\documentclass[10pt]{article} \usepackage[french]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage[version=4]{mhchem} \usepackage{stmaryrd} \title{ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P. - E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON } \author{CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES} \date{} \begin{document} \maketitle \section*{OPTION ECONOMIQUE} \section*{MATHEMATIQUES II} Mercredi 9 Mai 2001, de 8h. à 12h. \begin{abstract} La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. \end{abstract} Dans tout le problème, \(n\) désigne un entier supérieur ou égal à 2 .\\ On dispose de \(n\) jetons numérotés de 1 à \(n\). On tire, au hasard et sans remise, les jetons un à un. La suite ( \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\) ) des numéros tirés est aussi appelée permutation de l'ensemble \(\{1,2, \ldots, n\}\).\\ Étant donné deux entiers \(k\) et \(p\) vérifiant \(1 \leqslant k \leqslant p \leqslant n\), la suite ( \(a_{k}, \ldots, a_{p}\) ) - se réduisant à ( \(a_{k}\) ) dans le cas où \(k\) est égal à \(p\) - est appelée sous-suite de \(\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)\) et son nombre d'éléments est appelé longueur de cette sous-suite.\\ On admettra que cette expérience aléatoire peut être modélisée par la donnée de l'univers \(\Omega\), ensemble des permutations de \(\{1,2, \ldots, n\}\), muni de la tribu de ses parties \(\mathcal{P}(\Omega)\) et de la probabilité uniforme \(\mathbf{P}\), ce qui signifie que, pour toute permutation \(\omega\) de \(\{1,2, \ldots, n\}\), on a : \(\mathbf{P}(\{\omega\})=\frac{1}{n!}\).\\ Si \(X\) est une variable aléatoire définie sur \((\Omega, \mathcal{P}(\Omega), \mathbf{P})\), on note \(\mathrm{E}(X)\) son espérance et \(\mathrm{V}(X)\) sa variance.\\ Si \(X\) et \(Y\) sont deux variables aléatoires définies sur \((\Omega, \mathcal{P}(\Omega), \mathbf{P})\), on note \(\operatorname{Cov}(X, Y)\) leur covariance. \section*{Préliminaire} Soit \(X\) une variable aléatoire prenant ses valeurs dans \(\{1,2, \ldots, m\}\) où \(m\) est un entier supérieur ou égal à 2 .\\ Montrer l'égalité : \(\quad \mathbf{E}(X)=\sum_{k=1}^{m} \mathbf{P}([X \geqslant k])\). \section*{Partie 1 : Première sous-suite croissante} Étant donné une permutation \(\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)\) de \(\{1,2, \ldots, n\}\), la première sous-suite croissante est définie de la façon suivante : dans le cas \(a_{1}a_{k+1}\), la première sous-suite croissante est ( \(a_{1}, \ldots, a_{k}\) ). Soit \(L\) la variable aléatoire définie sur \((\Omega, \mathcal{P}(\Omega), \mathrm{P})\) qui, à toute permutation \(\omega\), associe la longueur de sa première sous-suite croissante.\\ Par exemple, si \(n=9\) et \(\omega=(2,3,5,4,9,6,7,8,1)\), comme \(2<3<5\) et \(5>4\), on a : \(L(\omega)=3\). \begin{enumerate} \item a) Quelles sont la plus petite et la plus grande des valeurs prises par \(L\) ? Que vaut \(\mathbf{P}([L=n])\) ?\\ b) Montrer que, pour tout entier \(k\) de \(\{1,2, \ldots, n\}\), on a : \(\mathbf{P}([L \geqslant k])=\frac{1}{k!}\). En déduire la loi de \(L\). \item Donner la valeur de \(\mathrm{E}(L)\) sous forme d'une somme et déterminer la limite de \(\mathrm{E}(L)\) quand \(n\) tend vers l'infini. \end{enumerate} \section*{Partie 2 : Deuxième sous-suite croissante} Étant donné une permutation \(\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)\) de \(\{1,2, \ldots, n\}\) et sa première sous-suite croissante \(\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right)\); si celleci se termine par \(a_{n}\) (i.e. si \(k=n\) ), on dit que la deuxième sous-suite croissante n'existe pas; dans le cas contraire, la première sous-suite croissante de \(\left(a_{k+1}, \ldots, a_{n}\right)\) est appelée deuxième sous-suite croissante de ( \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\) ).