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\title{ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P. - E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON }

\author{CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES\\
OPTION ECONOMIQUE}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
MATHEMATIQUES II

Mardi 16 Mai 2000, de 8h. à 12h.

\begin{abstract}
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
\end{abstract}

Ce problème se compose de cinq parties : il étudie deux suites de variables aléatoires discrètes et une simulation informatique.\\
Si le candidat ne parvient pas à établir un résultat demandé, il l'indiquera clairement, et il pourra pour la suite admettre ce résultat.

Dans tout le problème, \(n\) désigne un entier naturel non nul.\\
On considère une urne \(U_{n}\) contenant \(n\) boules numérotées de 1 à \(n\).\\
On tire une boule au hasard dans \(U_{n}\). On note \(k\) le numéro de cette boule.\\
Si \(k\) est égal à 1 , on arrête les tirages.\\
Si \(k\) est supérieur ou égal à 2 , on enlève de l'urne \(U_{n}\) les boules numérotées de \(k\) à \(n\) (il reste donc les boules numérotées de 1 à \(k-1\) ), et on effectue à nouveau un tirage dans l'urne.\\
On répète ces tirages jusqu'à l'obtention de la boule numéro 1 .\\
On note \(X_{n}\) la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour l'obtention de la boule numéro 1 .\\
On note \(Y_{n}\) la variable aléatoire égale à la somme des numéros des boules tirées.\\
On note \(E\left(X_{n}\right)\) et \(V\left(X_{n}\right)\) (respectivement \(E\left(Y_{n}\right)\) et \(V\left(Y_{n}\right)\) ) l'espérance et la variance de \(X_{n}\) (respectivement \(Y_{n}\) ).

\section*{Partie 1.}
\begin{enumerate}
  \item On pose : \(\quad h_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}\).\\
a. Montrer, pour tout entier naturel \(k\) non nul, les inégalités : \(\quad \frac{1}{k+1} \leq \ln (k+1)-\ln k \leq \frac{1}{k}\) où ln désigne le logarithme népérien.\\
b. En déduire les inégalités : \(\quad \ln (n+1) \leq h_{n} \leq 1+\ln n\)\\
c. Déterminer un équivalent simple de \(h_{n}\) quand \(n\) tend vers l'infini.
  \item On pose : \(\quad k_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}}=1+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{n^{2}}\).\\
a. Montrer, pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à 2 , l'inégalité : \(\quad \frac{1}{k^{2}} \leq \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\).\\
b. En déduire la majoration : \(\quad k_{n} \leq 2\).\\
c. Déterminer un équivalent simple de \(h_{n}-k_{n}\) quand \(n\) tend vers l'infini.
\end{enumerate}

\section*{Partie 2: Etude de la variable aléatoire \(X_{n}\).}
On note \(I_{n}\) la variable aléatoire égale au numéro de la première boule tirée dans l'urne \(U_{n}\).\\
1.a. Quelle est la loi de \(I_{n}\) ?\\
b. Quelle est la loi conditionnelle de \(X_{n}\) sachant \(I_{n}=1\) ?\\
c. Si \(n\) est supérieur ou égal à 2 , montrer : \(\forall j \in \mathbb{N}^{*} \forall k \in\{2, \ldots, n\} \quad P\left(X_{n}=j / I_{n}=k\right)=P\left(X_{k-1}=j-1\right)\).\\
2.a. Quelle est la loi de \(X_{1}\) ?\\
b. Quel est l'événement ( \(X_{2}=1\) ) ? Donner la loi de \(X_{2}\), son espérance et sa variance.\\
c. Calculer \(P\left(X_{3}=2 / I_{3}=1\right), P\left(X_{3}=2 / I_{3}=2\right), P\left(X_{3}=2 / I_{3}=3\right)\). Déterminer la loi de \(X_{3}\), son espérance et sa variance.\\
3.a. Montrer que \(X_{n}\) prend ses valeurs dans \(\{1,2, \ldots, n\}\).\\
b. Déterminer \(P\left(X_{n}=1\right)\) et \(P\left(X_{n}=n\right)\).\\
c. Si \(n\) est supérieur ou égal à 2, montrer la relation : \(\quad \forall j \geq 2 \quad P\left(X_{n}=j\right)=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} P\left(X_{k}=j-1\right)\).\\
d. Si \(n\) est supérieur ou égal à 3 et \(j\) supérieur ou égal à 2 , calculer : \(n P\left(X_{n}=j\right)-(n-1) P\left(X_{n-1}=j\right)\).

