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\title{Conception : ESSEC }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{OPTION Economique}
\section*{MATHÉMATIQUES}
\section*{Vendredi 6 mai 2016, de 14 h. à 18 h.}
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une régle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

On s'intéresse dans ce problème à deux mesures du risque utilisées par les marchés financiers.\\
Pour cela, on considère des variables aléatoires sur un espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}\) ) qui modélisent des pertes financières subies par des acteurs économiques sur une période donnée.\\
Toutes les variables aléatoires définies dans ce problème sont des variables aléatoires sur cet espace probabilisé.

Soit \(\mathcal{D}\) l'ensemble des variables aléatoires réelles à densité \(X\) vérifiant :

\begin{itemize}
  \item \(X\) admet une espérance, notée \(\mathbb{E}(X)\).
  \item Il existe un intervalle \(I_{X}\) (dont on admet l'unicité) sur lequel la fonction de répartition de \(X\), notée \(F_{X}\), réalise une bijection de classe \(\mathcal{C}^{1}\) strictement croissante de \(I_{X}\) sur \(] 0,1[\).\\
On note \(G_{X}\) la bijection réciproque, définie de \(] 0,1\left[\right.\) sur \(I_{X}\). Les notations \(F_{X}\) et \(G_{X}\) seront utilisées dans tout le sujet.
\end{itemize}

Dans tout le problème \(\beta\) est un réel appartenant à \([0,1[\) et représentant un niveau de confiance.

\section*{Partie I - Définition et propriétés de la «Value at Risk»}
\begin{enumerate}
  \item Soit \(X \in \mathcal{D}\). Montrer qu'il existe un unique réel \(v\) tel que \(\mathbb{P}([X \leqslant v])=\beta\), et que l'on a : \(v=G_{X}(\beta)\).
\end{enumerate}

\begin{itemize}
  \item On définit alors \(r_{\beta}(X)\), appelé la «Value at Risk» au niveau de confiance \(\beta\) de \(X\), par \(r_{\beta}(X)=G_{X}(\beta)\). C'est une grandeur qui permet d'évaluer le risque pris par l'acteur qui détient l'actif dont les pertes sont modélisées par \(X\).
  \item On remarque que \(r_{\beta}(X)\) est égale au capital minimal qu'il faut détenir pour être en mesure de couvrir les pertes de l'actif associé à \(X\) avec une probabilité égale à \(\beta\).
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item On suppose que dans cette question que \(X\) est une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \(\lambda \in] 0,+\infty[\).\\
(a) Rappeler la valeur de \(F_{X}(x)\) pour tout réel \(x\).\\
(b) En déduire que \(X \in \mathcal{D}\), et que l'on a \(r_{\beta}(X)=-\frac{1}{\lambda} \ln (1-\beta)\).
  \item On suppose dans cette question que \(X\) et \(Y\) sont deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi normale de paramètres \(m\) et \(\sigma^{2}\) pour \(X\), et de paramètres \(\mu\) et \(s^{2}\) pour \(Y\).\\
On note \(\Phi\) la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite et \(\varphi\) la densité usuelle de cette loi.\\
(a) i. Justifier que \(\Phi\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(] 0,1\) [. On note \(\Phi^{-1}\) la bijection réciproque.\\
ii. Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), exprimer \(F_{X}(x)\) en fonction de \(\Phi, m, \sigma\) et \(x\).\\
iii. En déduire que \(X \in \mathcal{D}\) et que \(r_{\beta}(X)=m+\sigma \Phi^{-1}(\beta)\).\\
(b) Quelle est la loi de \(X+Y\) ?
\end{enumerate}

En déduire \(r_{\beta}(X+Y)\) en fonction de \(m, \mu, \sigma, s\) et \(\beta\).\\
(c) Pour quels \(\beta \in] 0,1\left[\right.\) a-t-on \(r_{\beta}(X+Y) \leqslant r_{\beta}(X)+r_{\beta}(Y)\) ?\\
4. Soit \(X\) une variable aléatoire appartenant à \(\mathcal{D}, c\) un réel, et \(\lambda\) un réel strictement positif.

