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\title{BANQUE COMMUNE D'EPREUVES \\
 CONCOURS D'ADMISSION DE 2013 \\
 Concepteur : ESSEC }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{OPTION ECONOMIQUE}
\section*{MATHEMATIQUES}
Vendredi 10 mai de 14 h à 18 h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Toutes les variables aléatoires de ce problème sont définies sur le même espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ).

\section*{Introduction}
On s'intéresse dans ce problème à la détermination de lois de probabilité composées qui interviennent en particulier dans la gestion du risque en assurance et en théorie de la ruine.

On étudie le modèle suivant :

\begin{itemize}
  \item le nombre de sinistres à prendre en charge par une compagnie d'assurances sur une période donnée est une variable aléatoire \(N\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\);
  \item les coûts des sinistres successifs sont modélisés par une suite de variables aléatoires \(\left(U_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}^{*}}\). On suppose que les variables \(U_{k}\) sont à valeurs dans \(\mathbb{N}\), indépendantes et identiquement distribuées, et sont indépendantes de \(N\);
  \item On pose, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}, X_{n}=\sum_{k=1}^{n} U_{k}\), et \(X_{0}\) est la variable certaine de valeur 0 ;
  \item la charge sinistrale totale pour la compagnie d'assurance sur une période est donnée par la variable aléatoire \(X\) définie par :
\end{itemize}

\[
X=\sum_{k=1}^{N} U_{k}
\]

et l'on précise que \(X=X_{0}=0\) si \(N\) prend la valeur 0 .\\
On dit que \(X\) suit une loi composée.

\begin{itemize}
  \item Pour tout entier naturel \(j\), on pose \(p_{j}=P(N=j), q_{j}=P\left(U_{1}=j\right)\) et \(r_{j}=P(X=j)\).
\end{itemize}

\[
1 / 5
\]

\section*{Partie I - Des exemples}
Dans cette partie I, on suppose que les variables \(U_{k}\) suivent la loi de Bernoulli de paramètre \(p\), où \(p\) est un réel de l'intervalle \(] 0,1[\).

\begin{enumerate}
  \item Pour \(n\) dans \(\mathbb{N}^{*}\), quelle est la loi de \(X_{n}\) ?
  \item Pour tout entier naturel \(j\), établir : \(r_{j}=\sum_{n=0}^{+\infty} P\left(X_{n}=j\right) p_{n}\).
  \item Dans cette question 3 , on suppose que \(N\) suit la loi binomiale de paramètres \(m\), entier naturel, et \(\pi\), réel dans \(] 0,1[\).\\
Soit \(j\) un entier naturel.\\
(a) Justifier que \(r_{j}=0\) si \(j>m\).\\
(b) Établir : si \(j \in \llbracket 0, m \rrbracket, r_{j}=\sum_{n=j}^{m}\binom{n}{j} p^{j}(1-p)^{n-j}\binom{m}{n} \pi^{n}(1-\pi)^{m-n}\).\\
(c) Vérifier : pour tous entiers \(j, n, m\) tels que \(0 \leqslant j \leqslant n \leqslant m,\binom{n}{j}\binom{m}{n}=\binom{m}{j}\binom{m-j}{n-j}\).\\
(d) En déduire, pour tout \(j \in \llbracket 0, m \rrbracket: r_{j}=\binom{m}{j}(p \pi)^{j} \sum_{\ell=0}^{m-j}\binom{m-j}{\ell}[(1-p) \pi]^{\ell}(1-\pi)^{m-j-\ell}\).\\
(e) Montrer finalement que \(X\) suit une loi binomiale et préciser ses paramètres en fonction de \(m, p\) et \(\pi\).
  \item On suppose dans cette question 4 que \(N\) suit la loi de Poisson de paramètre \(\lambda\), réel strictement positif.\\
(a) Montrer que pour tout entier naturel \(j\), on a :
\end{enumerate}

\[
r_{j}=\mathrm{e}^{-\lambda} \frac{(\lambda p)^{j}}{j!} \sum_{n=j}^{+\infty} \frac{1}{(n-j)!}[\lambda(1-p)]^{n-j}
\]

(b) En déduire que \(X\) suit une loi de Poisson, et préciser son paramètre en fonction de \(p\) et \(\lambda\).

\section*{Partie II - La loi binomiale négative}
On généralise la définition des coefficients binômiaux aux nombres réels en posant, pour tout \(y\) réel et tout entier \(k \in \mathbb{N}^{*}:\binom{y}{k}=\frac{1}{k!} \prod_{i=0}^{k-1}(y-i)\), et \(\binom{y}{0}=1\).\\
5. Écrire une fonction récursive en Pascal d'entête function cb(y:real;k:integer):real qui calcule \(\binom{y}{k}\).\\
6. La formule du binôme négatif.

