\documentclass[10pt]{article}
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\begin{document}
\section*{ESSEC option Eco 2003 Maths III}
\section*{Exercice 1 Suites récurrentes et algèbre linéaire}
Soit \(a\) un nombre réel. On note \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) l'ensemble des suites réelles définies sur \(\mathbb{N}\), et \(F\) le sous- ensemble de \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) formé des suites \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) qui vérifient : \(\forall n \in \mathbb{N} u_{n+3}=3 a u_{n+1}+(1-3 a) u_{n}\).\\
L'objet de ce problème est l'étude de l'ensemble \(F\).\\
I. Étude du cas particulier \(a=1\).

Soit \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) la suite définie par ses trois premiers termes \(u_{0}, u_{1}, u_{2}\), et la relation de récurrence

\[
\forall n \in \mathbb{N} u_{n+3}=3 u_{n+1}-2 u_{n}
\]

Pour tout entier naturel \(n\), on pose : \(X_{n}=\left(\begin{array}{c}u_{n} \\ u_{n+1} \\ u_{n+2}\end{array}\right)\) et on note \(M\) la matrice carrée \(\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & 3 & 0\end{array}\right)\)

\begin{enumerate}
  \item Reconnaître, pour tout entier naturel \(n\), le produit \(M X_{n}\).
\end{enumerate}

En déduire l'expression de \(X_{n}\) en fonction des matrices \(M, X_{0}\) et de l'entier naturel \(n\).\\
2. a) Déterminer les valeurs propres de la matrice \(M\) et leur sous-espace propre associé.\\
b) La matrice \(M\) est-elle diagonalisable ?\\
3. On note \(f\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) canoniquement associé à \(M\), c'est-à-dire tel que \(M\) soit la matrice de \(f\) dans la base canonique \(\mathcal{B}\) de \(\mathbb{R}^{3}\).\\
a) Déterminer une base \(\mathcal{B}^{\prime}=\left(e_{1}^{\prime}, e_{2}^{\prime}, e_{3}^{\prime}\right)\) telle que la matrice \(T\) de \(f\) dans \(\mathcal{B}^{\prime}\) vérifie \(T= \left(\begin{array}{lll}-2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\), et que les vecteurs \(e_{1}^{\prime}, e_{2}^{\prime}, e_{3}^{\prime}\) aient respectivement pour première composante 1,1 et 0 .\\
b) Déterminer, pour tout entier naturel \(n\), l'expression de \(T^{n}\)\\
4. Soit \(P\) la matrice de passage de la base \(\mathcal{B}\) à la base \(\mathcal{B}\), . Exprimer \(M\) en fonction de \(T, P\) et \(P^{-1}\), puis \(M^{n}\) en fonction des mêmes matrices et de l'entier naturel \(n\).\\
5. a) Calculer \(P^{-1}\) (les calculs devront figurer sur la copie)\\
b) Pour tout entier naturel \(n\), calculer les coefficients de la première ligne de \(M^{n}\); en déduire l'expression de \(u_{n}\) en fonction de \(u_{0}, u_{1}, u_{2}\) et de l'entier naturel \(n\).

\section*{II . Étude du cas général .}
On revient au cas général où \(a\) est un réel quelconque.

\section*{1. Structure de F .}
a) Démontrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\)\\
b) On considère l'application \(\varphi: F \rightarrow \mathbb{R}^{3}\)

\[
\left(u_{n}\right)_{n} \rightarrow\left(u_{0}, u_{1}, u_{2}\right)
\]

Démontrer que \(\varphi\) est un isomorphisme d'espaces vectoriels ; en déduire que \(F\) est de dimension finie et préciser sa dimension.\\
c) Justifier que des suites \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}},\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}},\left(w_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) de \(F\) forment une base de \(F\) si, et seulement si, la matrice \(\left(\begin{array}{lll}u_{0} & v_{0} & w_{0} \\ u_{1} & v_{1} & w_{1} \\ u_{2} & v_{2} & w_{2}\end{array}\right)\) est inversible.\\
d) On suppose dans cette question: \(a=0\).

On note \(s, s^{\prime}, s^{\prime \prime}\) les suites définies par:

\[
s=\varphi^{-1}((1,0,0)), s^{\prime}=\varphi^{-1}((0,1,0)), s^{\prime \prime}=\varphi^{-1}((0,0,1))
\]

Déterminer \(s, s^{\prime}, s^{\prime \prime}\) (on donnera les dix premiers termes de chacune de ces trois suites); en déduire la forme générale d'un élément de \(F\).\\
e) Reprendre la question précédente dans le cas \(a=1 / 3\)

\section*{2. Suites géométriques de F .}
a) Démontrer que la suite \(\left(r^{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) appartient à \(F\) si, et seulement si, le réel \(r\) est racine de la fonction polynomiale \(p: x \rightarrow x^{3}-3 a x+3 a-1\)\\
(avec la convention : \(0^{0}=1\) )\\
b) Déterminer, en fonction du réel \(a\), le nombre de racines de la fonction \(p\) ainsi que leur valeur.