On pose \(Y=X+c\) et \(Z=\lambda X\) et on admet que \(Y\) et \(Z\) appartiennent à \(\mathcal{D}\).\\
(a) Montrer que \(r_{\beta}(Y)=r_{\beta}(X)+c\).\\
(b) Montrer que \(r_{\beta}(Z)=\lambda r_{\beta}(X)\).\\
5. Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires appartenant à \(\mathcal{D}\) et telles que pour tout \(\omega \in \Omega, X(\omega) \leqslant Y(\omega)\).\\
(a) Comparer, pour tout réel \(x, F_{X}(x)\) et \(F_{Y}(x)\).\\
(b) En déduire que \(r_{\beta}(X) \leqslant r_{\beta}(Y)\).

\section*{Partie II - Estimation de la valeur de \(r_{\beta}(X)\)}
Dans la pratique la loi de \(X\) n'est pas totalement connue et on a besoin d'avoir une idée assez précise de la «Value at Risk» ne connaissant qu'un certain nombre de valeurs de cette variable.

On modélise cette situation en supposant, dans cette partie, que la loi de \(X\) dépend d'un paramètre \(\theta\) inconnu appartenant à un sous-ensemble \(\Theta\) de \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{R}^{2}\), que \(r_{\beta}(X)=g(\theta)\) où \(g\) est une fonction définie sur \(\Theta\) et que pour tout \(\theta \in \Theta, X \in \mathcal{D}\).

On utilise aussi les hypothèses et notations suivantes:

\begin{itemize}
  \item \(\left(X_{k}\right)_{k \geqslant 1}\) est une suite de variables aléatoires réelles appartenant à \(\mathcal{D}\), mutuellement indépendantes, de même loi que \(X\).
  \item pour tout \(\omega \in \Omega\) et \(n \in \mathbb{N}^{*}\), on ordonne \(X_{1}(\omega), \ldots, X_{n}(\omega)\) dans l'ordre croissant et on note alors \(X_{1, n}(\omega), \ldots, X_{n, n}(\omega)\) les valeurs obtenues.\\
En particulier \(X_{1, n}(\omega)\) est la plus petite des valeurs \(X_{1}(\omega), \ldots, X_{n}(\omega)\) et \(X_{n, n}(\omega)\) la plus grande.
  \item on admet que pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et \(k \in \llbracket 1, n \rrbracket\), les \(X_{k, n}\) sont des variables aléatoires.
  \item pour tout réel \(x\) et tout entier naturel non nul \(n\), on définit la variable aléatoire \(N_{x, n}\) ainsi : pour tout \(\omega \in \Omega, N_{x, n}(\omega)\) est le nombre d'indices \(k\) compris entre 1 et \(n\) tels que l'on ait \(X_{k}(\omega) \leqslant x\).
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\) et tout \(n \in \mathbb{N}^{*}, N_{x, n}\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. En déduire l'espérance et la variance de \(N_{x, n}\).
  \item Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\) et \(\varepsilon>0\) :
\end{enumerate}

\[
\lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{P}\left(\left[\left|\frac{N_{x, n}}{n}-F_{X}(x)\right| \geqslant \varepsilon\right]\right)=0 .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{7}
  \item Soit \(x \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb{N}^{*}\).\\
(a) Montrer que pour tout \(k \in \llbracket 1, n \rrbracket\), il y a égalité entre les événements \(\left[X_{k, n} \leqslant x\right]\) et \(\left[N_{x, n} \geqslant k\right]\).\\
(b) En déduire que pour tout \(k \in \llbracket 1, n \rrbracket\) :
\end{enumerate}

\[
\mathbb{P}\left(\left[X_{k, n} \leqslant x\right]\right)=\sum_{r=k}^{n}\binom{n}{r}\left(F_{X}(x)\right)^{r}\left(1-F_{X}(x)\right)^{n-r}
\]

et que \(X_{k, n}\) est une variable aléatoire réelle à densité.\\
9. Soit \(\left(U_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) une suite de variables aléatoires et \(c\) un réel. On suppose que pour tout \(\varepsilon>0\) :

\[
\lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{P}\left(\left[\left|U_{n}-c\right| \geqslant \varepsilon\right]\right)=0 .
\]

