu_{2}\).\\
(b) Montrer que \(\mu_{1}\) et \(\mu_{2}\) sont des valeurs propres de \(F\).
\end{enumerate}

Donner, en fonction de \(x_{1}\), un vecteur propre de \(F\) associé à \(\mu_{1}\) et un vecteur propre de \(F\) associé à \(\mu_{2}\).\\
8. La matrice \(M\) est-elle diagonalisable ?

\section*{PROBLÈME}
Dans tout le problème, \(r\) désigne un entier naturel vérifiant \(1 \leqslant r \leqslant 10\). Une urne contient 10 boules distinctes \(B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{10}\). Une expérience aléatoire consiste à y effectuer une suite de tirages d'une boule avec remise, chaque boule ayant la même probabilité de sortir à chaque tirage. Cette expérience est modélisée par un espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P}\) ).

\section*{Partie I : Etude du nombre de tirages nécessaires pour obtenir au moins une fois chacune des boules \(B_{1}, \ldots, B_{r}\)}
On suppose que le nombre de tirages nécessaires pour obtenir au moins une fois chacune des boules \(B_{1}, \ldots, B_{r}\) définit une variable aléatoire \(Y_{r} \operatorname{sur}(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})\).

\begin{enumerate}
  \item Cas particulier \(r=1\).
\end{enumerate}

Montrer que la variable aléatoire \(Y_{1}\) suit une loi géométrique; préciser son paramètre, son espérance et sa variance.\\
2. On suppose que \(r\) est supérieur ou égal à 2 .\\
(a) Calculer la probabilité pour que les \(r\) boules \(B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{r}\) sortent dans cet ordre aux \(r\) premiers tirages.\\
(b) En déduire la probabilité \(\mathbf{P}\left(\left[Y_{r}=r\right]\right)\).\\
(c) Préciser l'ensemble des valeurs que peut prendre la variable aléatoire \(Y_{r}\).\\
3. On suppose encore que \(r\) est supérieur ou égal à 2 . Pour tout entier \(i\) vérifiant \(1 \leqslant i \leqslant r\), on désigne par \(W_{i}\) la variable aléatoire représentant le nombre de tirages nécessaires pour que, pour la première fois, \(i\) boules distinctes parmi les boules \(B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{r}\) soient sorties (en particulier, on a : \(W_{r}=Y_{r}\) ).\\
On pose: \(\quad X_{1}=W_{1} \quad\) et, pour tout \(i\) vérifiant \(2 \leqslant i \leqslant r, X_{i}=W_{i}-W_{i-1}\).\\
On admet que les variables aléatoires \(X_{1}, \ldots, X_{r}\) sont indépendantes.\\
(a) Exprimer la variable aléatoire \(Y_{r}\) à l'aide des variables aléatoires \(X_{1}, \ldots, X_{r}\).\\
(b) Interpréter concrètement la variable aléatoire \(X_{i}\) pour tout \(i\) vérifiant \(1 \leqslant i \leqslant r\).\\
(c) Montrer que, pour tout \(i\) vérifiant \(1 \leqslant i \leqslant r\), la variable aléatoire \(X_{i}\) suit une loi géométrique; préciser son espérance et sa variance.\\
(d) On pose : \(S_{1}(r)=\sum_{k=1}^{r} \frac{1}{k} \quad\) et \(\quad S_{2}(r)=\sum_{k=1}^{r} \frac{1}{k^{2}}\)

Exprimer l'espérance \(\mathbf{E}\left(Y_{r}\right)\) et la variance \(\mathbf{V}\left(Y_{r}\right)\) de \(Y_{r}\) à l'aide de \(S_{1}(r)\) et de \(S_{2}(r)\).\\
4. (a) Si \(k\) est un entier naturel non nul, préciser le minimum et le maximum de la fonction \(t \mapsto \frac{1}{t}\) sur l'intervalle \([k, k+1]\) et en déduire un encadrement de l'intégrale \(\int_{k}^{k+1} \frac{1}{t} d t\).\\
(b) Si \(r\) est supérieur ou égal à 2 , donner un encadrement de \(S_{1}(r)\) et en déduire la double inégalité :

\[
10 \ln (r+1) \leqslant \mathbf{E}\left(Y_{r}\right) \leqslant 10(\ln r+1)
\]

(c) Si \(r\) supérieur ou égal à 2 , établir par une méthode analogue à celle de la question précédente, la double inégalité :

\[
1-\frac{1}{r+1} \leqslant S_{2}(r) \leqslant 2-\frac{1}{r}
\]

En déduire un encadrement de \(\mathbf{V}\left(Y_{r}\right)\).

