\documentclass[10pt]{article}
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\title{ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES \\
 MATH II ECONOMIQUE }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
Dans tout le problème, on considère une suite infinie de lancers d'une pièce équilibrée, c'est-à-dire pour laquelle, à chaque lancer, les apparitions de «pile» et de « face» sont équiprobables.\\
On admet que l'expérience est modélisée par un espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P}\) ).\\
Pour tout entier naturel non nul \(n\), on désigne par \(R_{n}\) l'événement « pile apparaît au lancer de rang \(n\) » et par \(S_{n}\) l'événement « face apparaît au lancer de rang \(n\) »

\section*{Partie I: Un résultat utile}
On considère une variable aléatoire \(X\) définie sur \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})\), prenant ses valeurs dans \(\mathbb{N}^{*}\) et, pour tout entier naturel non nul \(n\), on pose : \(a_{n}=\mathbf{P}([X=n])\).

\begin{enumerate}
  \item a) Justifier que la suite \(\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) est une suite de nombres réels positifs ou nuls vérifiant \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}=1\).\\
b) Montrer que, pour tout nombre réel \(x\) appartenant à l'intervalle \([0,1]\), la série de terme général \(a_{n} x^{n}\) est convergente.
  \item On désigne par \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \([0,1]\) par : \(\forall x \in[0,1], f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} x^{n}\).
\end{enumerate}

On suppose que cette fonction est dérivable au point 1 ; elle vérifie donc :

\[
\lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\ x<1}} \frac{f(1)-f(x)}{1-x}=f^{\prime}(1)
\]

a) Établir pour tout nombre réel \(x\) de l'intervalle [0,1] l'égalité : \(\frac{f(1)-f(x)}{1-x}=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_{n} \sum_{k=0}^{n-1} x^{k}\right)\).\\
b) En déduire que la fonction \(x \mapsto \frac{f(1)-f(x)}{1-x}\) est croissante sur [0,1[ et qu'elle vérifie pour tout nombre réel \(x\) de l'intervalle \(\left[0,1\left[\right.\right.\) les inégalités suivantes : \(\quad 0 \leqslant \frac{f(1)-f(x)}{1-x} \leqslant f^{\prime}(1)\).\\
c) Montrer que, pour tout entier naturel \(N\) non nul, on a : \(0 \leqslant \sum_{n=1}^{N} n a_{n} \leqslant f^{\prime}(1)\).

En déduire que la série de terme général \(n a_{n}\) est convergente.\\
d) À l'aide des résultats des question a) et c), justifier pour tout nombre réel \(x\) de l'intervalle \([0,1[\), les inégalités suivantes : \(0 \leqslant \frac{f(1)-f(x)}{1-x} \leqslant \sum_{n=1}^{+\infty} n a_{n} \leqslant f^{\prime}(1)\)\\
e) Montrer que la variable aléatoire \(X\) admet une espérance donnée par :

\[
\mathbf{E}(X)=f^{\prime}(1)
\]

\section*{Partie II : Loi du temps d'attente de la première configuration « pile, pile, face »}
Soit \(Y\) la variable aléatoire désignant le rang du lancer où pour la première fois apparaît un face précédé de deux piles si cette configuration apparaît, et prenant la valeur 0 si celle-ci n'apparaît jamais.\\
Par exemple, si les résultats des premiers lancers sont (face, face, pile, face, pile, face, pile, pile, face, ...), la variable aléatoire \(Y\) prend la valeur 9 .\\
On pose \(c_{1}=c_{2}=0\) et, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 3 : \(c_{n}=\mathbf{P}([Y=n])\).\\
Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 3 , on note \(B_{n}\) l'événement \(R_{n-2} \cap R_{n-1} \cap S_{n}\) et \(U_{n}\) l'événement \(\bigcup_{i=3}^{n} B_{i}\).

