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\title{Concours d'admission de 2014 }

\author{Conception : ESSEC}
\date{}


\begin{document}
\maketitle


\section*{OPTION ECONOMIQUE}
\section*{MATHÉMATIQUES}
Vendredi 9 mai 2014, de 14 h. à 18 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Ce problème est constitué de trois parties. Les résultats de la partie 1 sont utilisés dans les parties 2 et 3 . Les parties 2 et 3 sont indépendantes entre elles.

Dans tout le sujet, \(I=] a, b[\) est un intervalle ouvert non vide de \(\mathbb{R}\), où \(a\) et \(b\) sont réels ou infinis. On dit qu'une densité de probabilité \(f\) vérifie l'hypothèse \(\operatorname{CSP}(I)\) lorsque \(f\) est :

\begin{itemize}
  \item continue sur \(I\);
  \item strictement positive sur \(I\);
  \item nulle en dehors de \(I\).
\end{itemize}

On écrira alors simplement : \(f\) est \(\operatorname{CSP}(I)\).\\
On admettra que les principaux résultats du cours concernant l'indépendance des variables aléatoires discrètes s'appliquent également aux variables aléatoires continues.

\section*{Partie 1 - Calcul d'une probabilité}
On considère dans cette partie :

\begin{itemize}
  \item \(X\) une variable aléatoire réelle continue à valeurs dans \(I\), de fonction de répartition \(F\) et admettant une densité de probabilité \(f\) qui est \(\operatorname{CSP}(I)\).
  \item \(U\) une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur \(] 0,1[\) et qui est indépendante de \(X\).
  \item \(h\) une fonction continue sur \(I\) à valeurs dans \([0,1]\).
\end{itemize}

On se propose d'établir la formule suivante :

\[
P([U \leqslant h(X)])=P([U<h(X)])=\int_{a}^{b} f(t) h(t) \mathrm{d} t
\]

On définit sur \(I\) la fonction \(\Psi\) par : \(\forall x \in I, \Psi(x)=P([X \leqslant x] \cap[U \leqslant h(X)])\).

\begin{enumerate}
  \item Pour tous réels \(x\) et \(y\) dans \(I\) tels que \(x<y\), on pose \(M(x, y)=\max _{t \in[x, y]} h(t)\) et \(m(x, y)=\min _{t \in[x, y]} h(t)\).\\
(a) Soit \(x\) dans \(I\). Justifier que pour tout \(y\) dans l'intervalle \(] x, b\left[\right.\), il existe \(\alpha_{y}\) dans l'intervalle \([x, y]\) tel que \(M(x, y)=h\left(\alpha_{y}\right)\).\\
(b) En déduire: \(\lim _{\substack{y \rightarrow x \\ y>x}} M(x, y)=h(x)\).\\
(c) Montrer de même que pour tout \(y\) dans \(I, \lim _{\substack{x \rightarrow y \\ x<y}} M(x, y)=h(y)\).
\end{enumerate}

On montrerait de manière analogue (on ne demande pas de le vérifier) : \(\lim _{\substack{y \rightarrow x \\ y>x}} m(x, y)=h(x)\) et \(\lim _{\substack{x \rightarrow y \\ x<y}} m(x, y)=h(y)\).\\
2. Soit \(x\) et \(y\) des réels de \(I\) tels que \(x<y\).\\
(a) Établir l'inclusion suivante entre événements :

\[
[x<X \leqslant y] \cap[U \leqslant h(X)] \subset[x<X \leqslant y] \cap[U \leqslant M(x, y))]
\]

En déduire l'inégalité :

\[
\Psi(y)-\Psi(x) \leqslant(F(y)-F(x)) M(x, y)
\]

(b) Établir une minoration analogue pour \(\Psi(y)-\Psi(x)\), puis l'encadrement

\[
\frac{F(y)-F(x)}{y-x} m(x, y) \leqslant \frac{\Psi(y)-\Psi(x)}{y-x} \leqslant \frac{F(y)-F(x)}{y-x} M(x, y)
\]

(c) Montrer que \(\Psi\) est dérivable sur \(I\), et exprimer sa dérivée en fonction de \(f\) et \(h\).\\
3. (a) En déduire que, pour tout \(x\) et \(y\) dans \(I\) :

\[
\Psi(y)-\Psi(x)=\int_{x}^{y} f(t) h(t) \mathrm{d} t
\]

