\documentclass[10pt]{article}
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\begin{document}
\section*{Epreuve maths 3 voie économique}
\section*{EXERCICE 1 : algèbre linéaire et probabilités}
Dans cet exercice, on désigne par \(p\) un nombre entier naturel non nul et par \(\mathbb{R}_{p}[X]\) l'espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à \(p\).

\begin{enumerate}
  \item Étude d'un endomorphisme \(\phi\) de \(\mathbb{R}_{p}[X]\)\\
a : On associe à toute fonction polynôme P la fonction \(\widehat{P}\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\end{enumerate}

\[
\widehat{P}(x)=\frac{1}{x-1} \int_{1}^{x} P(t) d t \quad \text { si } x \neq 1 \quad \text { et } \quad \widehat{P}(1)=P(1)
\]

\begin{itemize}
  \item Montrer que la fonction \(x \rightarrow \int_{1}^{x} P(t) d t\) est une fonction polynôme admettant 1 pour racine.
  \item Montrer que la fonction \(\widehat{P}\) est une fonction polynôme de même degré que \(P\) lorsque \(P \neq 0\).\\
b : On considère l'application \(\phi\) associant à toute fonction polynôme \(P\) appartenant à \(\mathbb{R}_{p}[X]\) la fonction polynôme \(\widehat{P}\) définie ci-dessus.\\
Montrer que \(\phi\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_{p}[X]\). Est-il injectif? surjectif?\\
\(\mathbf{c}\) : Déterminer les images par \(\phi\) des fonctions polynômes \(\quad e_{k}: x \rightarrow x^{k} \quad\) pour \(0 \leqslant k \leqslant p\), puis en déduire la matrice de \(\phi\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}_{p}[X]\).\\
d: Quelles sont les valeurs propres de \(\phi\) ? \(\phi\) est-il diagonalisable?
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Étude des éléments propres de l'endomorphisme \(\phi\)\\
a: Déterminer les fonctions propres de \(\phi\) associée à la valeur propre 1 .\\
b : On considère une valeur propre \(\lambda\) de \(\phi\) et une fonction polynôme propre associée \(P\).\\
Montrer que, pour tout nombre réel \(x\) :
\end{enumerate}

\[
(1-\lambda) P(x)=\lambda(x-1) P^{\prime}(x)
\]

En déduire, si \(\lambda \neq 1\), que 1 est nécessairement racine de \(P\).\\
\(\mathbf{c}\) : Déterminer les images par \(\phi\) des fonctions polynômes \(\quad P_{k}: \operatorname{xrightarrow~}(x-1)^{k} \quad\) pour \(0 \leqslant k \leqslant p\) et montrer que ( \(P_{0}, P_{l}, \ldots, P_{p}\) ) est une base de \(\mathbb{R}_{p}[X]\).\\
d: On considère une fonction polynôme \(P\) exprimée comme suit dans la base précédente:

\[
P=a_{0} P_{0}+a_{1} P_{1}+\ldots+a_{p} P_{p}
\]

Montrer que \(a_{0}=P(1)\), calculer \(\Phi_{1}=\phi(P), \Phi_{2}=(\phi \circ \phi)(P)\) puis \(\Phi_{n}=\phi^{n}(P)\) pour \(n \in \mathbb{N}^{*}\). Déterminer pour tout nombre réel \(x\) la limite de \(\Phi_{n}(x)\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) et en déduire en particulier que, si \(P(x)=x^{p}\), la limite de \(\Phi_{n}(x)\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) est égale à 1 .\\
3) Application à une marche aléatoire

Un individu se déplace sur les points d'abscisse \(0,1,2, p\) selon les règles suivantes :

\begin{itemize}
  \item il est au point d'abscisse \(p\) à l'instant 0 .
  \item il est au point d'abscisse \(k(0 \leqslant k \leqslant p)\) à l'instant \(n(n \in \mathbb{N})\), il est de façon équiprobable en l'un des \(k+1\) points d'abscisses \(0,1, \ldots, k\) à l'instant \(n+1\).
\end{itemize}