\begin{enumerate}
  \item On pose \(u_{1}=u_{2}=0\), et pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 3 : \(u_{n}=\mathbf{P}\left(U_{n}\right)\).
\end{enumerate}

Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) est monotone et convergente.\\
2. a) Calculer, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 3 , la probabilité de l'événement \(B_{n}\).\\
b) Vérifier que, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 3 , les événements \(B_{n}, B_{n+1}\) et \(B_{n+2}\) sont deux à deux incompatibles.\\
c) En déduire les valeurs des nombres \(u_{3}, u_{4}\) et \(u_{5}\).\\
3. Soit \(n\) un entier \(n\) supérieur ou égal à 5 .\\
a) Justifier l'égalité des événements \(U_{n} \cap B_{n+1}\) et \(U_{n-2} \cap B_{n+1}\) et préciser leur probabilité.\\
b) Exprimer l'événement \(U_{n+1}\) en fonction des événements \(U_{n}\) et \(B_{n+1}\); en déduire l'égalité suivante : \(u_{n+1}=u_{n}+\frac{1}{8}\left(1-u_{n-2}\right)\).\\
c) Vérifier les égalités suivantes \(u_{3}=u_{2}+\frac{1}{8}\left(1-u_{1}\right)\) et \(u_{4}=u_{3}+\frac{1}{8}\left(1-u_{2}\right)\).\\
d) Déterminer la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) et en déduire la probabilité de l'événement \([Y=0]\).\\
4. Pour tout entier naturel non nul \(n\), on pose : \(v_{n}=1-u_{n}\).\\
a) Préciser les nombres \(v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\).\\
b) Exprimer, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(3, v_{n+1}\) en fonction de \(v_{n}\) et de \(v_{n-2}\).\\
c) En déduire pour tout entier \(N\) supérieur ou égal à 1, l'égalité suivante : \(\frac{7}{8}-v_{N+3}=\frac{1}{8} \sum_{k=1}^{N} v_{k}\).\\
d) Montrer que la série de terme général \(v_{n}\) est convergente et calculer sa somme.\\
5. Soit \(g\) et \(h\) les fonctions définies sur l'intervalle \([0,1]\) par :

\[
\forall x \in[0,1], \quad g(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} c_{n} x^{n} \quad \text { et } \quad h(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} v_{n} x^{n}
\]

a) Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 4 . Exprimer l'événement \([Y=n]\) en fonction des événements \(\overline{U_{n-1}}\) et \(U_{n}\left(\overline{U_{n-1}}\right.\) désignant l'événement contraire de \(\left.U_{n-1}\right)\). En déduire l'égalité : \(\quad c_{n}=v_{n-1}-v_{n}\).\\
b) Valider l'égalité \(c_{n}=v_{n-1}-v_{n}\) dans le cas où \(n\) est égal à 2 ou 3 .\\
c) Établir pour tout nombre réel \(x\) appartenant à l'intervalle [ 0,1 ], l'égalité : \(g(x)=(x-1) h(x)+x\).\\
d) Exprimer pour tout nombre réel \(x\) appartenant à l'intervalle [ 0,1 [, le quotient \(\frac{g(x)-g(1)}{x-1}\) en fonction de \(h(x)\).\\
e) Justifier la croissance de la fonction \(h\) et, pour tout entier naturel \(N\) non nul et tout nombre réel \(x\) de l'intervalle \([0,1]\), la double inégalité suivante : \(\sum_{k=1}^{N} v_{k} x^{k} \leqslant h(x) \leqslant h(1)\).\\
En déduire la relation suivante: \(\lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\ x<1}} h(x)=h(1)\).\\
f) Montrer que \(g\) est dérivable au point 1 et, à l'aide de la Partie I, en déduire que la variable aléatoire \(Y\) admet une espérance égale à 8 .

