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\title{Conception : ESSEC - HEC Paris }

\author{MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES}
\date{}


\begin{document}
\maketitle


\section*{FILIÈRE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE VOIE GÉNÉRALE }
Mercredi 24 avril 2024, de 14 h. à 18 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Dans tout le sujet on considère un espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}\) ), toutes les variables aléatoires qui interviennent dans la suite sont définies sur cet espace.

Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 3 et \(p\) un réel appartenant à \(] 0,1[\).\\
Pour génèrer des graphes non orientés de manière aléatoire, on se donne :

\begin{itemize}
  \item \(S=\llbracket 0, n-1 \rrbracket\), les sommets du graphe;
  \item pour toute paire de sommets \(\{u, v\}\) avec \(u<v, T_{u, v}\) une variable de Bernoulli de paramètre \(p\).\\
Les variables \(T_{u, v}\), pour \(\{u, v\}\) décrivant les paires de sommets avec \(u<v\), sont supposées indépendantes ;
  \item les arêtes d'un graphe \(G\) ainsi généré sont les paires \(\{u, v\}\) telles que \(T_{u, v}=1\) si \(u<v\) ou \(T_{v, u}=1\) si \(v<u\).
\end{itemize}

Dans tout le problème, par convention, une somme portant sur un ensemble d'indices vide vaut 0 , un produit vaut 1 , une intersection vaut \(\Omega\), une réunion vaut \(\emptyset\).

\section*{Partie 1 - Nombre aléatoire de triangles}
On note \(\mathcal{T}\) l'ensemble des parties \(\{u, v, w\}\) à trois éléments de l'ensemble des sommets, \(r\) le nombre de ses éléments et on pose

\[
\mathcal{T}=\left\{t_{1}, \ldots, t_{r}\right\}
\]

Étant donné \(t=\{u, v, w\}\), un élément de \(\mathcal{T}\), on dit que \(t\) est un triangle dans un graphe \(G\) généré aléatoirement si \(\{u, v\},\{v, w\}\) et \(\{w, u\}\) sont des arêtes de \(G\).

Pour tout \(k \in \llbracket 1, r \rrbracket\), on note \(Y_{k}\) la variable aléatoire de Bernoulli associée à l'événement \(\ll t_{k}\) est un triangle de \(G \gg\) et \(Z_{n}\) est la variable aléatoire égale au nombre de triangles de \(G\).

Par exemple si \(n=5\) et le graphe \(G\) est représenté ainsi,\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}, center]{039dfd94-0ffa-4d64-87f9-7bad7a0bfd83-2_480_481_1069_792}\\
alors \(Z_{5}=3\).

\begin{enumerate}
  \item Quelle est la valeur de \(r\) en fonction de \(n\) ?
  \item a) Soit \(k \in \llbracket 1, r \rrbracket\). Posons \(t_{k}=\{u, v, w\}\) avec \(u<v<w\). Montrer que \(Y_{k}=T_{u, v} T_{v, w} T_{u, w}\).\\
b) En déduire que, pour tout \(k \in \llbracket 1, r \rrbracket, Y_{k}\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(p^{3}\).\\
c) Justifier que \(Z_{n}=\sum_{k=1}^{r} Y_{k}\). En déduire que \(E\left(Z_{n}\right)=\binom{n}{3} p^{3}\).
\end{enumerate}

\begin{itemize}
  \item On s'intéresse à la variance de \(Z_{n}\).
\end{itemize}

Si \(i\) et \(j\) appartiennent à \(\llbracket 1, r \rrbracket\) et sont différents, on note \(i \equiv j\) lorsque \(t_{i}\) et \(t_{j}\) ont exactement deux éléments en commun et \(i \not \equiv j\) dans le cas contraire.\\
On note \(\mathcal{E}\) l'ensemble des couples ( \(i, j\) ) tels que \(i \equiv j\), et \(\mathcal{F}\) l'ensemble des couples ( \(i, j\) ) tels que \(i \neq j\) et \(i \not \equiv j\).\\
On désigne par \(a_{n}\) le nombre d'éléments de \(\mathcal{E}\).\\
3. a) Montrer que :

