\documentclass[10pt]{article}
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\title{ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES }

\author{CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES}
\date{}


\begin{document}
\maketitle


\section*{OPTION ECONOMIQUE}
\section*{MATHEMATIQUES III}
Jeudi 18 Mai 2000, de 8h. à 12h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

\section*{EXERCICE I}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que, pour tout nombre réel \(x>0\) et tout nombre entier naturel \(k\), l'intégrale
\end{enumerate}

\[
\int_{1}^{\infty} \frac{t^{k} e^{-x t}}{1+t^{5}} \mathrm{~d} t
\]

est convergente.\\
Pour quelles valeurs de l'entier \(k\) cette intégrale est-elle aussi convergente pour \(x=0\) ?\\
2. On se propose d'étudier la fonction \(F\) définie, pour \(x \geq 0, \operatorname{par} F(x)=\int_{1}^{\infty} \frac{e^{-x t}}{1+t^{5}} \mathrm{~d} t\). Montrer que la fonction \(F\) est une fonction strictement positive, décroissante et que

\[
\lim _{x \rightarrow+\infty} F(x)=0
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item a) Montrer que, pour tout réel \(t \geq 0\), tout réel \(x\) et tout réel \(h \geq 0\), on a
\end{enumerate}

\[
\left|e^{-t(x+h)}-e^{-t x}+t h e^{-t x}\right| \leq \frac{t^{2} h^{2}}{2} e^{-t x}
\]

b) Montrer de même que, pour tout réel \(t \geq 0\), tout réel \(x\) et tout réel \(h \leq 0\), on a

\[
\left|e^{-t(x+h)}-e^{-t x}+t h e^{-t x}\right| \leq \frac{t^{2} h^{2}}{2} e^{-t(x+h)}
\]

c) En déduire que pour tout réel \(x \geq 0\) et tout réel \(h\) tel que \(x+h \geq 0\), on a

\[
\left|F(x+h)-F(x)+h \int_{1}^{\infty} \frac{t e^{-x t}}{1+t^{5}} \mathrm{~d} t\right| \leq \frac{h^{2}}{2} \int_{1}^{\infty} \frac{t^{2}}{1+t^{5}} \mathrm{~d} t
\]

d) Montrer enfin que la fonction \(F\) est dérivable sur \([0,+\infty[\) et donner une expression de sa fonction dérivée \(F^{\prime}\).\\
4. Montrer de même que \(F^{\prime}\) est dérivable sur \(\left[0,+\infty\left[\right.\right.\) et que \(F^{\prime \prime}(x)=\int_{1}^{\infty} \frac{t^{2} e^{-x t}}{1+t^{5}} \mathrm{~d} t\).\\
5. On se propose de montrer que la fonction \(\ln (F)\) est convexe.\\
a) Montrer que si \(a, b\) et \(c\) sont trois nombres réels tels que, pour tout nombre réel \(\lambda\), on ait l'inégalité : \(a \lambda^{2}+2 b \lambda+c \geq 0\), alors, nécessairement, \(a c-b^{2} \geq 0\).\\
b) En déduire que la fonction \(\ln (F)\) est une fonction convexe.

\section*{EXERCICE II}
On dispose de deux jetons \(A\) et \(B\) que l'on peut placer dans deux cases \(C_{0}\) et \(C_{1}\), et d'un dispositif permettant de tirer au hasard et de manière équiprobable, l'une des lettres \(a, b\) ou \(c\). Au début de l'expérience, les deux jetons sont placés dans \(C_{0}\). On procède alors à une série de tirages indépendants de l'une des trois lettres \(a, b\) ou \(c\).

À la suite de chaque tirage, on effectue l'opération suivante :

\begin{itemize}
  \item si la lettre \(a\) est tirée, on change le jeton \(A\) de case,
  \item si la lettre \(b\) est tirée, on change le jeton \(B\) de case,
  \item si la lettre \(c\) est tirée, on ne change pas le placement des jetons.
\end{itemize}

On suppose qu'il existe un espace probabilisé dont la probabilité est notée \(\mathbf{P}\), qui modélise cette expérience et que l'on définit deux suites de variables aléatoires sur cet espace, \(\left(X_{n}\right)_{n \geq 0}\) et \(\left(Y_{n}\right)_{n \geq 0}\), décrivant les positions respectives des jetons \(A\) et \(B\), en posant :\\
\(X_{0}=Y_{0}=0\), et pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(X_{n}=0 \mathrm{si}\), à l'issue de la \(n^{\text {ième }}\) opération, le jeton \(A\) se trouve dans \(C_{0}\) et \(X_{n}=1\) s'il se trouve dans \(C_{1}\); de même, \(Y_{n}=0\) si le jeton \(B\) est dans \(C_{0}\) à l'issue de la \(n^{\text {ième }}\) opération et \(Y_{n}=1\) s'il se trouve dans \(C_{1}\).

\section*{I. Simulation}
Écrire un programme en Turbo-Pascal permettant de simuler l'expérience, qui lira un entier \(N\) entré au clavier, représentant le nombre de tirages à effectuer, et qui affichera à l'écran la liste des couples observés \(\left(X_{n}, Y_{n}\right)\) pour \(1 \leq n \leq N\).\\
Ce programme utilisera la fonction RANDOM qui renvoie, pour un argument \(m\) de type INTEGER, un nombre entier de l'intervalle \([0, m-1]\), tiré au hasard et de manière équiprobable.\\
(Cette fonction doit être initialisée par la commande RANDOMIZE).