On considère \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) une suite convergente de réels et on pose \(\ell=\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}\).\\
(a) Établir que : \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{P}\left(\left[U_{n} \geqslant t\right]\right)= \begin{cases}0 & \text { si } t>c \\ 1 & \text { si } t<c .\end{cases}\)\\
(b) On suppose que \(\ell>c\) et on pose \(\varepsilon=\frac{\ell-c}{2}\).

En remarquant que \(\ell-\varepsilon=c+\varepsilon\), montrer qu'à partir d'un certain rang, \(u_{n} \geqslant c+\varepsilon\).\\
En déduire que \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{P}\left(\left[U_{n} \geqslant u_{n}\right]\right)=0\).\\
(c) Montrer de même que si \(\ell<c, \lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{P}\left(\left[U_{n} \geqslant u_{n}\right]\right)=1\).\\
10. On définit pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) tel que \(n \beta \geqslant 1\), la variable aléatoire \(Y_{n}\) sur ( \(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}\) ) par \(Y_{n}=X_{\lfloor n \beta\rfloor, n}\) où \(\lfloor n \beta\rfloor\) désigne la partie entière de \(n \beta\) et on pose \(\theta^{\prime}=r_{\beta}(X)\).\\
Soit \(\varepsilon>0\).\\
(a) Montrer que : \(\mathbb{P}\left(\left[\left|Y_{n}-\theta^{\prime}\right| \leqslant \varepsilon\right]\right)=\mathbb{P}\left(\left[Y_{n} \leqslant \theta^{\prime}+\varepsilon\right]\right)-\mathbb{P}\left(\left[Y_{n} \leqslant \theta^{\prime}-\varepsilon\right]\right)\).\\
(b) En déduire que :

\[
\mathbb{P}\left(\left[\left|Y_{n}-\theta^{\prime}\right| \leqslant \varepsilon\right]\right)=\mathbb{P}\left(\left[\frac{N_{\theta^{\prime}+\epsilon, n}}{n} \geqslant \frac{\lfloor n \beta\rfloor}{n}\right]\right)-\mathbb{P}\left(\left[\frac{N_{\theta^{\prime}-\epsilon, n}}{n} \geqslant \frac{\lfloor n \beta\rfloor}{n}\right]\right)
\]

(c) En déduire que \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{P}\left(\left[\left|Y_{n}-\theta^{\prime}\right| \leqslant \varepsilon\right]\right)=1\).

Que peut-on en déduire concernant l'estimateur \(Y_{n}\) de \(r_{\beta}(X)\) ?\\
11. On suppose que l'on a défini une fonction d'en-tête function \(\mathrm{R}=\) triCroissant (T) qui renvoie le tableau des valeurs se trouvant dans T rangées dans l'ordre croissant. Par exemple, si \(\mathrm{T}=\left[\begin{array}{ccccccc}0 & -1 & 0 & 2 & 4 & 2 & 3\end{array}\right]\) alors disp(triCroissant(T)) affiche :\\
ans \(=\)

\begin{itemize}
  \item 1 . 0.0 .2 . 2. 3. 4.
\end{itemize}

Ecrire une fonction Scilab d'entête function \(r=\operatorname{VaR}(X\), beta) qui renvoie la valeur de l'estimation obtenue avec l'estimateur \(Y_{n}\) pour \(r_{\beta}(X)\) si le tableau X contient la réalisation de l'échantillon \(\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)\) et beta la valeur de \(\beta\).

