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\title{BANQUE COMMUNE D'ÉPREUVES }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
CONCOURS D'ADMISSION DE 2012

\section*{Concepteur : ESSEC}
\section*{OPTION ÉCONOMIQUE}
\section*{MATHEMATIQUES}
Jeudi 10 mai de 14 h à 18 h

\begin{abstract}
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
\end{abstract}

Ce problème comporte trois parties relativement indépendantes.\\
Dans la première partie on étudie les lois log-normales. On s'intéresse dans la partie II à une modélisation du cours d'une action appelée modèle binomial ou de Cox-Ross-Rubinstein et à son comportement asymptotique. Dans la troisième partie, on établit la formule de Black et Scholes, pour le prix d'une option dans le modèle limite obtenu dans la partie II.

\section*{Notations et DÉFINITIONS}
\begin{itemize}
  \item Les variables aléatoires qui interviennent dans ce problème sont toutes définies sur le même espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ).
  \item On note \(\Phi\) la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
  \item On note respectivement \(E(X)\) et \(V(X)\) l'espérance et la variance d'une variable aléatoire \(X\), lorsque celles-ci existent.
  \item Soit \(m\) un réel et \(\sigma\) un réel strictement positif. On dit qu'une variable aléatoire \(X\) suit la loi lognormale de paramètres \(\left(m, \sigma^{2}\right)\) si \(X\) est à valeurs strictement positives et si \(\ln (X)\) suit la loi normale de paramètres \(\left(m, \sigma^{2}\right)\). On écrit alors \(X \hookrightarrow \mathscr{L} \mathscr{N}\left(m, \sigma^{2}\right)\).
\end{itemize}

\section*{Partie I - Quelques propriétés des lois log-normales}
On note dans cette partie \(m\) un réel et \(\sigma\) un réel strictement positif.\\
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle suivant la loi log-normale de paramètres ( \(m, \sigma^{2}\) ).\\
On pourra dans la suite utiliser la variable aléatoire \(Y=\ln (X)\).

\begin{enumerate}
  \item Soit \(a\) et \(b\) deux réels, \(a\) étant différent de 0 . On rappelle que si \(U\) est une variable aléatoire qui suit une loi normale de paramètres \(\left(m, \sigma^{2}\right)\), alors \(a U+b\) suit aussi une loi normale.\\
Quels en sont les paramètres?
  \item Cas où \(m=0\).
\end{enumerate}

On suppose dans cette question 2 que \(X \hookrightarrow \mathscr{L} \mathscr{N}\left(0, \sigma^{2}\right)\).\\
(a) Densité.

Exprimer la fonction de répartition \(F\) de \(X\) en fonction de \(\Phi\).\\
En déduire que \(X\) est une variable aléatoire à densité et que la fonction définie par

\[
x \mapsto\left\{\begin{array}{cl}
\frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(\ln (x))^{2}}{2 \sigma^{2}}\right) & \text { si } x>0 \\
0 & \text { si } x \leqslant 0
\end{array}\right.
\]

est une densité de probabilité de \(X\).\\
(b) Espérance.\\
i. Établir l'existence de \(E(X)\) et l'égalité \(E(X)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \exp \left(-\frac{1}{2}\left(\frac{y^{2}}{\sigma^{2}}-2 y\right)\right) \mathrm{d} y\).\\
ii. En utilisant le changement de variable \(t=\frac{y}{\sigma}-\sigma\), en déduire \(E(X)\) en fonction de \(\sigma\).\\
(c) Variance.\\
i. Soit \(\alpha\) un réel non nul. Montrer que \(X^{\alpha}\) suit une loi log-normale dont on précisera les paramètres.\\
ii. En déduire que \(X\) admet une variance et que \(V(X)=\mathrm{e}^{\sigma^{2}}\left(\mathrm{e}^{\sigma^{2}}-1\right)\).\\
3. On reprend le cas général : \(X \hookrightarrow \mathscr{L} \mathscr{N}\left(m, \sigma^{2}\right)\).\\
(a) Soit \(\mu\) un réel strictement positif.