\section*{Partie II : Etude du nombre de boules distinctes parmi les boules \(B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{r}\) tirées au moins une fois au cours des \(n\) premiers tirages}
Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 1 , on suppose que le nombre de boules distinctes parmi les boules \(B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{r}\) tirées au moins une fois au cours des \(n\) premiers tirages, définit une variable aléatoire \(Z_{n}\) sur ( \(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P}\) ); on note \(\mathbf{E}\left(Z_{n}\right)\) l'espérance de \(Z_{n}\) et on pose \(Z_{0}=0\).\\
Pour tout entier naturel \(n\) non nul et pour tout entier naturel \(k\), on note \(p_{n, k}\) la probabilité de l'événement [ \(Z_{n}=k\) ] et on pose : \(p_{n,-1}=0\).

\begin{enumerate}
  \item Etude des cas particuliers \(n=1\) et \(n=2\).\\
(a) Déterminer la loi de \(Z_{1}\) et donner son espérance.\\
(b) On suppose, dans cette question, que \(r\) est supérieur ou égal à 2 .
\end{enumerate}

Déterminer la loi de \(Z_{2}\) et montrer que son espérance est donnée par : \(\quad \mathbf{E}\left(Z_{2}\right)=\frac{19 r}{100}\)\\
2. Établir, pour tout entier naturel \(n\) non nul et pour tout entier naturel \(k\) au plus égal à \(r\), l'égalité :

\[
10 p_{n, k}=(10-r+k) p_{n-1, k}+(r+1-k) p_{n-1, k-1}
\]

Vérifier que cette égalité reste vraie dans le cas où \(k\) est supérieur ou égal à \(r+1\).\\
3. Pour tout entier naturel non nul \(n\), on définit le polynôme \(Q_{n}\) par : pour tout réel \(x\),

\[
Q_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n} p_{n, k} x^{k}, \quad \text { et on pose } \quad Q_{0}(x)=1
\]

(a) Préciser les polynômes \(Q_{1}\) et \(Q_{2}\).\\
(b) Calculer \(Q_{n}(1)\) et exprimer \(Q_{n}^{\prime}(1)\) en fonction de \(\mathbf{E}\left(Z_{n}\right)\) ( \(Q_{n}^{\prime}\) désignant la dérivée du polynôme \(Q_{n}\) ).\\
(c) En utilisant l'égalité (1), établir, pour tout réel \(x\) et pour tout entier naturel \(n\) non nul, la relation suivante :

\[
10 Q_{n}(x)=(10-r+r x) Q_{n-1}(x)+x(1-x) Q_{n-1}^{\prime}(x)
\]

(d) En dérivant membre à membre l'égalité (2), former, pour tout entier naturel \(n\) non nul, une relation entre les espérances \(\mathbf{E}\left(Z_{n}\right)\) et \(\mathbf{E}\left(Z_{n-1}\right)\).\\
En déduire, pour tout entier naturel \(n\), la valeur de \(\mathbf{E}\left(Z_{n}\right)\) en fonction de \(n\) et de \(r\).\\
4. (a) Pour tout entier naturel \(n\), le polynôme \(Q_{n}^{\prime \prime}\) désigne la dérivée du polynôme \(Q_{n}^{\prime}\).

En utilisant une méthode semblable à celle de la question précédente, trouver pour tout entier naturel \(n\) non nul, une relation entre \(Q_{n}^{\prime \prime}(1)\) et \(Q_{n-1}^{\prime \prime}(1)\).\\
En déduire que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, l'égalité suivante :

\[
Q_{n}^{\prime \prime}(1)=r(r-1)\left[1+\left(\frac{8}{10}\right)^{n}-2\left(\frac{9}{10}\right)^{n}\right]
\]

(b) Calculer, pour tout entier naturel \(n\), la variance de la variable aléatoire \(Z_{n}\) en fonction de \(n\) et de \(r\).


\end{document}