(b) Établir : pour tout \(x\) dans \(I, \Psi(x) \leqslant F(x)\), puis montrer : \(\lim _{x \rightarrow a} \Psi(x)=0\). En déduire :

\[
\forall x \in I, \quad \Psi(x)=\int_{a}^{x} f(t) h(t) \mathrm{d} t
\]

(c) Établir : pour tout \(x\) dans \(I, P([X>x] \cap[U \leqslant h(X)])=P([U \leqslant h(X)])-\Psi(x)\).

En déduire : \(\lim _{x \rightarrow b} \Psi(x)=P([U \leqslant h(X)])\), puis

\[
P([U \leqslant h(X)])=\int_{a}^{b} f(t) h(t) \mathrm{d} t
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Montrer que \(P([U<h(X)])=1-P([1-U \leqslant 1-h(X)])\), et en déduire
\end{enumerate}

\[
P([U<h(X)])=\int_{a}^{b} f(t) h(t) \mathrm{d} t
\]

\section*{Partie 2 - Le modèle économique de Leontiev fermé}
Soit \(\alpha\) et \(\beta\) deux nombres réels appartenant à l'intervalle \(] 0,1[\).\\
On s'intéresse à un modèle économique composé de trois secteurs d'activité \(S_{1}, S_{2}\) et \(S_{3}\). On suppose que :

\begin{itemize}
  \item pour produire une unité de biens du secteur 1 , il faut \(\alpha\) unités du secteur 1 et \(\alpha\) unités du secteur 2 .
  \item pour produire une unité de biens du secteur 2 , il faut \(\beta\) unités du secteur 1 et \(\alpha\) unités du secteur 3 .
  \item pour produire une unité de biens du secteur 3, il faut \(\beta\) unités du secteur 2 et \(\beta\) unités du secteur 3 . On dira que ce modèle est viable s'il existe des quantités de productions \(x_{1}, x_{2}\) et \(x_{3}\) des secteurs respectifs \(S_{1}, S_{2}\) et \(S_{3}\), strictement positives et telles que chaque secteur soit excédentaire en quantité.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item (a) Montrer que le modèle est viable si et seulement s'il existe \(x_{1}>0, x_{2}>0, x_{3}>0\) tels que :
\end{enumerate}

\[
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}>\alpha x_{1}+\beta x_{2} \\
x_{2}>\alpha x_{1}+\beta x_{3} \\
x_{3}>\alpha x_{2}+\beta x_{3}
\end{array}\right.
\]

(b) On considère la matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}\alpha & \beta & 0 \\ \alpha & 0 & \beta \\ 0 & \alpha & \beta\end{array}\right)\). Montrer que le modèle est viable si et seulement s'il existe une matrice colonne \(X\) à composantes strictement positives telle que la matrice colonne \(X-A X\) n'a que des composantes strictement positives.\\
6. (a) Vérifier que \(\alpha+\beta\) est valeur propre de \(A\) et déterminer le sous-espace vectoriel associé.\\
(b) En déduire que si \(\alpha+\beta<1\), alors le modèle est viable.

On admet pour la suite que le modèle est viable si et seulement si le spectre de \(A\) est inclus dans \(]-1,1\) [.\\
7. (a) Montrer que le modèle est viable si et seulement si \(\alpha+\beta<1\).\\
(b) Déterminer les valeurs propres de \(A\) autres que \(\alpha+\beta\), et vérifier qu'elles sont dans l'intervalle ] \(-1,1[\).\\
8. On suppose, dans cette question, seulement que \(\alpha\) est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur \(] 0,1[\) et que \(\beta\) est une variable aléatoire à valeurs dans \(] 0,1[\), admettant une densité de probabilité \(f\) qui est \(\operatorname{CSP}(] 0,1[)\).\\
En utilisant les résultats de la partie 1, montrer que la probabilité que le modèle soit viable vaut \(1-E(\beta)\).\\
9. On suppose désormais que \(\alpha\) et \(\beta\) sont tels que le modèle est viable. Pour \(i=1,2\) ou 3 , on note \(y_{i}\) le coût de production d'une unité de bien dans le secteur \(i\), et \(y_{i}+z_{i}\) le prix de vente d'une unité de bien du secteur \(i\). La marge \(z_{i}\) est appliquée uniquement en cas de vente à un autre secteur, l'achat à l'intérieur d'un même secteur se faisant au prix coûtant \(y_{i}\).\\
On définit les deux matrices lignes : \(Y=\left(\begin{array}{lll}y_{1} & y_{2} & y_{3}\end{array}\right)\) et \(Z=\left(\begin{array}{lll}z_{1} & z_{2} & z_{3}\end{array}\right)\) ainsi que la matrice carrée \(B=\left(\begin{array}{ccc}0 & \beta & 0 \\ \alpha & 0 & \beta \\ 0 & \alpha & 0\end{array}\right)\).\\
(a) Établir la relation matricielle (1) : \(Y=Y A+Z B\).\\
(b) Justifier sans calculs l'inversibilité de \(I_{3}-A\).

