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\title{(3) \\
 BANQUE COMMUNE D'EPREUVES }

\author{Concepteurs : H.E.C. - E.S.C.P. - E.A.P.}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\(\_\_\_\_\)

CODE EPREUVE :\\
284\\
CCIP\_M2\_E

OPTION : ECONOMIQUE

\section*{MATHEMATIQUES II}
Mardi 10 Mai 2005, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

L'objet du problème est d'étudier quelques propriétés d'un estimateur du paramètre \(p\) d'une loi géométrique.

\section*{Partie I. Formule du binôme négatif}
Pour tout couple ( \(n, r\) ) d'entiers naturels tels que \(0 \leqslant r \leqslant n\), on rappelle la formule du « triangle de Pascal»

\[
\binom{n}{r}=\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que pour tout entier \(r\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket\), on a :
\end{enumerate}

\[
\binom{n}{r}=\sum_{k=r}^{n}\binom{k-1}{r-1}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Soit ( \(n, r\) ) un couple d'entiers naturels, tels que \(1 \leqslant r \leqslant n\). Pour tout réel \(x\) de \(] 0,1[\), on définit la fonction \(f_{r, n}\) par :
\end{enumerate}

\[
f_{r, n}(x)=\sum_{k=r}^{n}\binom{k}{r} x^{k}
\]

a) Montrer, pour tout réel \(x\) de \(] 0,1\left[\right.\), l'égalité : \((1-x) f_{r, n}(x)=x f_{r-1, n-1}(x)-\binom{n}{r} x^{n+1}\).\\
b) On suppose l'entier \(r\) fixé. Montrer, lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\), l'équivalence : \(\binom{n}{r} \sim \frac{n^{r}}{r!}\).\\
3. Soit \(x\) un réel fixé de \(] 0,1\) [ et soit \(r\) un entier naturel fixé. On veut établir l'existence de la limite de \(f_{r, n}(x)\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\), et déterminer la valeur de cette limite.\\
a) Justifier l'existence et donner la valeur de \(\lim _{n \rightarrow+\infty} f_{0, n}(x)\) et \(\lim _{n \rightarrow+\infty} f_{1, n}(x)\).\\
b) Soit \(r\) un entier naturel non nul. On suppose que, pour tout réel \(x\) de \(] 0,1[\), on a :

\[
\lim _{n \rightarrow+\infty} f_{r-1, n}(x)=\frac{x^{r-1}}{(1-x)^{r}}
\]

Montrer que, pour tout réel \(x\) de \(] 0,1\left[, \lim _{n \rightarrow+\infty} f_{r, n}(x)=\frac{x^{r}}{(1-x)^{r+1}}\right.\). Ainsi, \(\sum_{k=r}^{\infty}\binom{k}{r} x^{k}=\frac{x^{r}}{(1-x)^{r+1}}\).

\section*{Partie II. Développement en série de \(\ln (1-x)\)}
Soit \(x\) un réel de \(] 0,1[\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer, pour tout entier \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), l'égalité : \(\int_{0}^{x} \frac{1-t^{n}}{1-t} d t=\sum_{k=1}^{n} \frac{x^{k}}{k}\).
  \item À l'aide d'un encadrement simple, montrer que \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{x} \frac{t^{n}}{1-t} d t=0\).
  \item En déduire la convergence de la série de terme général \(\frac{x^{k}}{k}\) ainsi que l'égalité : \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k}=-\ln (1-x)\).
\end{enumerate}

\section*{Partie III. Loi binomiale négative}
Toutes les variables aléatoires qui interviennent dans cette partie sont définies sur un même espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, P)\).\\
Soit \(p\) un réel de \(] 0,1\left[\right.\). On pose \(q=1-p\), et on considère une variable aléatoire \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}^{*}\), qui suit la loi géométrique de paramètre \(p\). On rappelle que pour tout entier \(k\) de \(\mathbb{N}^{*}, P(X=k)=p q^{k-1}\).