Soit \(c\) un réel strictement positif, et \(x\) un réel de \([0,1[\).\\
(a) Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(I_{n}=\int_{0}^{x} \frac{(x-t)^{n}}{(1-t)^{c+n+1}} \mathrm{~d} t\).

En utilisant une formule de Taylor, établir :

\[
\forall n \in \mathbb{N}, \quad \frac{1}{(1-x)^{c}}=\sum_{k=0}^{n}\binom{c+k-1}{k} x^{k}+c\binom{c+n}{n} I_{n}
\]

(b) Vérifier que pour tout \(t \in[0, x]: 0 \leqslant \frac{x-t}{1-t} \leqslant x\).

En déduire l'encadrement : \(0 \leqslant I_{n} \leqslant \frac{x^{n+1}}{(1-x)^{c+1}}\).\\
(c) i. Montrer, pour tout \(n\) dans \(\mathbb{N}^{*}:\binom{c+n}{n}=\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{c}{k}\right)\).\\
ii. Montrer que pour tout réel \(t\) positif, \(\ln (1+t) \leqslant t\).\\
iii. Établir, pour tout entier naturel \(k \geqslant 2: \frac{1}{k} \leqslant \ln k-\ln (k-1)\).

En déduire: \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \leqslant 1+\ln n\).\\
iv. Montrer que pour tout \(n\) dans \(\mathbb{N}^{*}: \ln \left[\binom{c+n}{n}\right] \leqslant c(1+\ln n)\).

En déduire : \(\lim _{n \rightarrow+\infty}\binom{c+n}{n} x^{n+1}=0\).\\
(d) En conclure que la série \(\sum_{k \geqslant 0}\binom{c+k-1}{k} x^{k}\) est convergente, et établir la formule du binôme négatif :

\[
\sum_{k=0}^{+\infty}\binom{c+k-1}{k} x^{k}=\frac{1}{(1-x)^{c}}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{6}
  \item Soit \(p\) un réel de \(] 0,1\left[\right.\) et \(r\) un réel strictement positif. Montrer que la suite de nombres \(\left(p_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}\) définie par \(p_{k}=\binom{r+k-1}{k}(1-p)^{k} p^{r}\) définit une loi de probabilité d'une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}\). On l'appelle loi binomiale négative de paramètres \(r\) et \(p\).
  \item Si \(Y\) est une variable aléatoire suivant la loi binomiale négative de paramètres 1 et \(p\), reconnaître la loi de \(Y+1\).
  \item Espérance et variance.
\end{enumerate}

Soit \(Z\) une variable aléatoire suivant la loi binomiale négative de paramètres \(r\) réel strictement positif et \(p \in] 0,1[\).\\
(a) Montrer : pour tout entier \(k \geqslant 1, \quad k\binom{r+k-1}{k}=r\binom{r+k-1}{k-1}\).\\
(b) Montrer que \(Z\) admet une espérance et que l'on a : \(E(Z)=\frac{r(1-p)}{p}\).\\
(c) Montrer que \(Z\) admet une variance et que l'on a : \(V(Z)=\frac{r(1-p)}{p^{2}}\).

On pourra commencer par calculer l'espérance de \(Z(Z-1)\).

\section*{Partie III - Les lois de Panjer}
On reprend les notations du début du problème : la variable aléatoire \(N\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\) a sa loi donnée par \(p_{k}=P(N=k)\) pour \(k \in \mathbb{N}\).

On suppose dans toute la suite du sujet que la loi de \(N\) vérifie la relation de Panjer : il existe deux réels \(a\) et \(b\), avec \(a<1\) et \(a+b>0\), tels que

\[
\forall k \in \mathbb{N}^{*}, \quad p_{k}=\left(a+\frac{b}{k}\right) p_{k-1}
\]

On dira alors que \(N\) suit la loi \(\mathcal{P}(a, b)\).\\
10. Détermination des lois de Panjer.\\
(a) Montrer que pour tout entier \(k\) strictement positif, on a : \(p_{k}=p_{0} \prod_{i=1}^{k}\left(a+\frac{b}{i}\right)\).\\
(b) Dans cette question, on suppose que \(a=0\).

Montrer que \(N\) suit une loi de Poisson de paramètre \(b\).\\
(c) Dans cette question, on suppose que \(a<0\).\\
i. Montrer qu'il existe un unique entier naturel \(r\), tel que : \(\forall k>r, p_{k}=0\) et \(\forall k \leqslant r\), \(p_{k} \neq 0\).\\
On pourra raisonner par l'absurde, et supposer les \(p_{k}\) tous strictement positifs.\\
ii. Montrer : \(b=-a(r+1)\).\\
iii. Établir que pour tout \(k \in \llbracket 0, r \rrbracket, p_{k}=(-a)^{k}\binom{r}{k} p_{0}\).

