\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\graphicspath{ {./images/} }
\usepackage{bbold}

\DeclareUnicodeCharacter{03C6}{\ifmmode\varphi\else{$\varphi$}\fi}

\begin{document}
\section*{BANQUE COMMUNE D'ÉPREUVES}
CONCOURS D'ADMISSION DE 2008

Concepteur : ESSEC

Code sujet\\
290\\
ESSECM3\_E

\section*{OPTION ÉCONOMIQUE}
\section*{MATHEMATIQUES III}
Mardi 13 mai 2008 , de 8 h à 12 h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

\section*{Exercice 1 : probabilités discrètes}
Deux personnes \(P_{1}\) et \(P_{2}\) ont rendez-vous dans un complexe formé de cinq sites \(S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}, S_{5}\) disposés en pentagone et reliés par des routes, comme l'illustre le schéma ci-contre.\\
Ils arrivent au rendez-vous à l'heure prévue, mais suite à un malentendu, \(P_{1}\) se présente au site \(S_{1}\) et \(P_{2}\) au site \(S_{2}\).\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}, center]{e0fc9559-070e-42ff-8691-ab12149efdc3-1_319_312_1858_1429}

Ils décident alors de partir à la recherche l'un de l'autre. Ils empruntent les différentes routes du complexe, avec les règles suivantes :

\begin{itemize}
  \item à partir d'un site, chacun choisit de se rendre sur l'un des deux sites voisins, les deux possibilités étant équiprobables ;
  \item les déplacements des deux personnes se font simultanément;
  \item tous les choix de déplacement se font indépendamment les uns des autres.
\end{itemize}

Ils continuent à se déplacer ainsi jusqu'à se retrouver éventuellement sur un même site (ils ne se rencontrent pas le long des routes). Une fois retrouvés, ils ne se déplacent plus.

\section*{A. Modélisation du problème}
Pour tout entier naturel \(n\), on définit les trois événements \(\mathrm{A}_{n}, \mathrm{~B}_{n}, \mathrm{C}_{n}\) :

\begin{itemize}
  \item \(\mathrm{A}_{n}\) : «les deux personnes sont sur le même site après le \(n^{\text {ème }}\) déplacement»
  \item \(\mathrm{B}_{n}\) : «les deux personnes sont sur des sites adjacents après le \(n^{\text {ème }}\) déplacement»
  \item \(\mathrm{C}_{n}\) : «les deux personnes sont à deux routes de distance après le \(n^{\text {ème }}\) déplacement»
\end{itemize}

On note \(a_{n}, b_{n}, c_{n}\) les probabilités des événements \(\mathrm{A}_{n}, \mathrm{~B}_{n}, \mathrm{C}_{n}\).

\begin{enumerate}
  \item Justifier que \(\mathrm{A}_{n}, \mathrm{~B}_{n}, \mathrm{C}_{n}\) forment un système complet d'événements.
  \item Déterminer les valeurs de \(a_{0}, b_{0}\) et \(c_{0}\).
  \item (a) Montrer : \(\forall n \in \mathbb{N}, \quad \mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{n+1} / \mathrm{C}_{n}\right)=\frac{1}{4}\).\\
(b) Justifier : \(\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{n+1} / \mathrm{A}_{n}\right)=1\).\\
(c) Déterminer toutes les probabilités conditionnelles analogues.
\end{enumerate}

On représentera les résultats en reproduisant et complétant le schéma suivant :\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}, center]{e0fc9559-070e-42ff-8691-ab12149efdc3-2_330_337_899_977}\\
4. Établir les relations suivantes, pour tout entier \(n \in \mathbb{N}:\left\{\begin{aligned} a_{n+1} & =a_{n}+\frac{1}{4} c_{n} \\ b_{n+1} & =\frac{3}{4} b_{n}+\frac{1}{4} c_{n} \\ c_{n+1} & =\frac{1}{4} b_{n}+\frac{1}{2} c_{n}\end{aligned}\right.\)\\
5. (a) Déterminer une relation entre \(b_{n+2}, b_{n+1}\) et \(b_{n}\).\\
(b) En déduire une expression de \(b_{n}\) en fonction de \(n\).