En déduire que pour \(Z\) fixé, il existe un unique \(Y\) vérifiant la relation (1).

\section*{Partie 3 - Simulation de variables aléatoires}
La plupart des langages informatiques possèdent un générateur de nombres aléatoires. En Pascal par exemple, on dispose de l'instruction random. Ces générateurs produisent une suite de variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur ] \(0,1[\).\\
On propose dans la suite deux méthodes permettant de simuler des lois continues quelconques en utilisant ces générateurs aléatoires.

Jusqu'à la fin du problème : on note \(Z\) une variable aléatoire continue à valeurs dans \(I\), de fonction de répartition \(G\) et admettant une densité \(g\) qui est \(\operatorname{CSP}(I)\).

\section*{3a - Simulation par la méthode d'inversion}
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{9}
  \item (a) On note \(H\) la restriction de \(G\) à \(I\). Montrer que \(H\) réalise une bijection de \(I\) sur \(] 0,1[\). On note \(H^{-1}\) la bijection réciproque. Dresser le tableau de variations de \(H^{-1}\),\\
Soit \(U\) une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \(] 0,1\) [. On pose \(X=H^{-1}(U)\), et on note \(F\) la fonction de répartition de \(X\).\\
(b) Montrer que pour tout \(x\) dans \(I, F(x)=G(x)\).\\
(c) En déduire que \(X\) suit la même loi que \(Z\).
  \item Simulation de lois exponentielles.
\end{enumerate}

On suppose dans cette question que \(Z\) suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda>0\).\\
(a) Expliciter l'intervalle \(I\) et les fonctions \(g, G\) et \(H^{-1}\).\\
(b) Écrire une fonction en Pascal d'en-tête function expo(lambda:real):real qui simule la loi exponentielle.\\
12. Simulation de la loi de Laplace.

On cherche dans cette question à simuler une variable aléatoire de densité \(g\) donnée par :

\[
\forall x \in \mathbb{R}, \quad g(x)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-|x|} \quad \text { (densité de Laplace). }
\]

Soit \(Y\) une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre 1.\\
Soit \(V\) une variable aléatoire indépendante de \(Y\) suivant la loi uniforme sur \(\{-1,1\}\), ce qui signifie \(P([V=-1])=P([V=1])=\frac{1}{2}\).\\
On pose \(X=V Y\).\\
(a) Vérifier que \(g\) est une densité de probabilité qui est \(\operatorname{CSP}(\mathbb{R})\).\\
(b) Établir :

\begin{itemize}
  \item pour tout \(x \geqslant 0, P([X>x])=\frac{1}{2} P([Y>x])\);
  \item pour tout \(x \leqslant 0, P([X \leqslant x])=\frac{1}{2} P([Y \geqslant-x])\).\\
(c) En déduire une expression de la fonction de répartition de \(X\).\\
(d) Conclure que \(X\) est une variable aléatoire continue admettant \(g\) comme densité.\\
(e) Compléter la fonction Pascal suivante pour qu'elle simule la loi de Laplace :
\end{itemize}

\begin{verbatim}
function laplace:real;
var y,v:real;
begin
    y:=expo(1);
    v:=random;
    if ... then
        laplace:=y
    else
        laplace:=...;
end;
\end{verbatim}