\section*{3. Cas où p admet trois racines distinctes.}
a) Démontrer que, lorsque la fonction \(p\) admet trois racines distinctes \(1, r_{1}\) et \(r_{2}\), les suites \((1)_{n \in \mathbb{N}},\left(r_{1}{ }^{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) et \(\left(r_{2}{ }^{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) forment une base de l'espace vectoriel \(F\)\\
b) Dans le cas où \(a=7\), exprimer, en fonction de l'entier naturel \(n\), le terme général \(u_{n}\) de la suite, appartenant à \(F\), qui vérifie: \(u_{0}=1, u_{1}=10, u_{2}=-8\)

\section*{4. Cas où p admet une racine double.}
a) Soit \(r\) un nombre réel et \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) la suite de terme général \(n r^{n}\). Démontrer que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\) :

\[
u_{n+3}-3 a u_{n+1}-(1-3 a) u_{n}=r^{n}\left(n p(r)+r p^{\prime}(r)\right)
\]

b) En déduire que, lorsque \(p\) admet une racine double \(r_{0}\) et une racine simple \(r_{1}\) la suite \(\left(n r_{0}{ }^{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) appartient à \(F\), et démontrer que les suites \(\left(r_{0}{ }^{n}\right)_{n \in \mathbb{N}},\left(n r_{0}{ }^{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) et \(\left(r_{1}{ }^{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) forment une base de \(F\).\\
c) Dans le cas où \(a=1 / 4\), exprimer le terme général \(u_{n}\) d' un élément quelconque \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) de \(F\) en fonction de \(u_{0}, u_{1}\) et \(u_{2}\) et de l'entier naturel \(n\); préciser la limite de \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\).

\section*{Exercice 2: probabilités et simulation informatique.}
\section*{I. Exemple introductif.}
On effectue des lancers successifs (indépendants) d'un dé cubique équilibré, dont les faces sont numérotées de 1 à 6 , et on note \(X_{1}, X_{2}, \ldots X_{n}, \ldots\), les variables aléatoires donnant le numéro amené par le dé aux premier lancer, deuxième lancer, ... .\\
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(Y_{n}\), la somme des points obtenus aux \(n\) premiers lancers. Enfin, pour tout entier naturel \(k\) non nul, la variable aléatoire \(T_{k}\) compte le nombre de celles des variables aléatoires \(Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{n}, \ldots\) qui prennent une valeur inférieure ou égale à \(k\).\\
Par exemple, si les cinq premiers numéros amenés par le dé sont, dans l'ordre: \(3,1,2,3,6\), alors les événements suivants sont réalisés : \(\left(Y_{1}=3\right),\left(Y_{2}=4\right),\left(Y_{3}=6\right),\left(Y_{4}=9\right),\left(Y_{5}=15\right)\), et les variables aléatoires \(T_{2}, T_{3}, T_{9}\) et \(T_{12}\) prennent respectivement pour valeurs \(0,1,4\) et 4 .

\section*{1. On s'intéresse dans cette question à la variable aléatoire \(T_{12}\).}
a) Donner les valeurs prises par \(T_{12}\)\\
(On explicitera un exemple de résultat correspondant à chacune des deux valeurs extrêmes). Quelle est la probabilité que \(T_{12}\) prenne la valeur 12 ?\\
b) Simulation informatique

Compléter les lignes marquées par les symboles . . . du programme Pascal ci-dessous, de façon qu'il simule l'expérience aléatoire étudiée et affiche la valeur de \(T_{12}\).\\
On rappelle que random(6) fournit un entier aléatoire parmi \(0,1,2,3,4,5\).

\begin{verbatim}
Program ESSEC2003A;
var x,y,t:integer;
begin
    randomize;
    y:=0;t:=0;
    repeat
        x:=random(6)+1;
        y:=...;
        t:=...;
    until ...;
    writeln(T=',t);
end.
\end{verbatim}

\section*{2. On s'intéresse dans cette question à la variable aléatoire \(T_{2}\)}
a) Déterminer la loi de probabilité de \(T_{2}\).\\
b) Qu'obtient-on à l'affichage en exécutant le programme ci-dessous ?

\begin{verbatim}
program Essec2003B;
var i,d1,d2:integer;
loi:array[0..2] of integer;
begin
    for i:=0 to 2 do loi[il:=0;
    for d1:=1 to 6 do for d2:=1 to 6 do
        if d1 > 2 then loi[0]:=loi[0]+1 else
            if d1+d2 > 2 then loi[1]:=Ioi[1]+1
                else loi[2]:=Ioi[2]+1;
    for i:=0 to 2 do write(loi[i]/36);
end.
\end{verbatim}

Dorénavant, on considère une suite \(\left(X_{i}\right)_{i \geq 1}\) de variables aléatoires, définies sur un même espace probabilisé ( \(\Omega ; \mathcal{T} ; P\) ), mutuellement indépendantes, de même loi, à valeurs positives ou nulles.\\
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose alors : \(Y_{n}=X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}\) et on note \(F_{n}\) la fonction de répartition de la variable aléatoire \(Y_{n}\).\\
On fixe un réel strictement positif \(x\), et on s'intéresse au nombre \(T_{x}\) des variables aléatoires \(Y_{n}\) telles que l'événement ( \(Y_{n} \leq x\) ) soit réalisé.