On fera intervenir les nombres \(\alpha=\frac{5-\sqrt{5}}{8}\) et \(\beta=\frac{5+\sqrt{5}}{8}\).\\
(c) Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}: c_{n}=\frac{\sqrt{5}}{5}\left(\beta^{n}-\alpha^{n}\right)\).\\
6. (a) Exprimer \(a_{n}\) en fonction de \(n, \alpha\) et \(\beta\).

On pourra s'intéresser à la somme \(a_{n}+b_{n}+c_{n}\).\\
(b) Déterminer la limite de la suite \(\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\).\\
(c) Quelle est la probabilité que les deux personnes ne se retrouvent jamais?

\section*{B. Nombre de déplacements avant rencontre}
On définit la variable aléatoire X égale au nombre de déplacements effectués par chacune des personnes avant leur rencontre sur un même site.

\begin{enumerate}
  \item Déterminer \(\mathrm{X}(\Omega)\), l'ensemble des valeurs prises par X .
  \item Soit \(n \in \mathrm{X}(\Omega)\), montrer :
\end{enumerate}

\[
\mathrm{P}(\mathrm{X}=n)=\frac{\sqrt{5}}{20}\left(\beta^{n-1}-\alpha^{n-1}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Calculer l'espérance de X .
  \item Calculer la variance et l'écart-type de X.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 : probabilités et analyse}
Dans certaines situations (paris sportifs, investissements financiers...), on est amené à miser de l'argent de façon répétée sur des paris à espérance favorable. On se propose de mettre en place une stratégie afin d'optimiser les gains à long terme.\\
On adopte ici le cadre simplifié suivant : on considère une suite de variables aléatoires \(\left(\mathrm{X}_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) indépendantes et suivant toutes la même loi de Bernoulli de paramètre \(p\).\\
Un joueur mise une partie \(\mathrm{M}_{n}\) de son capital sur la réalisation de l'événement ( \(\mathrm{X}_{n}=1\) ), pour chaque \(n \geqslant 1\). La variable \(\mathrm{M}_{n}\) est supposée indépendante des variables \(\mathrm{X}_{k}, k \in \mathbb{N}^{*}\).\\
En cas de victoire, il double sa mise (son capital est donc augmenté de \(\mathrm{M}_{n}\) ), en cas de défaite il perd sa mise (son capital diminue de \(\mathrm{M}_{n}\) ).\\
Initialement, le joueur dispose du capital \(\mathrm{C}_{0}>0\), puis on note \(\mathrm{C}_{n}\) la variable aléatoire égale au capital détenu à l'issue du \(n^{\text {ième }}\) pari.\\
On a ainsi l'encadrement : \(0 \leqslant M_{n+1} \leqslant C_{n}\) pour tout entier \(n\).\\
Le jeu est supposé favorable, on considérera dans tout le problème : \(\frac{1}{2}<p<1\).

\section*{I. Quitte ou double}
\begin{enumerate}
  \item Déterminer deux réels \(a\) et \(b\) vérifiant : \(\forall n \in \mathbb{N}, \quad \mathrm{C}_{n+1}=\mathrm{C}_{n}+\left(a \mathrm{X}_{n+1}+b\right) \mathrm{M}_{n+1}\).
  \item Établir : \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \mathrm{E}\left(\mathrm{C}_{n}\right)=\mathrm{C}_{0}+(2 p-1) \sum_{k=1}^{n} \mathrm{E}\left(\mathrm{M}_{k}\right)\)
\end{enumerate}

En déduire que pour maximiser \(\mathrm{E}\left(\mathrm{C}_{n}\right)\), il faut miser tout son capital à chaque pari.\\
3. Montrer que cette stratégie, dite du "quitte ou double", conduit de façon quasi-certaine à la ruine du joueur, et déterminer le nombre moyen de parties conduisant à la ruine (on parle de ruine s'il existe un entier naturel \(n\) pour lequel \(\mathrm{C}_{n}=0\) ).