\begin{enumerate}
  \item Calculer la valeur de l'espérance \(E(X)\) et de la variance \(V(X)\) de la variable aléatoire \(X\).
  \item On considère la variable aléatoire \(Y\) définie par \(Y=\frac{1}{X}\).\\
a) Déterminer l'ensemble des valeurs prises par \(Y\) ainsi que la loi de probabilité de \(Y\).\\
b) Montrer que \(Y\) admet une espérance \(E(Y)\), que l'on calculera en fonction de \(p\) et \(q\).\\
c) Pour tout entier \(i\) supérieur ou égal à 2 , établir l'existence du moment \(E\left(Y^{i}\right)\) d'ordre \(i\) de \(Y\).
  \item Soit \(X_{1}\) et \(X_{2}\) deux variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans \(\mathbb{N}^{*}\), qui suivent la même loi géométrique de paramètre \(p\). On pose : \(S_{1}=X_{1}, \quad S_{2}=X_{1}+X_{2}, \quad Y_{2}=\frac{2}{S_{2}}\).\\
a) Déterminer la loi de probabilité de chacune des variables aléatoires \(S_{2}\) et \(Y_{2}\).\\
b) Établir l'existence de l'espérance \(E\left(Y_{2}\right)\) de la variable aléatoire \(Y_{2}\).\\
c) Calculer cette espérance en fonction de \(p\) et \(q\).
  \item On considère une suite \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) de variables aléatoires à valeurs dans \(\mathbb{N}^{*}\), indépendantes, de même loi géométrique de paramètre \(p\). Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on pose \(S_{n}=\sum_{k=1}^{n} X_{k}\).\\
a) Calculer l'espérance \(E\left(S_{n}\right)\) et la variance \(V\left(S_{n}\right)\) de la variable aléatoire \(S_{n}\).\\
b) Montrer que la loi de probabilité de la variable aléatoire \(S_{n}\) est donnée, pour tout entier \(s\) de \(\mathbb{N}^{*}\), par :
\end{enumerate}

\[
P\left(S_{n}=s\right)=\left\{\begin{array}{cl}
0 & \text { si } s<n \\
\binom{s-1}{n-1} p^{n} q^{s-n} & \text { si } s \geqslant n
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item Pour tout entier \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on pose \(Y_{n}=\frac{n}{S_{n}}\).\\
a) Préciser l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire \(Y_{n}\), ainsi que la loi de probabilité de \(Y_{n}\).\\
b) Soit \(t\) un réel quelconque de \(\left[0,1\left[\right.\right.\). Montrer que, pour tout \(m\) de \(\mathbb{Z}\), la série de terme général \(s^{m} t^{s}\left(\sum_{s \geqslant 1} s^{m} t^{s}\right)\) est convergente.\\
En déduire, en particulier, l'existence des moments d'ordre 1 et \(2, E\left(Y_{n}\right)\) et \(E\left(Y_{n}^{2}\right)\), de la variable aléatoire \(Y_{n}\).
\end{enumerate}

\section*{Partie IV. Une estimation ponctuelle du paramètre \(p\)}
Soit \(p\) un réel de \(] 0,1\left[\right.\). Dans cette partie, on considère une variable aléatoire réelle \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}^{*}\), qui suit une loi géométrique de paramètre \(p\) inconnu. On pose \(q=1-p\).\\
Pour tout entier naturel non nul \(n\), on considère un \(n\)-échantillon ( \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\) ) de variables aléatoires à valeurs dans \(\mathbb{N}^{*}\), indépendantes, de même loi que \(X\).\\
Les variables aléatoires \(X, X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\) sont définies sur un même espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ).\\
On pose \(\bar{X}_{n}=\frac{S_{n}}{n}=\frac{1}{Y_{n}}\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(\bar{X}_{n}\) est un estimateur sans biais pour le paramètre \(\frac{1}{p}\).
\end{enumerate}

Quel est le risque quadratique de \(\bar{X}_{n}\) en \(\frac{1}{p}\) ?\\
2. Pour tout entier \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on note \(h_{n}\) et \(\varphi_{n}\) les applications définies sur [ 0,1 a à valeurs dans \(\mathbb{R}\) telles que :

\[
h_{n}(t)=\sum_{s=n}^{\infty} \frac{1}{s}\binom{s-1}{n-1} t^{s}, \quad \varphi_{n}(t)=\sum_{s=n}^{\infty} \frac{1}{s^{2}}\binom{s-1}{n-1} t^{s}
\]