En déduire, si \(n\) est un entier supérieur ou égal à 2 :

\[
\forall j \geq 1 \quad P\left(X_{n}=j\right)=\frac{n-1}{n} P\left(X_{n-1}=j\right)+\frac{1}{n} P\left(X_{n-1}=j-1\right) .
\]

4.a. Si \(n\) est supérieur ou égal à 2, montrer, en utilisant 3.d. : \(E\left(X_{n}\right)=E\left(X_{n-1}\right)+\frac{1}{n}\).\\
b. En déduire \(E\left(X_{n}\right)\) et donner un équivalent simple de \(E\left(X_{n}\right)\) quand \(n\) tend vers l'infini.\\
5.a. Si \(n\) est supérieur ou égal à 2 , calculer \(E\left(X_{n}^{2}\right)\) en fonction de \(E\left(X_{n-1}^{2}\right)\) et de \(E\left(X_{n-1}\right)\).\\
b. En déduire : \(V\left(X_{n}\right)=h_{n}-k_{n}\) (en reprenant les notations introduites en Partie 1).\\
c. Donner un équivalent de \(V\left(X_{n}\right)\) quand \(n\) tend vers l'infini.\\
6. Soit \(\left(T_{i}\right)_{i \geq 1}\) une suite de variables aléatoires indépendantes telle que, pour tout \(i\) entier naturel non nul, \(T_{i}\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(\frac{1}{i}\). On pose : \(\quad S_{n}=\sum_{i=1}^{n} T_{i}=T_{1}+\ldots+T_{n}\).\\
a. Vérifier que \(X_{1}\) et \(T_{1}\) ont même loi.\\
b. Si \(n\) est supérieur ou égal à 2 , montrer, pour tout entier \(j\) non nul :

\[
P\left(S_{n}=j\right)=\frac{1}{n} P\left(S_{n-1}=j-1\right)+\frac{n-1}{n} P\left(S_{n-1}=j\right) .
\]

En déduire que \(X_{n}\) et \(S_{n}\) ont même loi.\\
c. Retrouver ainsi \(E\left(X_{n}\right)\) et \(V\left(X_{n}\right)\).

Partie 3 : Etude de la variable aléatoire \(Y_{n}\).

\begin{enumerate}
  \item Donner la loi de \(Y_{1}\).\\
2.a. Quelles sont les valeurs prises par \(Y_{2}\) ?\\
b. Déterminer la loi de \(Y_{2}\).\\
3.a. Si \(n\) est supérieur ou égal à 2 , montrer, pour tout entier \(j\) non nul et tout entier \(k\) supérieur ou égal à 2 :
\end{enumerate}

\[
P\left(Y_{n}=j / I_{n}=k\right)=P\left(Y_{k-1}=j-k\right)
\]

b. Si \(n\) est supérieur ou égal à 2 , en déduire, pour tout entier \(j\) supérieur ou égal à 1 :

\[
P\left(Y_{n}=j\right)=\frac{n-1}{n} P\left(Y_{n-1}=j\right)+\frac{1}{n} P\left(Y_{n-1}=j-n\right) .
\]

c. Si \(n\) est supérieur ou égal à 2 , montrer : \(\quad E\left(Y_{n}\right)=E\left(Y_{n-1}\right)+1\).

Que vaut \(E\left(Y_{n}\right)\) pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 1 ?

\section*{Partic 4. Simulation informatique.}
Dans le langage informatique PASCAL, la fonction random(n) renvoie un entier aléatoire compris entre 0 et \(n-1\). On donne la procédure suivante :

\begin{verbatim}
Procedure Truc ( n : integer ; var a,b: integer);
Var alea : integer ;
Begin
    alea:=random (n)+1;
    writeln (alea) ;
    if alea \textin begin
            a:=a+1;
            b:=b+alea;
            Truc (alea-1,a,b)
        end;
End ;
\end{verbatim}

et le programme principal suivant :\\
Var \(n, a, b\) : integer ;\\
Begin\\
\(a:=1 ; b:=1\);\\
write (' \(n\) : ') ; readln (n);\\
Truc ( \(n, a, b\) ) ;\\
writeln ( \(a=\), \(a, b=\prime, b\) );\\
End.

\begin{enumerate}
  \item Que fait ce programme ? Que représentent \(a\) et \(b\) ?
  \item Cet algorithme est récursif. Transformer ce programme en un programme itératif écrit en Pascal.
\end{enumerate}

\section*{Partie 5.}
On considère l'urne \(U_{n}\) contenant \(n\) boules numérotées entre 1 et \(n\). A partir de l'urne \(U_{n}\), on effectue la suite de tirages décrite dans l'en-tête du problème. Pour \(i\) entier de \(\{1, \ldots, n\}\), on définit \(Z_{i}^{(n)}\) la variable aléatoire égale à 1 si , lors d'un quelconque de ces tirages, on a obtenu la boule numéro \(i\), égale à 0 sinon.

\begin{enumerate}
  \item Quelle est la loi de \(Z_{n}^{(n)}\) ? Que dire de la variable \(Z_{1}^{(n)}\) ?\\
2.a. Si \(n\) est supérieur ou égal à 2 , et \(i\) un entier de \(\{1, \ldots, n-1\}\), montrer la relation :
\end{enumerate}

\[
P\left(Z_{i}^{(n)}=1\right)=\frac{1}{n}+\sum_{k=i+1}^{n} \frac{1}{n} P\left(Z_{i}^{(k-1)}=1\right)
\]

b. Montrer par récurrence que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\) et pour tout \(i\) de \(\{1, \ldots, n\}, Z_{i}^{(n)}\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(1 / i\).\\
3. Que vaut \(\sum_{i=1}^{n} Z_{i}^{(n)}\) ? Retrouver ainsi \(E\left(X_{n}\right)\).\\
4. Retrouver \(E\left(Y_{n}\right)\).


\end{document}