\[
V\left(Z_{n}\right)=\operatorname{cov}\left(\sum_{i=1}^{r} Y_{i}, \sum_{j=1}^{r} Y_{j}\right)=\sum_{(i, j) \in \llbracket 1, r]^{2}} \operatorname{cov}\left(Y_{i}, Y_{j}\right)
\]

b) Montrer que si \((i, j) \in \mathcal{F}, Y_{i}\) et \(Y_{j}\) sont indépendantes. En déduire que :

\[
V\left(Z_{n}\right)=\sum_{i=1}^{r} V\left(Y_{i}\right)+\sum_{(i, j) \in \mathcal{E}} \operatorname{cov}\left(Y_{i}, Y_{j}\right)
\]

c) En conclure que :

\[
V\left(Z_{n}\right)=r p^{3}\left(1-p^{3}\right)+\left(\sum_{(i, j) \in \mathcal{E}} E\left(Y_{i} Y_{j}\right)\right)-a_{n} p^{6}
\]

\begin{itemize}
  \item On note \(\Delta_{n}=\sum_{(i, j) \in \mathcal{E}} E\left(Y_{i} Y_{j}\right)\).
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Montrer que si \(i \equiv j, E\left(Y_{i} Y_{j}\right)=p^{5}\) et en déduire que \(\Delta_{n}=a_{n} p^{5}\).
\end{enumerate}

En conclure que : \(V\left(Z_{n}\right)=\binom{n}{3}\left(p^{3}-p^{6}\right)+a_{n}\left(p^{5}-p^{6}\right)\).\\
5. Calcul de \(a_{n}\).\\
a) Déterminer le nombre de triplets ( \(\{u, v\}, w, y\) ) où \(u, v, w, y\) sont quatre éléments distincts de l'ensemble \(\llbracket 0, n-1 \rrbracket\).\\
b) En déduire que \(a_{n}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2}\).

\section*{Partie 2 - Étude informatique}
On se donne un graphe \(G\) généré par le procédé décrit dans le préambule.\\
On définit la fonction supprimeDer(L) qui si L est la liste des listes d'adjacence du graphe \(G\) dont les sommets sont \(0,1, \ldots, n-1\), modifie L afin quelle devienne la liste des listes d'adjacence du graphe \(G^{\prime}\), dont les sommets sont \(0,1, \ldots, n-2\), obtenu en supprimant dans \(G\) le sommet \(n-1\) et les arêtes contenant ce sommet.

\begin{verbatim}
def supprimeDer(L):
    s = len(L)-1
    L.pop() # supprime le dernier élément de la liste L
    for a in L:
        if s in a:
            a.remove(s) # supprime s dans la liste a
\end{verbatim}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item Compléter la fonction suivante pour qu'elle retourne le nombre de triangles dont un des sommets est le sommet \(\mathbf{s}\) dans le graphe \(G\) dont la liste des listes d'adjacence est L :
\end{enumerate}

\begin{verbatim}
def triangle2s(s, L):
    cpt = 0
    adj = L[s]
    for i in range(len(adj)):
        for j in range(..., len(adj)):
            if ... in L[...]:
                cpt += 1
    return cpt
\end{verbatim}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{6}
  \item Écrire une fonction nbTriangles(L), utilisant les deux fonctions précédentes, qui retourne le nombre de triangles du graphe \(G\) dont la liste des listes d'adjacence est représentée par L.
  \item On suppose que la fonction graphe(n,p) génère un graphe aléatoire suivant les hypothèses décrites dans le préambule.\\
Expliquer ce que retourne la fonction suivante :
\end{enumerate}

\begin{verbatim}
def fonctionMystere(n):
    cpt = 0
    for i in range(1000):
        L = graphe(n,1/n)
        if nbTriangles(L) == 0:
            cpt += 1
    return cpt / 1000
\end{verbatim}

\section*{Partie 3 - Inégalité de Harris}
\(k\) désigne un entier naturel non nul.

\begin{itemize}
  \item Soit \(f\) une fonction définie sur une partie \(\mathcal{D}\) de \(\mathbb{R}^{k}\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
\end{itemize}

Si \(k \geqslant 2\), on dit que \(f\) est \(k\)-croissante sur \(\mathcal{D}\) si, pour tout \(\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right)\) élément de \(\mathcal{D}\) et \(i \in \llbracket 1, k \rrbracket, t \mapsto f\left(x_{1}, \ldots, x_{i-1}, t, x_{i+1}, \ldots, x_{k}\right)\) est croissante sur son ensemble de définition.