Pour tout nombre entier naturel \(n\), on désigne par \(X_{n}\) la variable aléatoire indiquant l'abscisse du point où se trouve l'individu à l'instant \(n\) et par \(E\left(X_{n}\right)\), son espérance.\\
a : Exprimer à l'aide du théorème des probabilités totales la probabilité \(P\left(X_{n+1}=k\right)\) où \(0 \leqslant k \leqslant p\) en fonction des probabilités \(P\left(X_{n}=0\right), P\left(X_{n}=1\right), \ldots P\left(X_{n}=p\right)\).\\
b : En déduire une matrice carrée \(M\) telle que \(U_{n+1}=M U_{n}\) où \(U_{n}\) désigne la matrice-colonne dont les éléments sont du haut vers le bas \(P\left(X_{n}=0\right), P\left(X_{n}=1\right), \ldots P\left(X_{n}=p\right)\).\\
\(\mathbf{c}\) : Exprimer le produit matriciel \(\left(\begin{array}{lllll}0 & 1 & 2 & \ldots & p\end{array}\right) M\) en fonction de \(\left(\begin{array}{lllll}0 & 1 & 2 & \ldots & p\end{array}\right)\). En multipliant l'égalité \(U_{n+1}=M . U_{n}\) à gauche par la matrice-ligne ( \(\begin{array}{lllll}0 & 1 & 2 & \ldots & p\end{array}\) ), exprimer \(E\left(X_{n+1}\right)\) en fonction de \(E\left(X_{n}\right)\) puis préciser \(E\left(X_{n}\right)\) en fonction de \(n\) ainsi que sa limite.\\
d : Préciser \(U_{0}\), puis donner \(U_{n}\) en fonction de \(M\) et de \(n\).\\
En déduire, à l'aide de la question 2.d que les \(p+1\) composantes de \(U_{n}\) ont pour limites (de haut en bas) \(1,0,0, \ldots, 0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) puis interpréter ce résultat.

\section*{EXERCICE 2 : probabilités et simulation informatique}
On considère une suite de lancers successifs (supposés indépendants) d'une pièce de monnaie, pour laquelle la probabilité d'apparition de pile, noté P , est \(p\) et celle de face, noté \(\mathbf{F}\), est \(q\), avec \(0<p<1\) et \(p+q=1\), et on s'intéresse à l'apparition de deux piles consécutifs.\\
Par exemple, si l'on considère les seize premiers lancers suivants :

\begin{center}
\begin{tabular}{c|cc|c|cc|cccc|cc|cc|cc}
F & P & P & F & P & P & P & F & P & F & P & P & P & P & P & F \\
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

deux piles consécutifs sont réalisés aux rangs \(3,6,12\) et 14 , mais non aux rangs 7 , 13 et 15 (car un pile ne peut pas participer à la réalisation de deux piles consécutifs plus d'une fois).\\
On notera, pour tout entier naturel \(n\) non nul :

\begin{itemize}
  \item \(A_{n}\) l'événement : " deux piles consécutifs sont réalisés au rang n ".
  \item \(B_{n}\) l'événement : " deux piles consécutifs sont pour la première fois réalisés au rang \(n\) ". Enfin on désigne par \(a_{n}\) et \(b_{n}\) les probabilités de ces événements \(A_{n}\) et \(B_{n}\).
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \item Calcul des probabilités \(a_{n}\)\\
a: On a bien sûr \(a_{1}=0\). Calculer de plus \(a_{2}, a_{3}, a_{4}\).\\
b : Démontrer, pour tout nombre entier naturel \(n\) non nul : \(\quad a_{n+2}=p^{2} a_{n}+q p^{2}\).\\
\(\mathbf{c}\) : On pose, pour tout entier naturel \(n\) non nul : \(u_{n}=a_{n}-c\) où \(c\) vérifie \(c=p^{2} c+q p^{2}\).\\
Démontrer que ( \(u_{n}\) ) est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 .
\end{enumerate}

\begin{itemize}
  \item En déduire, pour tout nombre entier naturel \(n: \quad a_{n}=\frac{p}{1+p}\left(p+(-p)^{n}\right)\).
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Nombre moyen de réalisations de deux piles consécutifs en \(n\) lancers
\end{enumerate}