En déduire que \(p_{0}=\frac{1}{(1-a)^{r}}\).\\
iv. En conclure que \(N\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres en fonction de \(a\) et \(b\).\\
(d) Dans cette question, on suppose que \(a>0\).\\
i. Montrer que pour tout entier naturel \(k\), on a : \(p_{k}=\binom{\frac{b}{a}+k}{k} a^{k} p_{0}\).\\
ii. En déduire que \(N\) suit une loi binomiale négative et préciser ses paramètres en fonction de \(a\) et \(b\).\\
11. Montrer que, dans tous les cas, \(N\) admet une espérance et une variance, et qu'elles sont données par : \(E(N)=\frac{a+b}{1-a}\) et \(V(N)=\frac{a+b}{(1-a)^{2}}\).

\section*{Partie IV - L'algorithme de Panjer}
\begin{itemize}
  \item On reprend les notations de l'introduction du sujet et de la partie III.
  \item Si \(A\) est un événement et \(Y\) une variable aléatoire, on note, si elle existe, \(E_{A}(Y)\) l'espérance de la loi conditionnelle de \(Y\) sachant \(A\).
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{11}
  \item Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), exprimer \(P\left(X_{n}=0\right)\) en fonction de \(q_{0}\) puis établir que \(r_{0}=\sum_{n=0}^{+\infty} q_{0}{ }^{n} p_{n}\).
  \item Soit \(j \in \mathbb{N}^{*}\).\\
(a) Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\), que vaut \(E_{\left(X_{n}=j\right)}\left(X_{n}\right)\) ? En déduire : \(E_{\left(X_{n}=j\right)}\left(U_{1}\right)=\frac{j}{n}\).\\
(b) Établir : \(r_{j}=\sum_{n=1}^{+\infty} P\left(X_{n}=j\right)\left(a+\frac{b}{n}\right) p_{n-1}=\sum_{n=1}^{+\infty} E_{\left(X_{n}=j\right)}\left(a+\frac{b}{j} U_{1}\right) P\left(X_{n}=j\right) p_{n-1}\).\\
(c) Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) :
\end{enumerate}

\[
E_{\left(X_{n}=j\right)}\left(a+\frac{b}{j} U_{1}\right) P\left(X_{n}=j\right)=\sum_{i=0}^{j}\left(a+\frac{b i}{j}\right) P\left(U_{1}=i\right) P\left(X_{n-1}=j-i\right) .
\]

(d) En conclure : \(r_{j}=\sum_{i=0}^{j}\left(a+\frac{b i}{j}\right) q_{i} r_{j-i}\), puis :

\[
r_{j}=\frac{1}{1-a q_{0}}\left(\sum_{i=1}^{j}\left(a+\frac{b i}{j}\right) q_{i} r_{j-i}\right) .
\]

Cette formule permet de calculer récursivement les nombres \(r_{j}\) et ainsi de déterminer la loi de \(X\).\\
14. Des exemples d'application.\\
(a) Dans cette question, les variables \(U_{i}\) suivent la loi de Bernoulli de paramètre \(p\).\\
i. Montrer que pour tout \(j \in \mathbb{N}^{*}, r_{j}=\frac{p}{1-a+a p}\left(a+\frac{b}{j}\right) r_{j-1}\).

En déduire que \(X\) suit une loi de Panjer.\\
ii. Retrouver les résultats des questions 3 et 4 de la partie I.\\
(b) Dans cette question, on suppose que \(a=0\), rappelons que cela entraîne que \(N\) suit la loi de Poisson de paramètre \(b\).\\
Soit \(p\) un réel de l'intervalle \(] 0,1[\).\\
i. Montrer qu'il existe un unique réel \(\alpha\) tel que la famille de nombre \(\left(q_{i}\right)_{i \in \mathbb{N}^{*}}\) définie par \(q_{i}=\alpha \frac{p^{i}}{i}\) définisse une loi de probabilité d'un variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}^{*}\) (loi logarithmique discrète). On pose \(q_{0}=0\).\\
On suppose que les variables \(U_{k}\) suivent cette loi de probabilité.\\
ii. Montrer que pour tout entier \(j \geqslant 1\), on a : \(r_{j}=\frac{b \alpha}{j} \sum_{i=1}^{j} p^{i} r_{j-i}\).\\
iii. En utilisant un changement d'indice, établir pour tout \(j \geqslant 2: r_{j}=\left(p+\frac{p(b \alpha-1)}{j}\right) r_{j-1}\), puis montrer que cette égalité est encore vérifiée pour \(j=1\).\\
iv. Conclure que \(X\) suit une loi binomiale négative et préciser ses paramètres en fonction de \(b, \alpha\) et \(p\).


\end{document}