\section*{Partie III - L' «Expected Shortfall » (ES)}
On conserve les notations de la partie 1.\\
Pour qu'une mesure de risque soit acceptable, on souhaite qu'elle vérifie un certain nombre de propriétés.\\
On dit qu'une fonction \(\rho\) définie sur \(\mathcal{D}\) à valeurs réelles est une mesure de risque cohérente sur \(\mathcal{D}\) si elle vérifie les quatre propriétés :\\
\(\left(R_{1}\right) \forall X \in \mathcal{D}, \forall c \in \mathbb{R}, \rho(X+c)=\rho(X)+c\);\\
\(\left(R_{2}\right) \quad \forall X \in \mathcal{D}, \forall \lambda \in \mathbb{R}^{+*}, \rho(\lambda X)=\lambda \rho(X)\);\\
( \(\left.R_{3}\right) \quad \forall(X, Y) \in \mathcal{D}^{2}\), si pour tout \(\omega \in \Omega, X(\omega) \leqslant Y(\omega)\) alors \(\rho(X) \leqslant \rho(Y)\);\\
( \(R_{4}\) ) \(\forall(X, Y) \in \mathcal{D}^{2}\), telles que \(X+Y \in \mathcal{D}, \rho(X+Y) \leqslant \rho(X)+\rho(Y)\).\\
12. Montrer que l'espérance est une mesure de risque cohérente sur \(\mathcal{D}\).\\
13. La «Value at Risk » \(r_{\beta}\) est-elle une mesure de risque cohérente sur \(\mathcal{D}\) pour toute valeur de \(\left.\beta \in\right] 0,1[\) ? On détaillera si chacune des propriétés de ( \(R_{1}\) ) à ( \(R_{4}\) ) est satisfaite ou non.\\
Soit \(X\) une variable aléatoire appartenant à \(\mathcal{D}\), admettant une densité \(f_{X}\). On définit l'«Expected Shortfall» de \(X\) de niveau de confiance \(\beta\) par

\[
E S_{\beta}(X)=\frac{1}{1-\beta} \int_{r_{\beta}(X)}^{+\infty} x f_{X}(x) \mathrm{d} x
\]

Le but de cette partie est de démontrer que, pour tout \(\beta \in] 0,1\left[, E S_{\beta}\right.\) est une mesure de risque cohérente sur \(\mathcal{D}\), assez « proche» de \(r_{\beta}\).\\
14. Soit \(X\) une variable aléatoire appartenant à \(\mathcal{D}\).\\
(a) Montrer que \(E S_{\beta}(X)\) est bien définie, et que \(E S_{\beta}(X) \geqslant r_{\beta}(X)\).\\
(b) À l'aide du changement de variable \(t=F_{X}(x)\), établir :

\[
E S_{\beta}(X)=\frac{1}{1-\beta} \int_{\beta}^{1} G_{X}(t) \mathrm{d} t
\]

On pourra ainsi utiliser (1) ou (2) au choix dans la suite pour définir \(E S_{\beta}(X)\).\\
15. (a) Montrer que \(E S_{\beta}\) vérifie la propriété \(\left(R_{1}\right)\).\\
(b) Montrer que \(E S_{\beta}\) vérifie la propriété \(\left(R_{2}\right)\).\\
16. On suppose dans cette question que \(X\) suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda>0\).\\
(a) Montrer que : \(E S_{\beta}(X)=r_{\beta}(X)+\frac{1}{\lambda}\).\\
(b) En déduire que \(E S_{\beta}(X) \underset{\beta \rightarrow 1}{\sim} r_{\beta}(X)\).\\
17. On suppose dans cette question que \(X\) suit la loi normale centrée réduite.\\
(a) Montrer \(E S_{\beta}(X)=\frac{\varphi\left(r_{\beta}(X)\right)}{1-\Phi\left(r_{\beta}(X)\right)}\).\\
(b) Pour tout \(x>0\), établir l'égalité : \(1-\Phi(x)=\frac{\varphi(x)}{x}-\int_{x}^{+\infty} \frac{\varphi(t)}{t^{2}} \mathrm{~d} t\).\\
(c) Montrer que, pour tout \(x>0: 0 \leqslant \int_{x}^{+\infty} \frac{\varphi(t)}{t^{2}} \mathrm{~d} t \leqslant \frac{1}{x^{2}}(1-\Phi(x))\).

