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\title{Conception : HEC Paris - ESSEC BS }

\author{OPTION ÉCONOMIQUE}
\date{}


\begin{document}
\maketitle


\section*{MATHÉMATIQUES}
Mardi 30 avril 2019, de 14 h. à 18 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

\section*{EXERCICE}
\begin{enumerate}
  \item Dans cette question, on considère les matrices \(C=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 2\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbf{R}), L=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & -1\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{1,3}(\mathbf{R})\) et le produit matriciel \(M=C L\).\\
a) (i) Calculer \(M\) et \(M^{2}\).\\
(ii) Déterminer le rang de \(M\).\\
(iii) La matrice \(M\) est-elle diagonalisable?\\
b) (i) Soit \(P=\left(\begin{array}{rrr}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1\end{array}\right)\). Justifier que la matrice \(P\) est inversible et calculer le produit \(P\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)\).\\
(ii) Trouver une matrice inversible \(Q\) dont la transposée \({ }^{t} Q\) vérifie : \({ }^{t} Q\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\).\\
(iii) Pour une telle matrice \(Q\), calculer le produit \(P M Q\).
  \item La fonction Scilab suivante permet de multiplier la \(i\)-ème ligne \(L_{i}\) d'une matrice \(A\) par un réel sans modifier ses autres lignes, c'est-à-dire de lui appliquer l'opération élémentaire \(L_{i} \leftarrow a L_{i}\) (où \(a \neq 0\) ).
\end{enumerate}

\begin{verbatim}
function B=multlig(a,i,A)
    [n,p]=size(A);
    B=A;
    for j=1:p
        B(i,j)=a*B(i,j)
    end;
\end{verbatim}

endfunction\\
a) Donner le code Scilab de deux fonctions addlig (d'arguments b, \(\mathrm{i}, \mathrm{j}, \mathrm{A}\) ) et echlig (d'arguments i, j, A) permettant d'effectuer respectivement les deux autres opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice :

\[
L_{i} \leftarrow L_{i}+b L_{j}(i \neq j) \quad \text { et } \quad L_{i} \leftrightarrow L_{j}(i \neq j)
\]

b) Expliquer pourquoi la fonction multligmat suivante retourne le même résultat B que la fonction multlig.

\begin{verbatim}
function \(B=\) multligmat \((a, i, A)\)
    [n,p]=size(A) ;
    \(D=\operatorname{eye}(n, n)\);
    \(D(\mathbf{i}, \mathbf{i})=\mathbf{a}\);
    \(\mathrm{B}=\mathrm{D} * \mathrm{~A} ;\)
endfunction
\end{verbatim}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Dans cette question, on note \(n\) un entier supérieur ou égal à 2 et \(M\) une matrice de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbf{R})\) de rang 1 .
\end{enumerate}

Pour tout couple \((i, j) \in \llbracket 1, n \rrbracket^{2}\), on note \(E_{i, j}\) la matrice de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbf{R})\) dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé à l'intersection de sa \(i\)-ème ligne et de sa \(j\)-ème colonne, qui vaut 1 .\\
a) (i) Justifier l'existence d'une matrice-colonne non nulle \(C=\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ \vdots \\ c_{n}\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbf{R})\) et d'une matrice-ligne non nulle \(L=\left(\ell_{1} \ldots \ell_{n}\right) \in \mathcal{M}_{1, n}(\mathbf{R})\) telles que \(M=C L\).\\
(ii) Calculer la matrice \(M C\) et en déduire une valeur propre de \(M\).\\
(iii) Montrer que si le réel \(\sum_{i=1}^{n} c_{i} \ell_{i}\) est différent de 0 , alors la matrice \(M\) est diagonalisable.\\
b) (i) À l'aide de l'égalité \(M=C L\), établir l'existence de deux matrices inversibles \(P\) et \(Q\) telles que \(P M Q=E_{1,1}\).\\
(ii) En déduire que pour tout couple \((i, j) \in \llbracket 1, n \rrbracket^{2}\), il existe deux matrices inversibles \(P_{i}\) et \(Q_{j}\) telles que \(P_{i} M Q_{j}=E_{i, j}\).