Si \(k=1\), une fonction 1 -croissante sur \(\mathcal{D}\) est simplement une fonction croissante sur \(\mathcal{D}\).

\begin{itemize}
  \item On définit de même la notion de fonction \(k\)-décroissante.
  \item On considère \(X_{1}, \ldots, X_{k}\) des variables aléatoires finies.
\end{itemize}

On admet le résultat suivant (théorème de transfert d'ordre \(k\) ):\\
Si \(f\) une fonction définie sur \(X_{1}(\Omega) \times \ldots \times X_{k}(\Omega)\) et \(Y_{k}=f\left(X_{1}, \ldots, X_{k}\right)\) alors

\[
E\left(Y_{k}\right)=\sum_{\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) \in X_{1}(\Omega) \times \ldots \times X_{k}(\Omega)} f\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) \mathbb{P}\left(\left[X_{1}=x_{1}\right] \cap \ldots \cap\left[X_{k}=x_{k}\right]\right)
\]

On note \(\left(H_{k}\right)\) la propriété suivante :\\
Si \(X_{1}, \ldots, X_{k}\) sont des variables aléatoires finies indépendantes, \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur \(X_{1}(\Omega) \times \ldots \times X_{k}(\Omega)\) et \(k\)-croissantes sur cet ensemble, et si l'on pose \(Y_{k}=f\left(X_{1}, \ldots, X_{k}\right)\) et \(Z_{k}=g\left(X_{1}, \ldots, X_{k}\right)\), alors :

\[
E\left(Y_{k} Z_{k}\right) \geqslant E\left(Y_{k}\right) E\left(Z_{k}\right) \quad \text { (inégalité de Harris) }
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{8}
  \item Dans cette question \(k=1\), on pose \(X=X_{1}\) une variable aléatoire finie, \(f\) et \(g\) sont deux fonctions croissantes sur \(X(\Omega)\).\\
a) Montrer que pour tout \((x, y) \in(X(\Omega))^{2},(f(x)-f(y))(g(x)-g(y)) \geqslant 0\).\\
b) Montrer que pour tout \(y \in X(\Omega)\),
\end{enumerate}

\[
E(f(X) g(X))+f(y) g(y) \geqslant g(y) E(f(X))+f(y) E(g(X))
\]

c) En déduire que ( \(H_{1}\) ) est vraie.\\
10. On suppose que ( \(H_{k}\) ) est vraie pour un certain \(k\) et on considère \(X_{1}, \ldots, X_{k+1}\) des variables aléatoires finies indépendantes, \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur \(X_{1}(\Omega) \times \ldots \times X_{k+1}(\Omega)\) et \((k+1)\)-croissantes.\\
On pose \(Y_{k+1}=f\left(X_{1}, \ldots, X_{k+1}\right)\) et \(Z_{k+1}=g\left(X_{1}, \ldots, X_{k+1}\right)\).\\
a) A l'aide des théorèmes de transfert d'ordre \(k+1\) et \(k\), montrer que:

\[
E\left(Y_{k+1} Z_{k+1}\right)=\sum_{x \in X_{k+1}(\Omega)} E\left(f\left(X_{1}, \ldots, X_{k}, x\right) g\left(X_{1}, \ldots, X_{k}, x\right)\right) \mathbb{P}\left(X_{k+1}=x\right)
\]

b) Justifier que pour tout \(x \in X_{k+1}(\Omega)\) :

\[
E\left(f\left(X_{1}, \ldots, X_{k}, x\right) g\left(X_{1}, \ldots, X_{k}, x\right)\right) \geqslant E\left(f\left(X_{1}, \ldots, X_{k}, x\right)\right) E\left(g\left(X_{1}, \ldots, X_{k}, x\right)\right)
\]

c) On pose pour tout \(x \in X_{k+1}(\Omega), u(x)=E\left(f\left(X_{1}, \ldots, X_{k}, x\right)\right)\) et \(v(x)=E\left(g\left(X_{1}, \ldots, X_{k}, x\right)\right)\).

