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\begin{document}
CONCOURS D'ADMISSION DE 2002

\section*{Option économique}
\section*{MATHEMATIQUES II}
Lundi 6 Mai 2002 de 8h à 12h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

On désigne par \(N\) un nombre entier supérieur à 1 et par \(a\) un nombre réel strictement positif. L'objet du problème est d'étudier la rentabilité d'un investissement en fonction du taux d'intérêt ce qui conduit à l'étude dans les parties II et III des équations suivantes pour \(0<x<1\) :

\[
\begin{gathered}
x^{N}+x^{N-1}+\ldots+x^{2}+x-a=0 \\
N x^{N}+(N-1) x^{N-1}+\ldots+2 x^{2}+x-a=0
\end{gathered}
\]

Dans la partie I, on étudie la première de ces équations dans deux cas particuliers ( \(N=2\) et 3 ).

\section*{PARTIE I}
\(\mathbf{1}^{\boldsymbol{\circ}}\) ) Résolution numérique de l'équation \(\boldsymbol{x}^{\mathbf{2}} \boldsymbol{+} \boldsymbol{x} \boldsymbol{-} \mathbf{1} \boldsymbol{=} \mathbf{0}(\mathbf{0}<\boldsymbol{x}<\mathbf{1})\)\\
On considère dans cette question la fonction \(f\) définie pour \(x \geq 0\) par :

\[
f(x)=\frac{1}{x+1}
\]

a) Montrer que l'équation \(x^{2}+x-1=0\) a une et une seule racine réelle appartenant à \(] 0\), 1 [, et préciser la valeur de cette racine \(r_{2}\).\\
b) Montrer, si \(x\) désigne un nombre réel appartenant à \([1 / 2,1]\), que \(f(x)\) appartient à \([1 / 2,1]\).\\
c) Calculer la dérivée \(f^{\prime}\) de \(f\) et prouver l'inégalité suivante pour \(1 / 2 \leq x \leq 1\) :

\[
\left|f^{\prime}(x)\right| \leq \frac{4}{9}
\]

d) On considère la suite définie par \(u_{0}=1\) et \(u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)\).

Prouver l'inégalité suivante et la convergence de la suite \(\left(u_{n}\right)\) vers \(r_{2}\) :

\[
\forall n \in \mathrm{IN}, \quad\left|u_{n}-r_{2}\right| \leq\left(\frac{4}{9}\right)^{n}
\]

\(\mathbf{2}^{\boldsymbol{\circ}}\) ) Résolution numérique de l'équation \(\boldsymbol{x}^{\mathbf{3}} \boldsymbol{+} \boldsymbol{x}^{\mathbf{2}} \boldsymbol{+} \boldsymbol{x} \boldsymbol{-} \mathbf{1}=\mathbf{0}(\mathbf{0}<\boldsymbol{x}<\mathbf{1})\)\\
On considère dans cette question la fonction \(f\) définie pour \(x \geq 0\) par :

\[
f(x)=\frac{1}{x^{2}+x+1}
\]

a) Montrer que l'équation \(x^{3}+x^{2}+x-1=0\) a une seule racine réelle \(r_{3}\) appartenant à \(] 0,1[\).\\
b) Montrer, si \(x\) désigne un nombre réel appartenant à \([1 / 3,1]\), que \(f(x)\) appartient à \([1 / 3,1]\).\\
c) Calculer les dérivées \(f^{\prime}\) et \(f^{\prime \prime}\) de \(f\), et en déduire le maximum de la valeur absolue de \(f^{\prime}(x)\) pour \(x\) appartenant à \([1 / 3,1]\).\\
d) On considère la suite définie par \(u_{0}=1\) et \(u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)\).

Majorer \(\left|u_{n}-r_{3}\right|\) en fonction de \(n\) et prouver la convergence de la suite ( \(u_{n}\) ) vers \(r_{3}\).

\section*{PARTIE II}
\(3^{\circ}\) ) Etude de l'équation \(\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{N}}+\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{N - 1}}+\ldots+\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}=\mathbf{0}\)\\
On note \(f_{N}\) la fonction polynôme définie par : \(f_{N}(x)=x^{N}+x^{N-1}+\ldots+x^{2}+x-a\).\\
a) Montrer que l'équation \(f_{N}(x)=0\) possède une racine strictement positive \(x_{N}\) et une seule, puis montrer que celle-ci appartient à ]0, \(1[\) lorsque \(N>a\).\\
b) Montrer la relation \((*):(x-1) f_{N}(x)=x^{N+1}-(a+1) x+a\).