\section*{PROBLÈME}
Dans ce problème, on définit et on étudie les fonctions génératrices des moments et les fonctions génératrices des cumulants de variables aléatoires discrètes ou à densité.\\
Les cumulants d'ordre 3 et 4 permettent de définir des paramètres d'asymétrie et d'aplatissement qui viennent compléter la description usuelle d'une loi de probabilité par son espérance (paramètre de position) et sa variance (paramètre de dispersion) ; ces cumulants sont notamment utilisés pour l'évaluation des risques financiers.

\section*{Dans tout le problème:}
\begin{itemize}
  \item on note \((\Omega, \mathcal{A}, P)\) un espace probabilisé et toutes les variables aléatoires introduites dans l'énoncé sont des variables aléatoires réelles définies sur ( \(\Omega, \mathcal{A}\) );
  \item sous réserve d'existence, l'espérance et la variance d'une variable aléatoire \(X\) sont respectivement notées \(E(X)\) et \(V(X)\);
  \item pour toute variable aléatoire \(X\) et pour tout réel \(t\) pour lesquels la variable aléatoire \(\mathrm{e}^{t X}\) admet une espérance, on pose :
\end{itemize}

\[
M_{X}(t)=E\left(\mathrm{e}^{t X}\right) \quad \text { et } \quad K_{X}(t)=\ln \left(M_{X}(t)\right) ;
\]

(les fonctions \(M_{X}\) et \(K_{X}\) sont respectivement appelées la fonction génératrice des moments et la fonction génératrice des cumulants de \(X\) )

\begin{itemize}
  \item lorsque, pour un entier \(p \in \mathbf{N}^{*}\), la fonction \(K_{X}\) est de classe \(C^{p}\) sur un intervalle ouvert contenant l'origine, on appelle cumulant d'ordre \(p\) de \(X\), noté \(Q_{p}(X)\), la valeur de la dérivée \(p\)-ième de \(K_{X}\) en 0 :
\end{itemize}

\[
Q_{p}(X)=K_{X}^{(p)}(0)
\]

\section*{Partie I. Fonction génératrice des moments de variables aléatoires discrètes}
\section*{Dans toute cette partie :}
\begin{itemize}
  \item on note \(n\) un entier supérieur ou égal à 2 ;
  \item toutes les variables aléatoires considérées sont discrètes à valeurs entières;
  \item on note \(S\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\{-1,1\}\) dont la loi est donnée par :
\end{itemize}

\[
P([S=-1])=P([S=+1])=\frac{1}{2} .
\]

\begin{enumerate}
  \item Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\llbracket-n, n \rrbracket\).\\
a) Pour tout \(t \in \mathbf{R}\), écrire \(M_{X}(t)\) sous la forme d'une somme et en déduire que la fonction \(M_{X}\) est de classe \(C^{\infty}\) sur \(\mathbf{R}\).\\
b) Justifier pour tout \(p \in \mathbf{N}^{*}\), l'égalité : \(M_{X}^{(p)}(0)=E\left(X^{p}\right)\).\\
c) Soit \(Y\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\llbracket-n, n \rrbracket\) dont la fonction génératrice des moments \(M_{Y}\) est la même que celle de \(X\).\\
On note \(G_{X}\) et \(G_{Y}\) les deux polynômes définis par :
\end{enumerate}

\[
\forall x \in \mathbf{R},\left\{\begin{array}{l}
G_{X}(x)=\sum_{k=0}^{2 n} P([X=k-n]) x^{k} \\
G_{Y}(x)=\sum_{k=0}^{2 n} P([Y=k-n]) x^{k}
\end{array}\right.
\]