Montrer que \(\mu X\) suit une loi log-normale de paramètres \(\left(m+\ln (\mu), \sigma^{2}\right)\).\\
(b) Justifier l'existence de \(E(X)\), de \(V(X)\), et établir :

\[
E(X)=\mathrm{e}^{m+\frac{\sigma^{2}}{2}} \quad \text { et } \quad V(X)=\mathrm{e}^{2 m+\sigma^{2}}\left(\mathrm{e}^{\sigma^{2}}-1\right)
\]

\section*{Partie II - Le modèle binomial de Cox-Ross-Rubinstein}
Soit \(n\) un entier naturel non nul.\\
On souhaite modéliser l'évolution du cours d'une action entre les dates 0 et \(t\) fixé, strictement positif. On suppose qu'initialement ce cours est \(S_{0, n}=1\) et si l'on note \(S_{k, n}\) la valeur aléatoire de ce cours à la date \(\frac{k t}{n}, k \in\{1, \ldots, n\}\), on a la relation :

\[
S_{k, n}=S_{k-1, n} \times\left(1+\frac{\mu}{n}+\frac{v}{\sqrt{n}} Y_{k}\right), \quad \text { où }
\]

\begin{itemize}
  \item \(\mu\) est une constante réelle strictement positive liée au rendement moyen de l'action sur une durée égale à \(t\);
  \item \(v\) est une constante réelle strictement positive appelée volatilité de l'action sur la durée \(t\);
  \item \(\left(Y_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}^{*}}\) est une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi uniforme sur \(\{-1,1\}\) (autrement dit, \(P\left(Y_{k}=1\right)=P\left(Y_{k}=-1\right)=\frac{1}{2}\) ).\\
On suppose que \(n\) est assez grand pour que \(1+\frac{\mu}{n}-\frac{v}{\sqrt{n}}>0\).\\
On admet que \(S_{0, n}, \ldots, S_{n, n}\) sont des variables aléatoires discrètes.\\
On note \(C_{n}\) la variable aléatoire \(S_{n, n}\), qui modélise le cours de l'action à l'instant \(t\).
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Simulation de la variable aléatoire \(C_{n}\).\\
(a) Quelles sont les valeurs que peut prendre l'expression Pascal : \(2 *\) random(2)-1?\\
(b) Dans la déclaration de fonction qui suit, remplacer les «... » par des expressions Pascal pour que la fonction ainsi déclarée simule la variable aléatoire \(C_{n}\).
\end{enumerate}

\begin{verbatim}
function C(n:integer;mu,v:real):real;
var k:integer; tmp:real;
begin
    tmp:=1;
    for k:= ... to ... do
        tmp:=tmp* ... ;
    C:= ... ;
end;
\end{verbatim}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item (a) Calculer l'espérance et la variance commune aux \(Y_{k}\).\\
(b) i. Montrer l'égalité : \(C_{n}=\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{\mu}{n}+\frac{v}{\sqrt{n}} Y_{k}\right)\).\\
ii. En déduire que \(E\left(C_{n}\right)=\left(1+\frac{\mu}{n}\right)^{n}\) et \(V\left(C_{n}\right)=\left(\left(1+\frac{\mu}{n}\right)^{2}+\frac{v^{2}}{n}\right)^{n}-\left(1+\frac{\mu}{n}\right)^{2 n}\).\\
(c) Déterminer \(\lim _{n \rightarrow+\infty} E\left(C_{n}\right)\) et montrer que \(\lim _{n \rightarrow+\infty} V\left(C_{n}\right)=\mathrm{e}^{2 \mu}\left(\mathrm{e}^{v^{2}}-1\right)\).
\end{enumerate}

Déterminer les paramètres de la loi log-normale ayant pour espérance la première limite et pour variance la seconde.\\
6. (a) Expliciter un couple de réels \(\left(a_{n}, b_{n}\right)\) tel que:

\[
\forall k \in \llbracket 1, n \rrbracket, \quad \ln \left(1+\frac{\mu}{n}+\frac{v}{\sqrt{n}} Y_{k}\right)=a_{n}+b_{n} Y_{k}
\]