En déduire que : \(1-\Phi(x) \underset{+\infty}{\sim} \frac{\varphi(x)}{x}\).\\
(d) En conclure que l'on a aussi dans ce cas : \(E S_{\beta}(X) \underset{\beta \rightarrow 1}{\sim} r_{\beta}(X)\).

Dans les questions qui suivent, \(X\) est une variable aléatoire appartenant à \(\mathcal{D}\).

\begin{itemize}
  \item On note \(h\) la fonction définie par, \(\forall x \in \mathbb{R}, h(x)=\max (x, 0)\).
  \item On admet que si \(U\) et \(V\) sont deux variables aléatoires telles que, \(0 \leqslant U \leqslant V\) et \(\mathbb{E}(V)\) existe alors \(\mathbb{E}(U)\) existe et \(0 \leqslant \mathbb{E}(U) \leqslant \mathbb{E}(V)\).
  \item On note pour tout événement \(A, \mathbb{1}_{A}\) la variable aléatoire indicatrice de l'événement \(A\). Rappelons qu'il s'agit de la variable aléatoire prenant la valeur 1 si \(A\) est réalisé, et la valeur 0 sinon.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{17}
  \item (a) Montrer que \(h\left(X-r_{\beta}(X)\right)\) admet une espérance, et que l'on a :
\end{enumerate}

\[
\mathbb{E}\left(h\left(X-r_{\beta}(X)\right)\right)=\int_{r_{\beta}(X)}^{+\infty} t f_{X}(t) \mathrm{d} t-(1-\beta) r_{\beta}(X)
\]

où \(f_{X}\) désigne une densité de \(X\).\\
(b) En déduire :

\[
E S_{\beta}(X)=r_{\beta}(X)+\frac{1}{1-\beta} \mathbb{E}\left(h\left(X-r_{\beta}(X)\right)\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{18}
  \item En utilisant la méthode de Monte-Carlo, dont on supposera la validité, et la fonction VaR définie dans la question 11, écrire une fonction Scilab qui calcul une valeur approchée de \(E S_{\beta}(X)\) à partir de la réalisation d'un échantillon de taille \(n\) de la loi de \(X\) dont les valeurs se trouvent dans le tableau Scilab X et de la valeur de \(\beta\) se trouvant dans la variable Scilab beta.
  \item Soit \(Z\) une variable aléatoire telle que : \(\mathbb{E}(Z)=1\) et \(0 \leqslant Z \leqslant \frac{1}{1-\beta}\).\\
(a) Justifier l'égalité entre variables aléatoires : \(h\left(X-r_{\beta}(X)\right)=\left(X-r_{\beta}(X)\right) \times \mathbb{1}_{\left[X>r_{\beta}(X)\right]}\).\\
(b) Montrer que \(\mathbb{E}(X Z)\) existe et établir l'égalité :
\end{enumerate}

\[
E S_{\beta}(X)-\mathbb{E}(X Z)=\frac{1}{1-\beta} \mathbb{E}\left[\left(X-r_{\beta}(X)\right)\left(\mathbb{1}_{\left[X>r_{\beta}(X)\right]}-(1-\beta) Z\right)\right]
\]

(c) En déduire que \(E S_{\beta}(X)-\mathbb{E}(X Z) \geqslant 0\).

Comment choisir \(Z\) pour que \(E S_{\beta}(X)=\mathbb{E}(X Z)\) ?\\
21. On note \(\mathcal{K}\) l'ensemble des variables aléatoires \(Z\) sur \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\) telles que \(\mathbb{E}(Z)=1\) et \(0 \leqslant Z \leqslant \frac{1}{1-\beta}\). Justifier l'égalité : \(E S_{\beta}(X)=\max _{Z \in \mathcal{K}} \mathbb{E}(X Z)\).\\
22. Démontrer que, pour tout \(\beta \in] 0,1\left[\right.\), la fonction \(E S_{\beta}\) est une mesure de risque cohérente sur \(\mathcal{D}\).


\end{document}