On admet dans toute la suite du problème, que \(h_{n}\) est de classe \(C^{1}\) et que pour tout réel \(t\) de \([0,1[\), la dérivée \(h_{n}^{\prime}\) de \(h_{n}\) vérifie :

\[
h_{n}^{\prime}(t)=\sum_{s=n}^{\infty}\binom{s-1}{n-1} t^{s-1}
\]

On admet également que la fonction \(\varphi_{n}\) est dérivable sur \(] 0,1\left[\right.\), de dérivée \(\varphi_{n}^{\prime}\), et que pour tout \(t\) de \(] 0,1[\), \(\varphi_{n}^{\prime}(t)=\frac{1}{t} h_{n}(t)\).\\
a) Montrer que \(E\left(Y_{n}\right)=n\left(\frac{p}{q}\right)^{n} h_{n}(q)\). Établir que, pour tout \(q\) de \([0,1[\), on a :

\[
h_{n}(q)=\int_{0}^{q} \frac{t^{n-1}}{(1-t)^{n}} d t
\]

b) À l'aide du changement de variable \(y=\frac{t}{1-t}\), que l'on justifiera, montrer que pour tout \(q\) de \([0,1[\) :

\[
h_{n}(q)=\int_{0}^{q / p} \frac{y^{n-1}}{1+y} d y
\]

En déduire, en utilisant une intégration par parties, que l'on peut écrire pour tout \(q\) de \([0,1[\) :

\[
h_{n}(q)=\frac{q^{n}}{n p^{n-1}}+\frac{1}{n} \int_{0}^{q / p} \frac{y^{n}}{(1+y)^{2}} d y
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), soit \(b_{n}\) la fonction définie sur \(] 0,1[\) à valeurs réelles qui, à tout réel \(p\) de \(] 0,1[\), associe \(b_{n}(p)=E\left(Y_{n}\right)-p\left(b_{n}\right.\) représente le biais de \(Y_{n}\) pour estimer \(p\) ).\\
a) Montrer que \(b_{n}(p)=\left(\frac{p}{q}\right)^{n} \int_{0}^{q / p} \frac{y^{n}}{(1+y)^{2}} d y\).\\
b) En déduire que la suite \(\left(b_{n}(p)\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est convergente et préciser sa limite. Calculer \(\lim _{n \rightarrow+\infty} E\left(Y_{n}\right)\).\\
c) À l'aide d'une intégration par parties, montrer l'égalité : \(b_{n}(p)=\frac{p q}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\).
\end{enumerate}

\section*{Partie V. Limite de la variance de \(Y_{n}\)}
Le contexte de cette partie est identique à celui de la partie IV.

\begin{enumerate}
  \item a) En utilisant la formule établie dans la question IV.2.b, montrer que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}, h_{n}(t) \sim \frac{t^{n}}{n}\) lorsque \(t\) tend vers 0 par valeurs supérieures.\\
b) En déduire que pour tout réel \(q\) de \(] 0,1\left[\right.\), l'intégrale \(\int_{0}^{q} \frac{h_{n}(t)}{t} d t\) est convergente et que \(\varphi_{n}(q)=\int_{0}^{q} \frac{h_{n}(t)}{t} d t\).
  \item a) Pour tout entier \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), et pour tout réel \(t\) de \(] 0,1\left[\right.\), on pose \(H_{n}(t)=\int_{0}^{t /(1-t)} \frac{y^{n}}{(1+y)^{2}} d y\).
\end{enumerate}

Montrer que, pour tout \(t\) de \(] 0,1[\), on a :

\[
\varphi_{n}^{\prime}(t)=\frac{1}{n}\left[\frac{t^{n-1}}{(1-t)^{n-1}}+\frac{H_{n}(t)}{t}\right]
\]

b) Établir l'existence de l'intégrale \(\int_{0}^{q} \frac{H_{n}(t)}{t} d t\), et en déduire l'égalité :

\[
\varphi_{n}(q)=\frac{1}{n}\left[\int_{0}^{q} \frac{t^{n-1}}{(1-t)^{n-1}} d t+\int_{0}^{q} \frac{H_{n}(t)}{t} d t\right]
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item a) Établir l'encadrement suivant : \(0 \leqslant \int_{0}^{q} \frac{H_{n}(t)}{t} d t \leqslant \frac{h_{n+1}(q)}{n+1}\).
\end{enumerate}