\section*{3b - Simulation par la méthode du rejet}
Dans la méthode dite du rejet, pour simuler la loi de \(Z\) de densité \(g\) (voir les notations en préambule de la partie 3), on commence par déterminer une loi de probabilité que l'on sait simuler, de densité \(f\) qui est \(\operatorname{CSP}(I)\), et qui vérifie : il existe une constante \(c>0\) telle que \(\forall x \in I, g(x) \leqslant c f(x)\).\\
13. Montrer qu'il existe une fonction \(h\) continue sur \(I\) et à valeurs dans \([0,1]\) telle que, pour tout \(x \in I, g(x)=c f(x) h(x)\).\\
On considère alors :

\begin{itemize}
  \item une suite de variables aléatoires \(\left(U_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}^{*}}\) qui suivent la loi uniforme sur \(] 0,1[\).
  \item une suite de variables aléatoires \(\left(X_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}^{*}}\) à valeurs dans \(] a, b[\), ayant toutes la même loi de densité de probabilité \(f\) et de fonction de répartition \(F\).\\
On suppose de plus que pour tout entier \(n \geqslant 1\), les variables \(X_{1}, \ldots, X_{n}, U_{1}, \ldots, U_{n}\) sont mutuellement indépendantes.\\
On définit \(N\) la variable aléatoire prenant comme valeur le premier indice \(k\) vérifiant \(U_{k} \leqslant h\left(X_{k}\right)\).
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{13}
  \item En utilisant la partie 1, prouver l'égalité, pour tout \(k \in \mathbb{N}^{*}, P\left(\left[U_{k} \leqslant h\left(X_{k}\right)\right]\right)=\frac{1}{c}\).
\end{enumerate}

En déduire que \(N\) suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre, l'espérance et la variance.\\
On définit la variable aléatoire \(X\) commé étant la valeur de \(X_{N}\), c'est-à-dire la valeur de \(X_{k}\) pour le premier indice \(k\) vérifiant \(U_{k} \leqslant h\left(X_{k}\right)\).\\
15. Soit \(x \in I\).\\
(a) Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\).

Exprimer l'événement \([X \leqslant x] \cap[N=n]\) à partir des événements \(\left[X_{n} \leqslant x\right] \cap\left[U_{n} \leqslant h\left(X_{n}\right)\right]\) et \(\left[U_{k}>h\left(X_{k}\right)\right]\) pour \(k \in \llbracket 1, n-1 \rrbracket\).\\
(b) En utilisant la question 3.(b), montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) :

\[
P\left(\left[X_{n} \leqslant x\right] \cap\left[U_{n} \leqslant h\left(X_{n}\right)\right]\right)=\frac{1}{c} G(x) .
\]

(c) En déduire \(P([X \leqslant x] \cap[N=n])\) en fonction de \(c\) et de \(G(x)\).\\
(d) Montrer finalement : \(P([X \leqslant x])=G(x)\).\\
16. Conclure.\\
17. Simulation de la loi normale.

Dans cette question, \(Z\) suit la loi normale centrée et réduite, donc \(I=\mathbb{R}\).\\
Soit \(f\) la densité de Laplace (question 12), définie par \(\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-|x|}\).\\
(a) Donner une densité \(g\) de \(Z\) qui est \(\operatorname{CSP}(\mathbb{R})\).\\
(b) Étudier les variations sur \(\left[0,+\infty\left[\right.\right.\) de la fonction \(a: x \mapsto \mathrm{e}^{x-\frac{x^{2}}{2}}\).\\
(c) Expliciter une constante \(c>0\) telle que, pour tout \(x \geqslant 0: g(x) \leqslant \frac{c}{2} \mathrm{e}^{-x}\).\\
(d) En déduire que pour tout \(x\) réel, \(g(x) \leqslant c f(x)\).\\
(e) Expliquer alors comment mettre en place la méthode du rejet pour simuler la loi normale centrée et réduite. On explicitera en particulier la fonction \(h\) introduite à la question 13.\\
(f) Compléter la fonction Pascal suivante pour qu'elle simule la loi normale centrée réduite :

\begin{verbatim}
function normale:real;
var x,u:real;
begin
    repeat
        x:=laplace;
        u:=random;
    until ...
    normale:=...;
end;
\end{verbatim}


\end{document}