(b) En déduire que \(\ln \left(C_{n}\right)=n a_{n}+b_{n} \sum_{k=1}^{n} Y_{k}\).\\
(c) Établir la convergence en loi, quand \(n\) tend vers \(+\infty\), de \(\frac{1}{\sqrt{n}}\left(Y_{1}+\cdots+Y_{n}\right)\) vers la loi normale centrée réduite. On énoncera précisément le théorème utilisé.\\
7. (a) Rappeler le développement limité à l'ordre 2 de la fonction \(x \mapsto \ln (1+x)\) au voisinage de 0 .\\
(b) Déterminer les développements limités à l'ordre 2 au voisinage de 0 des fonctions \(x \mapsto \ln \left(1+v x+\mu x^{2}\right)\) et \(x \mapsto \ln \left(1-v x+\mu x^{2}\right)\).\\
(c) Montrer que: \(\lim _{n \rightarrow+\infty} n a_{n}=\mu-\frac{v^{2}}{2}\) et \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt{n} b_{n}=v\).

En déduire que \(b_{n}\) est strictement positif à partir d'un certain rang.\\
On suppose dans la suite que cette condition est réalisée.\\
8. On note \(F_{n}\) la fonction de répartition de \(\frac{1}{\sqrt{n}}\left(Y_{1}+\cdots+Y_{n}\right)\) et \(G_{n}\) la fonction de répartition de \(\ln \left(C_{n}\right)\).\\
Soit \(x\) un réel. On pose \(y=\frac{x-\mu+\frac{v^{2}}{2}}{v}\).\\
(a) Soit \(\varepsilon\) un réel strictement positif.\\
i. Établir l'existence d'un réel \(\eta\) strictement positif tel que

\[
\Phi(y)-\frac{\varepsilon}{2} \leqslant \Phi(y-\eta) \leqslant \Phi(y+\eta) \leqslant \Phi(y)+\frac{\varepsilon}{2}
\]

ii. Montrer qu'il existe un entier naturel \(n_{1}\) tel que, pour tout \(n \geqslant n_{1}\) :

\[
y-\eta \leqslant \frac{x-n a_{n}}{\sqrt{n} b_{n}} \leqslant y+\eta
\]

iii. Montrer qu'il existe un entier naturel \(n_{2}\) tel que, pour tout \(n \geqslant n_{2}\) :

\[
F_{n}(y+\eta) \leqslant \Phi(y+\eta)+\frac{\varepsilon}{2} \quad \text { et } \quad F_{n}(y-\eta) \geqslant \Phi(y-\eta)-\frac{\varepsilon}{2}
\]

iv. Montrer que \(G_{n}(x)=F_{n}\left(\frac{x-n a_{n}}{\sqrt{n} b_{n}}\right)\), et en déduire que, pour \(n\) assez grand, on a:

\[
\left|G_{n}(x)-\Phi\left(\frac{x-\mu+\frac{v^{2}}{2}}{v}\right)\right| \leqslant \varepsilon
\]

(b) En conclure que la suite de variables aléatoires \(\left(\ln \left(C_{n}\right)\right)_{n \geqslant 1}\) converge en loi vers une variable aléatoire suivant une loi normale dont on précisera les paramètres.\\
9. Démontrer que \(\left(C_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) converge en loi vers une variable aléatoire de loi log-normale de paramètres \(\left(\mu-\frac{v^{2}}{2}, v^{2}\right)\).

\section*{Partie III - La formule de Black et Scholes}
Soit \(t\) un réel strictement positif.\\
À la date 0 , un investisseur achète sur un marché une option sur une action dont la date d'échéance est \(t\) et le prix d'exercice \(K\), un réel strictement positif.

\begin{itemize}
  \item Si à la date \(t\), le cours \(C\) de l'action est supérieur ou égal à \(K\), il peut acheter l'action au prix \(K\) et la revendre au prix \(C\);
  \item dans le cas contraire, son option n'a plus de valeur à la date \(t\).
\end{itemize}

Le but de cette partie est de donner une valeur raisonnable au prix d'achat de l'option, que l'on note \(\pi_{K}\).