\section*{Partie III : Paradoxe de Walter Penney (1969)}
Deux joueurs \(J\) et \(J^{\prime}\) s'affrontent dans un jeu utilisant la même expérience aléatoire que précédemment avec les règles suivantes :

\begin{itemize}
  \item le joueur \(J\) est gagnant si la configuration «pile, pile, face» apparaît dans la suite des résultats des lancers, avant que la configuration « face, pile, pile» n'apparaisse;
  \item le joueur \(J^{\prime}\) est gagnant si la configuration « face, pile, pile» apparaît dans la suite des résultats des lancers, avant que la configuration «pile, pile, face» n'apparaisse;
  \item si l'un des joueurs est gagnant, l'autre est perdant.
\end{itemize}

On se propose de démontrer que, dans ce jeu, le joueur \(J^{\prime}\) possède un net avantage sur le joueur \(J\).

\begin{enumerate}
  \item Soit \(Y^{\prime}\) la variable aléatoire désignant le rang du lancer où, pour la première fois, apparaît un pile précédé d'un pile lui-même précédé d'un face si cette configuration apparaît, et prenant la valeur 0 si celle-ci n'apparaît jamais.\\
Par exemple, si les résultats des premiers lancers sont (face, face, pile, face, pile, pile, face, ...), la variable aléatoire \(Y^{\prime}\) prend la valeur 6 .\\
Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 3 , on désigne par \(B_{n}^{\prime}\) l'événement \(S_{n-2} \cap R_{n-1} \cap R_{n}\), par \(U_{n}^{\prime}\) l'événement \(\bigcup_{i=3}^{n} B_{i}^{\prime}\) et on note \(u_{n}^{\prime}\) la probabilité de \(U_{n}^{\prime}\).\\
a) Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 3 .
\end{enumerate}

Les événements \(B_{n}^{\prime}, B_{n+1}^{\prime}\) et \(B_{n+2}^{\prime}\) sont-ils deux à deux incompatibles?\\
b) En déduire que, si on pose \(u_{1}^{\prime}=u_{2}^{\prime}=0\), le même raisonnement que dans la Partie II, conduit à l'égalité \(u_{n+1}^{\prime}=u_{n}^{\prime}+\frac{1}{8}\left(1-u_{n-2}^{\prime}\right)\), pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 3 .\\
c) En déduire l'égalité des suites \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) et \(\left(u_{n}^{\prime}\right)_{n \geqslant 1}\).\\
d) Prouver que les deux variables aléatoires \(Y\) et \(Y^{\prime}\) suivent la même loi et vérifient : \(\mathbf{E}(Y)=\mathbf{E}\left(Y^{\prime}\right)\).\\
2. Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 3 , on note \(G_{n}\) l'événement « le joueur \(J\) est déclaré gagnant à l'issue du lancer de rang \(n \gg\) et \(g_{n}\) la probabilité de \(G_{n}\).\\
a) Calculer \(g_{3}\) et \(g_{4}\) et établir, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 3, l'égalité suivante : \(g_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\).\\
b) En déduire la probabilité pour que le joueur \(J\) soit déclaré gagnant.\\
3. Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on désigne par \(d_{n}\) la probabilité que lors des \(n\) premiers lancers n'apparaissent jamais deux piles consécutifs.\\
a) Préciser \(d_{1}\) et \(d_{2}\).\\
b) En considérant les résultats des lancers de rang 1 et 2 , justifier pour tout entier naturel \(n\) non nul, l'égalité suivante : \(\quad d_{n+2}=\frac{1}{2} d_{n+1}+\frac{1}{4} d_{n}\).\\
c) Montrer qu'il existe deux constantes réelles \(\alpha\) et \(\beta\) que l'on ne cherchera pas à calculer, telles que, pour tout tout entier naturel \(n\) non nul, on ait : \(\quad d_{n}=\alpha\left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right)^{n}+\beta\left(\frac{1-\sqrt{5}}{4}\right)^{n}\).\\
d) En déduire que la série de terme général \(d_{n}\) converge et, en utilisant l'égalité du b), prouver l'égalité suivante : \(\sum_{n=1}^{+\infty} d_{n}=5\).\\
4. On désigne par \(T\) la variable aléatoire qui prend pour valeur le rang du lancer à l'issue duquel l'un des joueurs est déclaré gagnant, si cela se produit, et la valeur 0 si aucun des joueurs n'est gagnant.\\
a) Justifier, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 2, l'égalité : \(\mathrm{P}([T>n] \cup[T=0])=\frac{1}{2^{n}}+d_{n}\).\\
b) En déduire, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 3, l'égalité : \(\mathrm{P}([T=n])=\frac{1}{2^{n}}+d_{n-1}-d_{n}\).\\
c) Montrer que la probabilité que l'un des joueurs soit déclaré gagnant est égale à 1 .\\
5. Calculer la probabilité que le joueur \(J^{\prime}\) soit déclaré gagnant et conclure.\\
6. Si la configuration gagnante du joueur \(J\) avait été « pile, pile, face, pile, pile, face» et la configuration gagnante du joueur \(J^{\prime}\) avait été « face, face, pile, face, face, pile», quelle aurait-été la conclusion?\\
7. Soit \(d\) et \(t\) les fonctions définies sur l'intervalle \([0,1]\) par :