\section*{II. Stratégie à mises proportionnelles}
La stratégie précédente étant risquée, le joueur décide d'engager dans chaque pari une fraction du capital dont il dispose : on a ainsi \(\mathrm{M}_{n+1}=\alpha \mathrm{C}_{n}\), avec \(\left.\alpha \in\right] 0,1[\) indépendant de \(n\).

\begin{enumerate}
  \item Établir : \(\forall n \in \mathbb{N}, \quad \mathrm{C}_{n+1}=(1+\alpha)^{\mathrm{X}_{n+1}}(1-\alpha)^{1-\mathrm{X}_{n+1}} \mathrm{C}_{n}\).
  \item On pose \(\mathrm{S}_{n}=\sum_{k=1}^{n} \mathrm{X}_{k}\).
\end{enumerate}

Que représente la variable aléatoire \(S_{n}\) ?\\
Déterminer la loi de \(S_{n}\) et son espérance.\\
3. Établir : \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \mathrm{C}_{n}=(1+\alpha)^{\mathrm{S}_{n}}(1-\alpha)^{n-\mathrm{S}_{n}} \mathrm{C}_{0}\).\\
4. Montrer que : \(\mathrm{E}\left[\frac{1}{n} \ln \left(\frac{\mathrm{C}_{n}}{\mathrm{C}_{0}}\right)\right]=p \ln (1+\alpha)+(1-p) \ln (1-\alpha)\)

Par la suite, on cherche à maximiser cette quantité, ce qui équivaut à maximiser l'espérance du taux moyen de croissance du capital.

\section*{III. Optimisation : le critère de Kelly}
On pose, pour tout \(x \in[0,1], f(x)=p \ln (1+x)+(1-p) \ln (1-x)\).

\begin{enumerate}
  \item Étude de \(f\).\\
(a) Étudier les variations de \(f\) sur 10,1 [, et montrer que \(f\) est concave.
\end{enumerate}

Montrer que \(f\) admet un maximum sur \(10,1\left[\right.\), atteint en un unique réel \(\alpha_{\mathrm{K}}\) que l'on exprimera en fonction de \(p\).\\
(b) Déterminer la limite de \(f\) en 1 et interpréter le résultat.\\
(c) Montrer que \(f\) s'annule deux fois exactement sur [ 0,1 [ : en 0 et en un réel \(\alpha_{c}\) vérifiant \(\alpha_{K}<\alpha_{c}\).\\
(d) Donner l'allure de la courbe représentative de \(f\) sur \([0,1[\).\\
2. Conclusion : le choix \(\alpha=\alpha_{\mathrm{K}}\) est celui qui optimise la croissance de gain à long terme. Que donnerait l'expression de \(\alpha_{\mathrm{K}}\) dans les cas limites \(p=\frac{1}{2}\) et \(p=1\) ? Interpréter ces deux résultats.

\section*{IV. Étude de la valeur critique \(\alpha_{C}\)}
Les choix de \(\alpha\) au-delà de la valeur critique \(\alpha_{c}\) conduisent à une perte de capital. On cherche dans cette partie un équivalent de \(\alpha_{c}\) lorsque \(p\) est proche de \(\frac{1}{2}\).\\
On considèrera dans ce qui suit que \(\alpha_{c}\) est une fonction de \(p\) (on écrira ainsi \(\alpha_{c}(p)\) ).

\begin{enumerate}
  \item On définit la fonction \(\varphi\) sur \(10,1\left[\operatorname{par} \varphi(x)=\frac{\ln (1+x)}{\ln (1-x)}\right.\).\\
(a) Montrer que \(\varphi\) est prolongeable par continuité sur l'intervalle \([0,1]\).
\end{enumerate}