(i) Vérifier pour tout \(t \in \mathbf{R}\), l'égalité : \(G_{X}\left(\mathrm{e}^{t}\right)=\mathrm{e}^{n t} M_{X}(t)\).\\
(ii) Justifier la relation : \(\forall t \in \mathbf{R}, G_{X}\left(\mathrm{e}^{t}\right)=G_{Y}\left(\mathrm{e}^{t}\right)\).\\
(iii) En déduire que la variable aléatoire \(Y\) suit la même loi que \(X\).\\
2. Dans cette question, on note \(X_{2}\) une variable aléatoire qui suit la loi binomiale \(\mathcal{B}\left(2, \frac{1}{2}\right)\).

On suppose que les variables aléatoires \(X_{2}\) et \(S\) sont indépendantes et on pose \(Y_{2}=S X_{2}\).\\
a) (i) Préciser l'ensemble des valeurs possibles de la variable aléatoire \(Y_{2}\).\\
(ii) Calculer les probabilités \(P\left(\left[Y_{2}=y\right]\right)\) attachées aux diverses valeurs possibles \(y\) de \(Y_{2}\).\\
b) Vérifier que la variable aléatoire \(X_{2}-(S+1)\) suit la même loi que \(Y_{2}\).\\
3. Le script Scilab suivant permet d'effectuer des simulations de la variable aléatoire \(Y_{2}\) définie dans la question précédente.\\
(1) \(n=10\);\\
(2) \(X=\operatorname{grand}\left(n, 2,{ }^{\prime}\right.\) bin \(\left.^{\prime}, 2,0.5\right)\);\\
(3) \(B=\operatorname{grand}\left(n, 2,{ }^{\prime} b i n^{\prime}, 1,0.5\right)\);\\
(4) \(S=2 * B\)-ones \((n, 2)\);\\
(5) \(\quad Z 1=[S(1: n, 1) \cdot * X(1: n, 1), X(1: n, 1)-S(1: n, 1)-\) ones \((n, 1)]\);\\
(6) \(\quad Z 2=[S(1: n, 1) \cdot * X(1: n, 1), X(1: n, 2)-S(1: n, 2)-\) ones \((n, 1)]\);\\
a) Que contiennent les variables \(X\) et \(S\) après l'exécution des quatre premières instructions ?\\
b) Expliquer pourquoi, après l'exécution des six instructions, chacun des coefficients des matrices Z1 et Z2 contient une simulation de la variable aléatoire \(Y_{2}\).\\
c) On modifie la première ligne du script précédent en affectant à n une valeur beaucoup plus grande que 10 (par exemple, 100000) et en lui adjoignant les deux instructions (7) et (8) suivantes:\\
\(p 1=\) length \((f\) ind \((Z 1(1: n, 1)==Z 1(1: n, 2))) / n ;\)\\
\(\mathrm{p} 2=\) length \((\mathrm{f}\) ind \((\mathrm{Z} 2(1: \mathrm{n}, 1)==\mathrm{Z} 2(1: \mathrm{n}, 2))) / \mathrm{n}\);\\
Quelles valeurs numériques approchées la loi faible des grands nombres permet-elle de fournir pour p1 et p2 après l'exécution des huit lignes du nouveau script ?\\
Dans le langage Scilab, la fonction length fournit la «longueur» d'un vecteur ou d'une matrice et la fonction find calcule les positions des coefficients d'une matrice pour lesquels une propriété est vraie, comme l'illustre le script suivant :

\begin{verbatim}
- > A= [1;2;0;4];
- > B= [2;2;4;3];
-- length(A)
ans = 4.
--> length([A,B])
ans =8.
- → find(A<B)
ans = 1. 3. // car 1<2 et 0<4, alors que 2>=2 et 4>=3
\end{verbatim}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Dans cette question, on note \(X_{n}\) une variable aléatoire qui suit la loi binomiale \(\mathcal{B}\left(n, \frac{1}{2}\right)\).
\end{enumerate}