\\ Soit \(L^{\prime}\) la variable aléatoire définie sur \((\Omega, \mathcal{P}(\Omega), \mathbf{P})\) qui, à toute permutation \(\omega\), associe 0 s'il n'existe pas de deuxième sous-suite croissante, et la longueur de la deuxième sous-suite croissante, dans le cas contraire.\\ Par exemple, si \(n=9\) et \(\omega=(2,3,5,4,9,6,7,8,1)\), la deuxième sous-suite croissante est ( 4,9 ) et l'on a : \(L^{\prime}(\omega)=2\). \begin{enumerate} \item Quelles sont la plus petite et la plus grande des valeurs prises par \(L^{\prime}\) ? Que vaut \(\mathbf{P}\left(\left[L^{\prime}=0\right]\right)\) ? \item On suppose, dans cette question seulement, que \(n\) est égal à 3 .\\ a) Montrer que la loi du couple \(\left(L, L^{\prime}\right)\) est donnée par le tableau suivant: \end{enumerate} \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline \(L^{\prime}\) & & & \\ \(L^{\prime}\) & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & 0 & 0 & \(1 / 6\) \\ \hline 1 & \(1 / 6\) & \(1 / 3\) & 0 \\ \hline 2 & \(1 / 3\) & 0 & 0 \\ \hline \end{tabular} \end{center} b) Donner la loi de \(L^{\prime}\) et calculer son espérance.\\ c) Calculer la covariance de \(L\) et de \(L^{\prime}\). Pouvait-on prévoir le signe de cette covariance?\\ 3) On suppose à nouveau que n est un entier quelconque supérieur ou égal à 2 .\\ a) Dénombrer les parties de l'ensemble \(\{1,2, \ldots, n\}\) distinctes de \(\emptyset,\{1\},\{1,2\}, \ldots,\{1,2, \ldots, n-1\}\).\\ b) En déduire \(\mathbf{P}\left(\left[L+L^{\prime}=n\right]\right)\).\\ c) Montrer de même que, pour tout entier \(k\) de \(\{1,2, \ldots, n\}\), on a : \(\mathbf{P}\left(\left[L+L^{\prime} \geqslant k\right]\right)=\frac{2^{k}-k}{k!}\).\\ d) Donner la valeur de \(\mathrm{E}\left(L+L^{\prime}\right)\) sous forme d'une somme.\\ e) En déduire \(\mathrm{E}\left(L^{\prime}\right)\) et sa limite quand \(n\) tend vers l'infini. \section*{Partie 3 : Nombre de sous-suites croissantes} Étant donné une permutation \(\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)\) de \(\{1,2, \ldots, n\}\), si sa deuxième sous-suite croissante existe et ne se termine pas par \(a_{n}\), on définit la troisième sous-suite croissante à l'instar de la deuxième, etc., jusqu'à ce que l'on ait défini une sous-suite croissante se terminant par \(a_{n}\).\\ Soit \(T\) la variable aléatoire définie sur ( \(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), \mathbf{P}\) ) qui, à toute permutation \(\omega\), associe le nombre de ses sous-suites croissantes.\\ Par exemple, si \(n=9\) et \(\omega=(2,3,5,4,9,6,7,8,1)\), comme les sous-suites croissantes sont \((2,3,5),(4,9),(6,7,8)\) et (1), on a : \(T(\omega)=4\). \begin{enumerate} \item a) Donner la loi de \(T\) dans le cas où \(n\) vaut 2 . Calculer son espérance et sa variance.\\ b) Donner la loi de \(T\) dans le cas où \(n\) vaut 3 . Calculer son espérance et sa variance. \item On suppose désormais l'entier \(n\) supérieur ou égal à 4 .\\ a) Calculer \(\mathbf{P}([T=1])\) et \(\mathbf{P}([T=n])\).\\ b) Comparer les événements \(\left[L+L^{\prime}=n\right]\) et \([T \leqslant 2]\). En déduire la valeur de \(\mathbf{P}([T=2])\).\\ c) Donner la loi de \(T\) dans le cas où \(n\) vaut 4 . Calculer son espérance et sa variance. \item Pour tout entier \(i\) de \(\{1,2, \ldots, n-1\}\), soit \(A_{i}\) l'événement égal à l'ensemble des permutations ( \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\) ) vérifiant \(a_{i}>a_{i+1}\), et soit \(X_{i}\) la variable aléatoire qui, à toute permutation \(\omega\), associe 1 si \(\omega \in A_{i}\) et 0 sinon.\\ a) Montrer que \(X_{i}\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(\frac{1}{2}\). Donner son espérance et sa variance.\\ b) Donner une expression de \(T\) en fonction de \(X_{i}\). En déduire l'égalité : \(\mathrm{E}(T)=\frac{n+1}{2}\).\\ c) Montrer que l'on a: \(\forall i \in\{1, \ldots, n-2\}, \mathbf{P}\left(A_{i} \cap A_{i+1}\right)=\frac{1}{6}\). En déduire la valeur dc \(\operatorname{Cov}\left(X_{i}, X_{i+1}\right)\).\\ d) Montrer que, pour tout couple \((i, j)\) d'entiers vérifiant \(1 \leqslant i