On notera encore \(\varphi\) ce prolongement.\\[0pt]
(b) Justifier que φ est dérivable sur ]0,1[, et mettre l'expression de sa dérivée sous la forme

\[
\varphi^{\prime}(x)=\frac{h(x)}{\left(1-x^{2}\right)[\ln (1-x)]^{2}}
\]

(c) Déterminer les variations de \(h\) sur \(] 0,1[\).\\
(d) Montrer que \(\varphi\) réalise une bijection de \([0,1]\) sur un intervalle à préciser.\\
2. Montrer que \(\varphi\) est dérivable en 0 et que \(\varphi^{\prime}(0)=1\).

On commencera par donner le développement limité en 1 à l'ordre 2 de la fonction \(\ln\).\\
3. (a) Établir : \(\forall p \in] \frac{1}{2}, 1\left[, \quad \alpha_{c}(p)=\varphi^{-1}\left(1-\frac{1}{p}\right)\right.\).\\
(b) En déduire que \(\alpha_{c}\) est prolongeable par continuité en \(\frac{1}{2}\), que ce prolongement est dérivable en \(\frac{1}{2}\) et que :

\[
\alpha_{c}^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=4
\]

(c) Établir l'équivalence, au voisinage de \(\frac{1}{2}\) :

\[
\alpha_{c} \sim 2 \alpha_{\mathrm{K}}
\]

Conclusion : pour des valeurs de \(p\) proches de \(\frac{1}{2}\) (c'est-à-dire des paris "légèrement" favorables, un cas très fréquent), il faut prendre \(\alpha<2 \alpha_{K}\).\\
Par sécurité ( \(p\) n'est en pratique connu qu'approximativement), les parieurs choisissent souvent \(\alpha=\frac{\alpha_{K}}{2}\), la moitié de la valeur de Kelly.

\section*{V. Simulation informatique}
Le programme kelly1 qui suit, écrit en language Pascal, permet d'illustrer ce qui précède :

\begin{itemize}
  \item le capital initial est fixé à 100 ;
  \item en entrée, le programme demande la valeur de \(p\), la valeur de \(\alpha\) à utiliser et le capital que l'on souhaite atteindre;
  \item en sortie, le programme renvoie le nombre de parties jouées pour atteindre l'objectif demandé.
\end{itemize}

\begin{verbatim}
program kellyl;
var n : integer;
    cap,cap_obj,u,p,alpha : real;
begin
    writeln('valeur_de_p_:');read(p);
    writeln('objectif_à_atteindre_:');read(cap_obj);
    writeln('valeur_de_alpha_:');read(alpha);
    cap:=100;
    n:=0;
    randomize;
    while ********** do
        begin .
            u:=random;
            if u<p then
                    begin
                    **********
                    end
                else
                    begin
                    **********
                    end;
            **********
        end;
    writeln('nombre_de_parties_jouées_:',n);
    writeln('capital_atteint_:',cap)
end.
\end{verbatim}

\begin{enumerate}
  \item Compléter les quatre lignes d'instructions manquantes.
  \item Afin de vérifier que la stratégie de Kelly est optimale, on modifie le programme kelly1 de la façon suivante :
\end{enumerate}

\begin{itemize}
  \item les entrées restent les mêmes;
  \item le nouveau programme calcule la valeur de Kelly \(\alpha_{K}\);
  \item en sortie, le nouveau programme renvoie, en plus du nombre de parties jouées pour atteindre l'objectif demandé, le capital que l'on aurait obtenu si on avait choisi la valeur \(\alpha_{K}\) à la place de \(\alpha\) pendant ces mêmes parties.
\end{itemize}

Écrire le programme kelly 2 qui réalise ces modifications, uniquement en insérant des nouvelles instructions au programme kelly1.


\end{document}