\section*{4 \({ }^{\circ}\) ) Racine positive de l'équation \(\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{N}}+\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{N}-\mathbf{1}}+\ldots+\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}=\mathbf{0}\)}
a) Montrer que \(f_{N+1}\left(x_{N}\right)>f_{N}\left(x_{N}\right)\) et en déduire que la suite ( \(x_{N}\) ) est strictement décroissante.

En déduire que la suite ( \(x_{N}\) ) converge vers un nombre réel \(x^{*}\) appartenant à [ 0,1 [.\\
b) Montrer que \(0<x_{N} \leq x_{A}\), puis que \(0<\left(x_{N}\right)^{N} \leq\left(x_{A}\right)^{N}\) lorsque \(N \geq A\) où \(A\) est un entier naturel non nul. En choisissant \(A \geq a\), en déduire la limite de la suite ( \(x_{N}{ }^{N}\) ) lorsque \(N\) tend vers \(+\infty\), puis, à l'aide de la relation (*), exprimer la limite \(x^{*}\) en fonction de \(a\).

On convient alors de poser \(x_{N}=\frac{a}{a+1}\left(1+\varepsilon_{N}\right)\), et \(\varepsilon_{N}\) tend donc vers 0 lorsque \(N\) tend vers \(+\infty\).\\
c) Etablir à l'aide de la relation (*) l'égalité suivante :

\[
(N+1) \varepsilon_{N}\left[\ln \left(\frac{a}{a+1}\right)+\ln \left(1+\varepsilon_{N}\right)\right]=\varepsilon_{N} \ln \left(\varepsilon_{N}\right)+\varepsilon_{N} \ln (a) .
\]

En déduire les limites de \((N+1) \varepsilon_{N}\) et de \(\left(1+\varepsilon_{N}\right)^{N+1}\) lorsque \(N\) tend vers \(+\infty\), puis déterminer à l'aide de la relation (*) un équivalent de \(\varepsilon_{N}\) en fonction de \(a\) et \(N\).

On considère un investissement qui nécessite l'apport initial d'une somme \(S_{0}>0\) l'année 0 , puis qui rapporte ensuite la même somme \(S>0\) pendant chacune des \(N\) années suivantes, c'est à dire pendant les années \(1,2, \ldots, N\)..

Lorsque le taux d'intérêt des placements est supposé constant au cours du temps et égal à \(r>0\), on sait que le placement d'une somme \(s\) à l'issue de l'année 0 conduit à une somme \(s_{1}=(1+r) s\) à l'issue de l'année \(1, \ldots\), à une somme \(s_{n}=(1+r)^{n} s\) à l'issue de l'année \(n, \ldots\)\\
Dans ce contexte, on obtiendra une somme \(S_{n}\) à l'issue de l'année \(n\) si et seulement si on obtient une somme \(S_{n} /(1+r)^{n}\) à l'issue de l'année 0 (puisque le placement d'une telle somme \(S_{n} /(1+r)^{n}\) conduit précisément à l'obtention de la somme \(S_{n}\) à l'issue de \(n\) années de placement). Aussi appellera-t-on dans ce contexte valeur présente de la somme \(S_{n}\) la somme \(S_{n} /(1+r)^{n}\).

\section*{\(\mathbf{5}^{\boldsymbol{\circ}}\) ) Taux d'intérêt permettant la réalisation de l'investissement}
a) Montrer que la valeur présente (à la fin de l'année 0 ) de l'investissement décrit ci-dessus est égale, compte tenu de la dépense initiale \(S_{0}\) et des revenus attendus, à :

\[
V P(r)=\frac{S}{(1+r)^{N}}+\frac{S}{(1+r)^{N-1}}+\ldots+\frac{S}{(1+r)^{2}}+\frac{S}{1+r}-S_{0} .
\]

L'investissement précédent est alors réalisé si et seulement si l'inégalité VP( \(r\) ) \(\geq 0\) est vérifiée, c'est à dire s'il est financièrement plus intéressant de réaliser l'investissement projeté que de placer la somme \(S_{0}\) au taux d'intérêt \(r\) des placements comme on l'a décrit plus haut.\\
b) Montrer que l'équation \(V P(r)=0\) possède une racine strictement positive \(r_{N}\) et une seule si \(N>S_{0} / S\), et donner l'expression de celle-ci en fonction de \(x_{N}\) et montrer que l'investissement décrit est réalisé si et seulement si \(r \leq r_{N}\).\\
c) Préciser le sens de variation et la limite \(r^{*}\) de la suite ( \(r_{N}\) ), puis exprimer cette limite \(r^{*}\) en fonction de \(S\) et \(S_{0}\) et préciser un équivalent de l'erreur \(r^{*}-r_{N}\) faite en remplaçant \(r_{N}\) par \(r^{*}\).