Montrer que \(u\) et \(v\) sont croissantes sur \(X_{k+1}(\Omega)\) et \(E\left(Y_{k+1} Z_{k+1}\right) \geqslant E\left(u\left(X_{k+1}\right) v\left(X_{k+1}\right)\right)\).\\
d) En conclure que ( \(H_{k+1}\) ) est vraie. Conclure.\\
e) La propriété ( \(H_{k}\) ) reste-t-elle vraie si \(f\) et \(g\) sont \(k\)-décroissantes? Justifier votre réponse.\\
Que se passe-t-il si l'une est \(k\)-croissante et l'autre \(k\)-décroissante?

\section*{Partie 4 - Inégalité de Janson et application}
On reprend les notations de la partie 1 .\\
De plus, pour tout \(i \in \llbracket 1, r \rrbracket\), on pose \(Z_{n, i}=\sum_{k=1}^{i} Y_{k}\). On remarquera que \(Z_{n, r}=Z_{n}\).\\
Dans cette partie on établit un encadrement de \(\mathbb{P}\left(Z_{n}=0\right)\).\\
11. Justifier que \(\bigcap_{0 \leqslant u<v \leqslant n-1}\left[T_{u, v}=0\right] \subset\left[Z_{n}=0\right]\). En déduire que \(\mathbb{P}\left(Z_{n}=0\right) \geqslant(1-p)^{\binom{n}{2}}>0\).\\
12. Montrer que pour tout \(i \in \llbracket 1, r \rrbracket, \mathbb{P}\left(Y_{i}=0\right)=E\left(1-Y_{i}\right)\) et \(\mathbb{P}\left(Z_{n, i}=0\right)=E\left(\prod_{k=1}^{i}\left(1-Y_{k}\right)\right)\).\\
13. a) On pose \(m=\binom{n}{2}\). Justifier brièvement que, pour tout \(k \in \llbracket 1, r \rrbracket, Y_{k}\) s'exprime comme une fonction \(m\)-croissante sur \(\{0,1\}^{m}\) des variables aléatoires \(T_{u, v}\) pour \(u<v\) éléments de \(\llbracket 0, n-1 \rrbracket\).\\
En déduire que, pour tout \(i \in \llbracket 2, r \rrbracket, 1-Y_{i}\) puis \(\prod_{k=1}^{i-1}\left(1-Y_{k}\right)\) s'expriment comme des fonctions \(m\)-décroissantes des variables aléatoires \(T_{u, v}\) pour \(u<v\) éléments de \(\llbracket 0, n-1 \rrbracket\).\\
b) En conclure que, pour tout \(i \in \llbracket 2, r \rrbracket, \mathbb{P}\left(Z_{n, i}=0\right) \geqslant \mathbb{P}\left(Z_{n, i-1}=0\right) \mathbb{P}\left(Y_{i}=0\right)\) puis que :

\[
\mathbb{P}\left(Z_{n}=0\right) \geqslant \prod_{k=1}^{r} \mathbb{P}\left(Y_{k}=0\right) \text { puis } \mathbb{P}\left(Z_{n}=0\right) \geqslant\left(1-p^{3}\right)^{\binom{n}{3}}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{13}
  \item Inégalité de Boole. Montrer par récurrence sur \(k \geqslant 2\) que si \(B_{1}, \ldots, B_{k}\) sont des événements, on a :
\end{enumerate}

\[
\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{k} B_{i}\right) \leqslant \sum_{i=1}^{k} \mathbb{P}\left(B_{i}\right)
\]

\begin{itemize}
  \item Si \(A\) est un événement de probabilité non nulle, on rappelle que la probabilité conditionnelle sachant \(A\) est notée \(\mathbb{P}_{A}\). On admet qu'elle possède les mêmes propriétés que la probabilité \(\mathbb{P}\).\\
En particulier l'inégalité de Boole est vérifiée par \(\mathbb{P}_{A}\).\\
De plus si \(X\) est une variable finie, on note \(E_{A}(X)\) l'espérance de \(X\) pour la probabilité \(\mathbb{P}_{A}\) ce qui signifie que :
\end{itemize}

\[
E_{A}(X)=\sum_{x \in X(\Omega)} x \mathbb{P}_{A}(X=x)
\]