On fait les hypothèses suivantes :

\begin{itemize}
  \item On choisit comme unité le cours de l'action à la date 0 c'est-à-dire qu'à cet instant le cours de l'action vaut 1 .
  \item Le cours de l'action à la date \(t\) est une variable aléatoire \(C\) qui suit une loi log-normale de paramètres \(\left(m, v^{2}\right)\).
  \item On suppose qu'il existe sur le marché un actif non risqué dont le taux de rentabilité entre les dates 0 et \(t\) vaut \(\mathrm{e}^{r}-1\), où \(r\) est un réel strictement positif.
  \item On définit la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\) par, pour tout \(x\) réel, \(f(x)=\max (0, x)\).
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{9}
  \item (a) Justifier que la valeur de l'option à la date \(t\) est \(f(C-K)\).\\
(b) Si au lieu d'acheter l'option, l'investisseur avait placé à la date 0 son prix d'achat \(\pi_{K}\) sur l'actif non risqué, quel serait la valeur de son placement à la date \(t\) ?\\
(c) En déduire qu'il convient de poser \(\pi_{K}=\mathrm{e}^{-r} E(f(C-K))\) si l'on veut que ces deux stratégies aient la même rentabilité moyenne.\\
Dans les questions suivantes, c'est cette valeur de \(\pi_{K}\) que l'on utilise.
  \item (a) Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).\\
(b) Établir l'existence de \(E(f(C-K))\) et l'égalité
\end{enumerate}

\[
E(f(C-K))=\frac{1}{v \sqrt{2 \pi}} \int_{\ln (K)}^{+\infty}\left(\mathrm{e}^{x}-K\right) \exp \left(-\frac{(x-m)^{2}}{2 v^{2}}\right) \mathrm{d} x
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{11}
  \item (a) Montrer l'égalité :
\end{enumerate}

\[
\pi_{K}=\exp \left(m-r+\frac{v^{2}}{2}\right) \Phi\left(\frac{v^{2}+m-\ln (K)}{v}\right)-K \mathrm{e}^{-r} \Phi\left(\frac{m-\ln (K)}{v}\right)
\]

(b) On suppose que \(m=r-\frac{v^{2}}{2}\), ce qui signifie que le rendement moyen de l'action et de l'actif non risqué sont identiques.\\
Établir la formule de Black-Scholes :

\[
\pi_{K}=\Phi\left(\frac{r-\ln (K)}{v}+\frac{v}{2}\right)-K \mathrm{e}^{-r} \Phi\left(\frac{r-\ln (K)}{v}-\frac{v}{2}\right) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{12}
  \item Dans la pratique, le prix de l'option est fixé par le marché et vaut \(x\), où \(x\) est un réel strictement positif. On pose \(\theta=r-\ln (K)\), de sorte que le prix d'échéance vaut \(K=\exp (r-\theta)\).\\
On appelle alors volatilité implicite de l'action, tout réel positif \(v\), s'il en existe, tel que :
\end{enumerate}

\[
x=\Phi\left(\frac{\theta}{v}+\frac{v}{2}\right)-\mathrm{e}^{-\theta} \Phi\left(\frac{\theta}{v}-\frac{v}{2}\right)
\]

On définit alors la fonction \(\Psi: v \mapsto \Phi\left(\frac{\theta}{v}+\frac{v}{2}\right)-\mathrm{e}^{-\theta} \Phi\left(\frac{\theta}{v}-\frac{v}{2}\right)\) sur \(] 0,+\infty[\).\\
(a) Montrer que \(\Psi\) est de classe \(\mathscr{C}^{1}\) sur \(] 0,+\infty[\) et que pour tout \(v>0\),

\[
\Psi^{\prime}(v)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{1}{2}\left(\frac{\theta}{v}+\frac{v}{2}\right)^{2}\right)
\]

Dresser le tableau de variations de \(\Psi\) en y faisant figurer les limites en 0 et en \(+\infty\).\\
On distinguera les cas \(\theta>0\) et \(\theta \leqslant 0\).\\
(b) Déterminer pour quelles valeurs de \(x\) il existe une volatilité implicite et prouver alors qu'elle est unique.\\
En conclure finalement que l'on peut définir la volatilité implicite si et seulement si :

\[
f\left(1-\mathrm{e}^{-\theta}\right)<x<1
\]


\end{document}