\section*{PARTIE III}
\(\mathbf{6}^{\boldsymbol{\circ}}\) ) Etude de l'équation \(\boldsymbol{N} \boldsymbol{x}^{\boldsymbol{N}} \boldsymbol{+} \boldsymbol{(} \boldsymbol{N} \boldsymbol{-} \mathbf{1} \boldsymbol{)} \boldsymbol{x}^{\boldsymbol{N} \boldsymbol{-} \mathbf{1}} \boldsymbol{+} \boldsymbol{\ldots} \boldsymbol{+} \boldsymbol{x} \boldsymbol{-} \boldsymbol{a}=\mathbf{0}\)\\
On note \(g_{N}\) la fonction polynôme définie par : \(g_{N}(x)=N x^{N}+(N-1) x^{N-1}+\ldots+2 x^{2}+x-a\).\\
a) Montrer que l'équation \(g_{N}(x)=0\) possède une racine strictement positive \(y_{N}\) et une seule, puis montrer que celle-ci appartient à \(] 0,1[\) lorsque \(N(N+1)>2 a\).\\
b) Montrer la relation (**) : \((x-1)^{2} g_{N}(x)=N x^{N+2}-(N+1) x^{N+1}+x-a(x-1)^{2}\).\\
\(7^{\circ}\) ) Racine positive de l'équation \(N \boldsymbol{x}^{\boldsymbol{N}}+(\boldsymbol{N}-\mathbf{1}) \boldsymbol{x}^{\boldsymbol{N - 1}}+\ldots+\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}=\mathbf{0}\)\\
a) Montrer que \(g_{N+1}\left(y_{N}\right)>g_{N}\left(y_{N}\right)\) et en déduire que la suite \(\left(y_{N}\right)\) est strictement décroissante.

En déduire que la suite \(\left(y_{N}\right)\) converge vers un nombre réel \(y^{*}\) appartenant à \([0,1[\).\\
b) Montrer que \(0<N y_{N}{ }^{N} \leq N y_{A}{ }^{N}\) pour \(N \geq A\) où \(A\) est un nombre entier tel que \(A(A+1)>2 a\).

En déduire la limite de la suite ( \(N y_{N}{ }^{N}\) ) lorsque \(N\) tend vers \(+\infty\), et, à l'aide de la relation (**), exprimer la limite \(y^{*}\) en fonction de \(a\).

On modifie les hypothèses précédentes et on suppose désormais que l'investissement considéré, qui nécessite toujours l'apport initial d'une somme \(S_{0}\) l'année 0 , rapporte de plus en plus pendant chacune des \(N\) années suivantes, comme suit : une somme \(S\) l'année 1 , une somme \(2 S\) l'année 2 , une somme \(3 S\) l'année \(3, \ldots\), une somme \(N S\) l'année \(N\).

\section*{\(8^{\circ}\) ) Taux d'intérêt permettant la réalisation de l'investissement}
a) Montrer que la valeur présente (à la fin de l'année 0 ) de l'investissement décrit est égale à :

\[
V P(r)=\frac{N S}{(1+r)^{N}}+\frac{(N-1) S}{(1+r)^{N-1}}+\ldots+\frac{2 S}{(1+r)^{2}}+\frac{S}{1+r}-S_{0}
\]

L'investissement précédent est alors réalisé si et seulement si l'inégalité VP( \(r\) ) \(\geq 0\) est vérifiée.\\
b) Montrer que l'équation \(V P(r)=0\) possède une racine strictement positive \(r_{N}\) et une seule lorsque \(N(N+1)>2 S_{0} / S\), puis donner l'expression de celle-ci en fonction de \(y_{N}\) et montrer que l'investissement décrit est réalisé si et seulement si \(r \leq r_{N}\).\\
c) Préciser le sens de variation et la limite \(r^{*}\) de la suite ( \(r_{N}\) ), puis exprimer cette limite \(r^{*}\) en fonction de \(S\) et \(S_{0}\).


\end{document}