En déduire que \(\lim _{n \rightarrow+\infty} n\left(\frac{p}{q}\right)^{n} \int_{0}^{q} \frac{H_{n}(t)}{t} d t=0\).\\
b) Montrer, pour tout réel \(q\) de \(] 0,1[\), l'égalité :

\[
\int_{0}^{q}\left(\frac{t}{1-t}\right)^{n-1} d t=\frac{q^{n}}{n p^{n-2}}+\frac{2}{n} \int_{0}^{q / p} \frac{y^{n}}{(1+y)^{3}} d y
\]

En déduire que \(\lim _{n \rightarrow+\infty} n\left(\frac{p}{q}\right)^{n} \int_{0}^{q}\left(\frac{t}{1-t}\right)^{n-1} d t=p^{2}\).\\
c) On désigne par \(V\left(Y_{n}\right)\) la variance de \(Y_{n}\). Calculer \(\lim _{n \rightarrow+\infty} V\left(Y_{n}\right)\).

\section*{Partie VI. Un intervalle de confiance du paramètre \(p\)}
Dans cette partie, le contexte est identique à celui des deux parties précédentes.

\begin{enumerate}
  \item a) En utilisant le résultat de la question IV.3.c, montrer que, lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) :
\end{enumerate}

\[
\left[E\left(Y_{n}\right)\right]^{2}=p^{2}+\frac{2 p^{2} q}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)
\]

b) On admet que, lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) :

\[
E\left(Y_{n}^{2}\right)=p^{2}+\frac{3 p^{2} q}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)
\]

Établir que, lorsque \(n\) tend vers \(+\infty, V\left(Y_{n}\right) \sim \frac{p^{2} q}{n}\).\\
2. Pour tout entier \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on pose \(T_{n}=\frac{Y_{n}-p}{\sqrt{\frac{p^{2} q}{n}}}\).

On admet que la suite de variables aléatoires \(\left(T_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) converge en loi vers une variable aléatoire \(T\) qui suit la loi normale centrée, réduite.\\
Cette question a pour objectif la détermination, pour \(n\) assez grand, d'un intervalle de confiance du paramètre inconnu \(p\), au risque \(\alpha\) donné. Autrement dit, il s'agit de trouver des variables aléatoires \(I_{n}\) et \(J_{n}\), fonctions de \(Y_{n}\), telles que \(P\left(I_{n} \leqslant p \leqslant J_{n}\right) \geqslant 1-\alpha\).\\
a) Soit \(a_{\alpha}\) le réel strictement positif tel que \(P\left(T \geqslant a_{\alpha}\right)=\frac{\alpha}{2}\). Ainsi, pour \(n\) assez grand, on peut considérer que :

\[
P\left(-a_{\alpha} \leqslant T_{n} \leqslant a_{\alpha}\right)=1-\alpha
\]

En déduire l'égalité : \(P\left(Y_{n}-a_{\alpha} p \sqrt{\frac{q}{n}} \leqslant p \leqslant Y_{n}+a_{\alpha} p \sqrt{\frac{q}{n}}\right)=1-\alpha\).\\
b) Montrer que l'on peut choisir les «statistiques» \(I_{n}\) et \(J_{n}\) de la façon suivante :

\[
I_{n}=Y_{n}-\frac{2 a_{\alpha}}{3 \sqrt{3}} \times \frac{1}{\sqrt{n}} \text { et } J_{n}=Y_{n}+\frac{2 a_{\alpha}}{3 \sqrt{3}} \times \frac{1}{\sqrt{n}}
\]

c) On suppose que \(n=900\). Un échantillon observé \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{900}\) de réalisations des variables aléatoires \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{900}\) a fourni le résultat suivant : \(\bar{x}_{900}=\frac{1}{900} \sum_{i=1}^{900} x_{i}=4\).\\
Calculer la réalisation \(y_{900}\) de la variable aléatoire \(Y_{900}\).\\
On se donne un niveau de risque \(\alpha=0.05\); le nombre \(a_{0.05}\) est à peu près égal à 2 . Sachant que \(\frac{2}{45 \sqrt{3}} \approx 0.026\), trouver un intervalle de confiance réalisé qui contienne le paramètre inconnu \(p\) avec un niveau de confiance au moins égal à 0.95 .


\end{document}