\section*{II. Cas général.}
\begin{enumerate}
  \item Démontrer que la suite \(\left(F_{n}(x)\right)_{n \geq 1}\) est décroissante.
  \item Démontrer chacune des deux relations suivantes :
\end{enumerate}

\begin{itemize}
  \item \(P\left(T_{x}=0\right)=1-F_{1}(x)\)
  \item pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(P\left(T_{x}=n\right)=F_{n}(x)-F_{n+1}(x)\)
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item En déduire l'équivalence :
\end{enumerate}

\[
\sum_{n=0}^{+\infty} P\left(T_{x}=n\right)=1 \Longleftrightarrow \lim _{n \rightarrow+\infty} F_{n}(x)=0
\]

Autrement dit, \(T_{x}\) est une variable aléatoire si, et seulement si : \(\lim _{n \rightarrow+\infty} F_{n}(x)=0\)

\section*{III. Cas d'une loi géométrique.}
Dans cette troisième partie, les variables aléatoires \(X_{i}, i \in \mathbb{N}^{*}\), suivent la loi géométrique \(\mathcal{G}(p)\) de paramètre \(p,(0<p<1)\), et on pose : \(q=1-p\).\\
De plus, \(x\) est ici un entier naturel non nul fixé.\\
On rappelle que, par convention : \(C_{n}^{m}=0\) si \(n\) et \(m\) sont des entiers naturels tels que \(m>n\).

\begin{enumerate}
  \item Loi de \(Y_{n}, n \in \mathbb{N}^{*}\)\\
a) Préciser \(Y_{n}(\Omega)\)\\
b) Par un calcul de loi de somme, déterminer la loi de \(Y_{2}\), puis celle de \(Y_{3}\).\\
c) Démontrer que, pour tous entiers naturels \(m\) et \(n\) tels que \(m \geq n\), on a l'égalité :
\end{enumerate}

\[
\sum_{k=n}^{m} C_{k}^{n}=C_{m+1}^{n+1}
\]

d) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\) non nul :

\[
P\left(Y_{n}=k\right)=C_{k-1}^{n-1} q^{k-n} p^{n}
\]

si \(k\) est un entier supérieur ou égal à \(n\).\\
2. Calcul de \(P\left(T_{x}=n\right)\).\\
a) Justifier que \(T_{x}\) est une variable aléatoire et préciser \(T_{x}(\Omega)\). Calculer \(P\left(T_{x}=0\right)\)\\
b) Vérifier chacune des deux égalités :

\[
\begin{aligned}
F_{n}(x) & =p^{n} \sum_{k=n}^{x} C_{k}^{n} q^{k-n}-q p^{n} \sum_{k=n+1}^{x} C_{k-1}^{n} q^{k-n-1} \\
F_{n+1}(x) & =p^{n+1} \sum_{k=n+1}^{x} C_{k-1}^{n} q^{k-n-1}
\end{aligned}
\]

En utilisant II.2. , en déduire le calcul de \(P\left(T_{x}=n\right)\) pour \(n\) entier supérieur ou égal à 1 .\\
c) Reconnaître la loi de \(T_{x}\); préciser son espérance et sa variance.\\
3. Sachant que les variables aléatoires \(X_{1}, X_{2} \ldots\) sont des temps d'attente, et en observant que la réalisation de \(n\) premiers succès équivaut à la réalisation du \(n^{i e ̀ m e}\) succès, donner une interprétation, soigneusement exposée, de chacune des variables aléatoires \(Y_{n}\) et \(T_{x}\), et retrouver ainsi la loi de \(T_{x}\).

\section*{IV. Cas d'une loi exponentielle.}
Dans cette dernière partie, les variables aléatoires \(X_{n}\) suivent la loi exponentielle \(\mathcal{E}(\lambda)\) de paramètre \(\lambda>0\).\\
On admettra qu'alors \(Y_{n}\) admet pour densité la fonction \(f_{n}\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[
f_{n}(t)=\left\{\begin{array}{cc}
0 & \text { si } t<0 \\
\frac{\lambda^{n}}{(n-1)!} e^{-\lambda t} t^{n-1} & \text { si } t \geq 0
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \item À l'aide de II.2. , calculer \(P\left(T_{x}=0\right)\), puis \(P\left(T_{x}=n\right)\) pour tout entier naturel \(n\) non nul.
  \item Reconnaître la loi de \(T_{x}\); préciser son espérance et sa variance.
\end{enumerate}

\end{document}