\[
\forall x \in[0,1], \quad d(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} d_{n} x^{n} \quad \text { et } \quad t(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \mathbf{P}([T=n]) x^{n}
\]

a) Établir pour tout nombre réel \(x\) appartenant à l'intervalle \([0,1]\) l'égalité suivante :

\[
t(x)=(x-1)\left(d(x)+\frac{x^{2}}{2(2-x)}\right)+x
\]

b) Exprimer pour tout nombre réel \(x\) appartenant à l'intervalle [ 0 , 1 [, le quotient \(\frac{t(x)-t(1)}{x-1}\) en fonction de \(d(x)\).\\
c) En s'inspirant de la question 5.e de la Partie II, justifier l'égalité suivante : \(\lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\ x<1}} d(x)=d(1)\).\\
d) Montrer que la variable aléatoire \(T\) admet une espérance et préciser \(\mathbf{E}(T)\).

\section*{Partie IV : Simulation informatique}
On rappelle que dans un programme PASCAL, l'instruction « r :=RANDOM(2) » a pour effet de donner aléatoirement à la variable \(r\) la valeur 0 ou 1 , ces deux valeurs étant équiprobables.\\
On considère la procédure PASCAL suivante :

\begin{verbatim}
PROCEDURE Quigagne ;
    VAR x,y,r,k :INTEGER;
    BEGIN
        x :=0; y :=0;k :=0;
        WHILE (x<3) AND (y<3) DO
            BEGIN
                k :=k+1;r:=RANDOM(2);
                IF r=1 THEN BEGIN
                                IF x>=1 THEN x :=2 ELSE x :=1;
                                IF y>=1 THEN y :=y+1;
                        END
                    ELSE BEGIN
                            IF x=2 THEN x:=3
                                ELSE x :=0;
                            y :=1;
                        END ;
            END ;
        IF x=3 THEN WRITE ('...') ELSE WRITE('...');
    END ;
\end{verbatim}

\begin{enumerate}
  \item Donner sous forme d'un tableau les valeurs successives prises par les variables \(\mathrm{x}, \mathrm{y}\) et k lors de l'exécution de cette procédure, si les valeurs données à la variable r par la fonction «RANDOM(2)» sont successivement :\\
a) \(1,1,1,1,0\)\\
b) \(1,0,1,0,0,0,1,1\)\\
c) \(0,1,0,1,0,1,1\)
  \item Que représente la dernière valeur prise dans la procédure par la variable \(k\) et quels textes pourrait-on substituer aux pointillés de la dernière instruction?\\
Qu'afficherait alors l'ordinateur dans les trois exemples de la question précédente?
\end{enumerate}

\end{document}