Cette espérance conditionnelle possède les mêmes propriétés que l'espérance en particulier l'inégalité de Harris vue dans la partie 3.\\
15. Soit \(A, B\) et \(C\) trois événements tels que \(\mathbb{P}(B \cap C) \neq 0\) et \(\mathbb{P}(A \cap C) \neq 0\).

Montrer que \(\mathbb{P}_{B \cap C}(A) \geqslant \mathbb{P}_{C}(A) \mathbb{P}_{A \cap C}(B)\).

\begin{itemize}
  \item On admet que les probabilités conditionnelles qui interviennent dans la suite sont bien définies.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{15}
  \item Pour tout \(i \in \llbracket 1, r \rrbracket\), on pose \(A_{i}=\left[Y_{i}=0\right]\).
\end{enumerate}

On note aussi \(I_{i}=\{j \in \llbracket 1, i-1 \rrbracket / j \equiv i\}\) et \(J_{i}=\{j \in \llbracket 1, i-1 \rrbracket / j \not \equiv i\}\)\\
Soit \(i \geqslant 2\), on définit \(B_{i}=\bigcap_{j \in I_{i}} A_{j}\) et \(C_{i}=\bigcap_{j \in J_{i}} A_{j}\), ainsi on a : \(B_{i} \cap C_{i}=\bigcap_{j=1}^{i-1} A_{j}\).\\
a) Justifier que \(A_{i}\) et \(C_{i}\) sont indépendants. En déduire que \(\mathbb{P}_{B_{i} \cap C_{i}}\left(\overline{A_{i}}\right) \geqslant \mathbb{P}\left(\overline{A_{i}}\right) \mathbb{P}_{\overline{A_{i}} \cap C_{i}}\left(B_{i}\right)\).\\
b) Établir que \(\mathbb{P}_{\overline{A_{i}} \cap C_{i}}\left(B_{i}\right) \geqslant 1-\sum_{j \in I_{i}} \mathbb{P}_{\overline{A_{i}} \cap C_{i}}\left(\overline{A_{j}}\right)\).\\
c) On admet provisoirement que pour \(j \in \llbracket 1, i-1 \rrbracket\) :

\[
\mathbb{P}_{\overline{A_{i} \cap C_{i}}}\left(\overline{A_{j}}\right) \leqslant \mathbb{P}_{\overline{A_{i}}}\left(\overline{A_{j}}\right)
\]

En déduire que, \(\mathbb{P}_{B_{i} \cap C_{i}}\left(A_{i}\right) \leqslant 1-\mathbb{P}\left(\overline{A_{i}}\right)\left(1-\sum_{j \in I_{i}} \mathbb{P}_{\overline{A_{i}}}\left(\overline{A_{j}}\right)\right)\).\\
d) Justifier que pour tout \(x \in \mathbb{R}, 1-x \leqslant \exp (-x)\) et en déduire que :

\[
\mathbb{P}_{B_{i} \cap C_{i}}\left(A_{i}\right) \leqslant \exp \left(-\mathbb{P}\left(\overline{A_{i}}\right)+\sum_{j \in I_{i}} \mathbb{P}\left(\overline{A_{j}} \cap \overline{A_{i}}\right)\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{16}
  \item On rappelle que \(\Delta_{n}=\sum_{(i, j) \in \mathcal{E}} E\left(Y_{i} Y_{j}\right)\) où \(\mathcal{E}\) a été défini dans la partie 1 à la suite de la question 2.\\
a) Montrer que \(\mathbb{P}\left(Z_{n}=0\right)=\mathbb{P}\left(\bigcap_{i=1}^{r} A_{i}\right)=\mathbb{P}\left(A_{1}\right) \prod_{i=2}^{r} \mathbb{P}_{B_{i} \cap C_{i}}\left(A_{i}\right)\).\\
b) En conclure que :
\end{enumerate}