On suppose que les variables aléatoires \(X_{n}\) et \(S\) sont indépendantes et on pose \(Y_{n}=S X_{n}\).\\
a) Justifier que la fonction \(M_{X_{n}}\) est définie sur \(\mathbf{R}\) et calculer \(M_{X_{n}}(t)\) pour tout \(t \in \mathbf{R}\).\\
b) Montrer que la fonction \(M_{Y_{n}}\) est donnée par: \(\forall t \in \mathbf{R}, M_{Y_{n}}(t)=\frac{1}{2^{n+1}}\left(\left(1+\mathrm{e}^{t}\right)^{n}+\left(1+\mathrm{e}^{-t}\right)^{n}\right)\).\\
c) En utilisant l'égalité \(\left(1+\mathrm{e}^{-t}\right)^{n}=\mathrm{e}^{-n t}\left(1+\mathrm{e}^{t}\right)^{n}\), montrer que \(Y_{n}\) suit la même loi que la différence \(X_{n}-H_{n}\), où \(H_{n}\) est une variable aléatoire indépendante de \(X_{n}\) dont on précisera la loi.

\section*{Partie II. Propriétés générales des fonctions génératrices des cumulants et quelques exemples}
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item Soit \(X\) une variable aléatoire et \(\mathcal{D}_{X}\) le domaine de définition de la fonction \(K_{X}\).\\
a) Donner la valeur de \(K_{X}(0)\).\\
b) Soit \((a, b) \in \mathbf{R}^{2}\) et \(Y=a X+b\). Justifier pour tout réel \(t\) pour lequel a \(t\) appartient à \(\mathcal{D}_{X}\), l'égalité :
\end{enumerate}

\[
K_{Y}(t)=b t+K_{X}(a t)
\]

c) On suppose ici que les variables aléatoires \(X\) et \(-X\) suivent la même loi.

Que peut-on dire dans ce cas des cumulants d'ordre impair de la variable aléatoire \(X\) ?\\
6. Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes et \(\mathcal{D}_{X}\) et \(\mathcal{D}_{Y}\) les domaines de définition respectifs des fonctions \(K_{X}\) et \(K_{Y}\).\\
a) Montrer que pour tout réel \(t\) appartenant à la fois à \(\mathcal{D}_{X}\) et \(\mathcal{D}_{Y}\), on a : \(K_{X+Y}(t)=K_{X}(t)+K_{Y}(t)\).\\
b) En déduire une relation entre les cumulants des variables aléatoires \(X, Y\) et \(X+Y\).\\
7. Soit \(U\) une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle \([0,1]\).\\
a) Montrer que la fonction \(M_{U}\) est définie sur \(\mathbf{R}\) et donnée par: \(\forall t \in \mathbf{R}, M_{U}(t)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\mathrm{e}^{t}-1}{t} & \text { si } t \neq 0 \\ 1 & \text { si } t=0\end{array}\right.\).\\
b) Calculer la dérivée de la fonction \(M_{U}\) en tout point \(t \neq 0\).\\
c) Trouver la limite du quotient \(\frac{M_{U}(t)-1}{t}\) lorsque \(t\) tend vers 0 .\\
d) Montrer que la fonction \(M_{U}\) est de classe \(C^{1}\) sur \(\mathbf{R}\).\\
8. Soit \(\alpha\) et \(\beta\) deux réels tels que \(\alpha<\beta\).