Pour tout entier naturel \(n\) non nul , on note \(X_{n}\) la variable aléatoire prenant la valeur 1 lorsque l'événement \(A_{n}\) est réalisé, et 0 sinon.\\
a: Préciser la loi de \(X_{n}\) et son espérance.\\
b : Que peut-on dire de la variable aléatoire \(X_{n} X_{n+l}\) ?\\
\(\mathbf{c}\) : Déterminer la loi de la variable aléatoire \(X_{n} X_{n+2}\).\\
d : Déterminer pour tout nombre entier \(k \geqslant 1\) la loi de la variable aléatoire \(X_{n+k}\) conditionnée par l'événement \(X_{n}=1\), c'est à dire les probabilités \(P\left(X_{n+k}=0 / X_{n}=1\right)\) et \(P\left(X_{n+k}=1 / X_{n}=\right.\) l).\\
e: Interpréter la variable aléatoire \(X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}\).\\
Donner un équivalent du nombre moyen \(m_{n}\) de réalisations de deux piles consécutifs parmi \(n\) lancers lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).\\
3) Calcul récursif des probabilités \(b_{n}\)\\
a: Justifier l'égalité : \(P\left(A_{n}\right)=\sum_{k=1}^{n} P\left(A_{n} \cap B_{k}\right)\).\\
b : Soit \(k\) un nombre entier tel que \(1 \leqslant k \leqslant n\). Que vaut \(P\left(A_{n} / B_{k}\right)\) ?\\
c: En déduire la formule suivante pour tout nombre entier naturel non nul \(n\) :

\[
a_{n}=b_{n}+\sum_{k=1}^{n-1} b_{k} a_{n-k}
\]

(et ce dernier "sigma" est supposé nul pour \(\mathrm{n}=1\) ). Calculer ainsi \(b_{2}, b_{3}, b_{4}, b_{5}\).\\
4) Simulation informatique dans le cas particulier \(p=2 / 3\)

On peut alors établir à l'aide de la formule précédente (ce qu'on ne demande pas de faire) que

\[
\forall n \geqslant 1 \quad b_{n}=\frac{4}{9}\left[\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}-\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}\right]
\]

a: Montrer que l'application \(T\) associant à toute suite de lancers successifs le numéro du jet où l'on obtient pour la première fois un double pile est une variable aléatoire.\\
b : Déterminer l'espérance \(E(T)\) de cette variable aléatoire \(T\).\\
c : Le programme Pascal suivant dans lequel on code Pile par 1 et Face par 0 fournit (dans le cas \(\mathrm{p}=2 / 3\) ) une simulation de l'expérience aléatoire précédente.\\
On signale de plus que :

\begin{itemize}
  \item random (3) fournit un nombre entier aléatoire parmi \(0,1,2\).
  \item les lignes d'instruction notées ++++++ sont volontairement incomplètes.
\end{itemize}

\begin{verbatim}
program ESSEC2002;
var n,k : integer ; m:real;
function lancer : integer;
var z : integer;
begin
if random(3)=0 then z:=0
            else z:=1;
lancer:=z;
end;
function attente:integer;
var x,y,k:integer;
begin
x:=lancer;
y:=lancer;
k:=2;
while x*y=0 do
    begin
            ++++++
            ++++++
            ++++++;
    end;
attente: = k;
end;
begin
randomize;
write('Nombre de simulations 1);
readln(n);
m:=0;
for k:=l to n do
rn: =m / n;
write('Moyenne : ' ,m:0:2);
End.
\end{verbatim}

i. On considère l'instruction y :=lancer ;

Quelle est la probabilité que la variable y contienne 1?\\
ii. Compléter la boucle while de la fonction attente de façon que cette fonction retourne le rang d'apparition du premier double pile.\\
iii. Compléter la boucle for du programme principal de façon que le programme ESSEC2002 affiche la moyenne du rang d'apparition du premier double pile sur n expériences, le nombre entier naturel non nul \(n\) étant fourni par 1'utilisateur.\\
Pour de grandes valeurs de \(n\), autour de quelle valeur fluctue le contenu de la variable \(m\) ?\\
iv. Réécrire la fonction attente pour que le programme ESSEC2002 affiche la moyenne du rang d'apparition du premier triple pile.


\end{document}