\[
\mathbb{P}\left(Z_{n}=0\right) \leqslant \exp \left(-E\left(Z_{n}\right)+\frac{\Delta_{n}}{2}\right) \quad \text { (inégalité de Janson) }
\]

c) En déduire l'encadrement :

\[
\left(1-p^{3}\right)^{\binom{n}{3}} \leqslant \mathbb{P}\left(Z_{n}=0\right) \leqslant \exp \left(-\binom{n}{3} p^{3}+\frac{a_{n}}{2} p^{5}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{17}
  \item Soit \(c\) un réel strictement positif.\\
a) Montrer que \(\lim _{n \rightarrow+\infty}-\binom{n}{3}\left(\frac{c}{n}\right)^{3}+\frac{a_{n}}{2}\left(\frac{c}{n}\right)^{5}=-\frac{c^{3}}{6}\).\\
b) Établir que \(\lim _{n \rightarrow+\infty}\binom{n}{3} \ln \left(1-\frac{c^{3}}{n^{3}}\right)=-\frac{c^{3}}{6}\).\\
c) On suppose que \(n>c\) et \(p=\frac{c}{n}\). En déduire la limite de \(\mathbb{P}\left(Z_{n}=0\right)\) quand \(n \rightarrow+\infty\).
  \item On reprend les notations de la partie 2. L'exécution de l'instruction fonctionMystere (100) affiche dans la console Python 0.849. Est-ce cohérent avec le résultat de la question précédente si on considère que pour \(x\) assez petit, \(\mathrm{e}^{-x}\) est proche de \(1-x+\frac{x^{2}}{2}\) ?
  \item Démonstration de (1) - Soit \(m\) un entier plus grand que 2. On considère \(X_{1}, \ldots, X_{m}\) des variables de Bernoulli indépendantes et \(I\) un sous ensemble de \(\llbracket 1, m \rrbracket\). On note \(J\) le complémentaire de \(I\) dans \(\llbracket 1, m \rrbracket\). On note \(A\) l'événement \(\left[\prod_{i \in I} X_{i}=1\right]\).\\
a) Montrer que, pour tout \(\left(x_{1}, \ldots, x_{m}\right) \in\{0,1\}^{m}\),
\end{enumerate}

\[
\mathbb{P}_{A}\left(\left[X_{1}=x_{1}\right] \cap \ldots \cap\left[X_{m}=x_{m}\right]\right)= \begin{cases}\prod_{i \in J} \mathbb{P}\left(X_{i}=x_{i}\right) & \text { si } \prod_{i \in I} x_{i}=1 \\ 0 & \text { sinon }\end{cases}
\]

b) En déduire que les variables aléatoires \(X_{1}, \ldots, X_{m}\) sont indépendantes pour la probabilité conditionnelle \(\mathbb{P}_{A}\).

\begin{itemize}
  \item Soit \(i \geqslant 2\), on reprend les notations de la question 16.\\
c) Montrer que pour \(j \in \llbracket 1, i-1 \rrbracket, \mathbb{P}_{\overline{A_{i}} \cap C_{i}}\left(\overline{A_{j}}\right)=\frac{E_{\overline{A_{i}}}\left(Y_{j} \prod_{k \in J_{i}}\left(1-Y_{k}\right)\right)}{\mathbb{P}_{\overline{A_{i}}}\left(C_{i}\right)}\).\\
d) En utilisant l'inégalité de Harris, montrer que pour \(j \in \llbracket 1, i-1 \rrbracket\) :
\end{itemize}

\[
\mathbb{P}_{\overline{A_{i} \cap C_{i}}}\left(\overline{A_{j}}\right) \leqslant \mathbb{P}_{\overline{A_{i}}}\left(\overline{A_{j}}\right)
\]

\section*{FIN}

\end{document}