Dans cette question, on note \(X\) une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle \([\alpha, \beta]\).\\
a) Exprimer \(K_{X}\) en fonction de \(M_{U}\), où la variable aléatoire \(U\) a été définie dans la question 7 .\\
b) Justifier que la fonction \(K_{X}\) est de classe \(C^{1}\) sur \(\mathbf{R}\) et établir l'égalité : \(Q_{1}(X)=E(X)\).\\
9. Soit un réel \(\lambda>0\) et soit \(T\) une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre \(\lambda\).\\
a) Déterminer les fonctions \(M_{T}\) et \(K_{T}\).\\
b) En déduire tous les cumulants de \(T\).\\
10. Soit \(Z\) une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.\\
a) Justifier pour tout \(t \in \mathbf{R}\), la convergence de l'intégrale \(\int_{-\infty}^{+\infty} \exp \left(t x-\frac{x^{2}}{2}\right) \mathrm{d} x\).\\
b) Montrer que la fonction \(M_{Z}\) est définie sur \(\mathbf{R}\) et donnée par : \(\forall t \in \mathbf{R}, M_{Z}(t)=\exp \left(\frac{t^{2}}{2}\right)\).\\
c) En déduire la valeur de tous les cumulants d'une variable aléatoire qui suit une loi normale d'espérance \(\mu \in \mathbf{R}\) et d'écart-type \(\sigma \in \mathbf{R}_{+}^{*}\).\\
11. Soit \(\left(T_{n}\right)_{n \in \mathbf{N}^{*}}\) une suite de variables aléatoires telles que, pour tout \(n \in \mathbf{N}^{*}\), la variable aléatoire \(T_{n}\) suit la loi de Poisson de paramètre \(n\). Pour tout \(n \in \mathbf{N}^{*}\), on pose : \(W_{n}=\frac{T_{n}-n}{\sqrt{n}}\).\\
a) Justifier la convergence en loi de la suite de variables aléatoires \(\left(W_{n}\right)_{n \in \mathbf{N}^{*}}\) vers une variable aléatoire \(W\).\\
b) Déterminer la fonction \(K_{W_{n}}\).\\
c) Montrer que pour tout \(t \in \mathbf{R}\), on a : \(\lim _{n \rightarrow+\infty} K_{W_{n}}(t)=K_{W}(t)\).

\section*{Partie III. Cumulant d'ordre 4}
Dans cette partie, on considère une variable aléatoire \(X\) telle que \(M_{X}\) est de classe \(C^{4}\) sur un intervalle ouvert I contenant l'origine.\\
On admet alors que \(X\) possède des moments jusqu'à l'ordre 4 qui coïncident avec les dérivées successives de la fonction \(M_{X}\) en 0 . Autrement dit, pour tout \(k \in \llbracket 1,4 \rrbracket\), on a \(M_{X}^{(k)}(0)=E\left(X^{k}\right)\).\\
De plus, on pose : \(\mu_{4}(X)=E\left((X-E(X))^{4}\right)\).\\
12. Justifier les égalités : \(Q_{1}(X)=E(X)\) et \(Q_{2}(X)=V(X)\).\\
13. Soit \(X_{1}\) et \(X_{2}\) deux variables aléatoires indépendantes et de même loi que \(X\). On pose : \(S=X_{1}-X_{2}\).\\
a) Montrer que la variable aléatoire \(S\) possède un moment d'ordre 4 et établir l'égalité :

\[
E\left(S^{4}\right)=2 \mu_{4}(X)+6(V(X))^{2}
\]

b) Montrer que les fonctions \(M_{S}\) et \(K_{S}\) sont de classe \(C^{4}\) sur \(I\) et que pour tout \(t \in I\), on a :

\[
M_{S}^{(4)}(t)=K_{S}^{(4)}(t) M_{S}(t)+3 K_{S}^{(3)}(t) M_{S}^{\prime}(t)+3 K_{S}^{\prime \prime}(t) M_{S}^{\prime \prime}(t)+K_{S}^{\prime}(t) M_{S}^{(3)}(t)
\]

c) En déduire l'égalité : \(E\left(S^{4}\right)=Q_{4}(S)+3(V(S))^{2}\).\\
14. Justifier que le cumulant d'ordre 4 de \(X\) est donné par la relation : \(Q_{4}(X)=\mu_{4}(X)-3(V(X))^{2}\).


\end{document}