\section*{II. Étude du mouvement du jeton \(A\)}
\begin{enumerate}
  \item a) Soit \(n\) un entier strictement positif. Déterminer la probabilité que, à l'issue de la \(n^{\text {ième }}\) opération, le jeton \(A\) n'ait jamais quitté \(C_{0}\).\\
b) Quelle est la probabilité que le jeton \(A\) reste indéfiniment dans \(C_{0}\) ?
  \item Pour tout entier naturel \(k\) supérieur ou égal à 2 , on s'intéresse à l'événement \(D_{k}\) : à l'issue de la \(k^{\text {ième }}\) opération, le jeton \(A\) revient pour la première fois dans \(C_{0}\). Déterminer la probabilité \(\mathbf{P}\left(D_{k}\right)\).
  \item Soit \(M\) la matrice
\end{enumerate}

\[
M=\left(\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{array}\right)
\]

a) Déterminer les valeurs propres de \(M\) et donner une base de vecteurs propres.\\
b) En déduire l'expression de \(M^{n}\), pour tout entier \(n\) strictement positif.\\
4. a) Calculer les probabilités \(\mathbf{P}\left(X_{1}=0\right)\) et \(\mathbf{P}\left(X_{1}=1\right)\).\\
b) Déterminer une matrice \(Q\) telle que, pour tout entier naturel \(n\), on ait l'égalité matricielle :

\[
\binom{\mathbf{P}\left(X_{n+1}=0\right)}{\mathbf{P}\left(X_{n+1}=1\right)}=Q\binom{\mathbf{P}\left(X_{n}=0\right)}{\mathbf{P}\left(X_{n}=1\right)}
\]

c) Pour tout entier naturel \(n\) non nul, calculer la matrice \(Q^{n}\) et en déduire la loi de la variable \(X_{n}\).

\section*{III. Étude du mouvement du couple de jetons ( \(A, B\) )}
On suppose que l'on définit sur le même espace probabilisé une suite de variables aléatoires \(\left(W_{n}\right)_{n \geq 0}\), à valeurs dans \(\{0,1,2,3\}\), décrivant les positions des deux jetons \(A\) et \(B\), en posant :\\
\(W_{0}=0\), et pour tout entier naturel \(n\) non nul,\\
\(W_{n}=0\) si, à l'issue de la \(n^{\text {ième }}\) opération, \(A\) et \(B\) se trouvent tous les deux dans \(C_{0}\),\\
\(W_{n}=1\) si, à l'issue de la \(n^{\text {ième }}\) opération, \(A\) se trouve \(C_{0}\) et \(B\) dans \(C_{1}\),\\
\(W_{n}=2 \mathrm{si}\), à l'issue de la \(n^{\text {ième }}\) opération, \(A\) se trouve \(C_{1}\) et \(B\) dans \(C_{0}\),\\
\(W_{n}=3\) si, à l'issue de la \(n^{\text {ième }}\) opération, les deux jetons \(A\) et \(B\) se trouvent dans \(C_{1}\).

\begin{enumerate}
  \item Calculer les probabilités \(\mathbf{P}\left(W_{1}=i\right)\) pour \(i\) égal à \(0,1,2\) et 3 .
  \item Déterminer la matrice \(R\) telle que, pour tout entier naturel \(n\), on ait l'égalité matricielle :
\end{enumerate}

\[
\left(\begin{array}{l}
\mathbf{P}\left(W_{n+1}=0\right) \\
\mathbf{P}\left(W_{n+1}=1\right) \\
\mathbf{P}\left(W_{n+1}=2\right) \\
\mathbf{P}\left(W_{n+1}=3\right)
\end{array}\right)=R\left(\begin{array}{l}
\mathbf{P}\left(W_{n}=0\right) \\
\mathbf{P}\left(W_{n}=1\right) \\
\mathbf{P}\left(W_{n}=2\right) \\
\mathbf{P}\left(W_{n}=3\right)
\end{array}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item On considère les matrices:
\end{enumerate}

\[
I=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right), \quad U=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1
\end{array}\right), \quad V=\left(\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
\]

a) Pour tout entier naturel \(n\) non nul, calculer les matrices \(U^{n}\) et \(V^{n}\).\\
b) Êtablir, pour tout entier naturel non nul, l'égalité

\[
(U-V)^{n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} \mathrm{C}_{n}^{k} U^{n-k} V^{k}
\]

où, par convention, on pose : \(U^{0}=V^{0}=I\).\\
c) En déduire, pour tout entier naturel non nul, l'égalité

\[
(U-V)^{n}=\frac{1}{4}\left[3^{n}-(-1)^{n}\right] U+(-1)^{n} V^{n}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Pour tout entier naturel \(n\) non nul, calculer la matrice \(R^{n}\) et donner la loi de la variable \(W_{n}\). (On distinguera les cas n pair et n impair).
  \item Déterminer, pour tout entier naturel \(n\) non nul, la covariance de \(X_{n}\) et \(Y_{n}\) et calculer la limite de cette covariance quand \(n\) tend vers \(+\infty\).
\end{enumerate}

\section*{IV. Étude d'un temps de séjour}
On suppose que chaque tirage, avec l'opération qui le suit, dure une minute. Ainsi, à l'issue de la \(n^{\text {ième }}\) opération, \(n\) minutes se sont écoulées depuis le début de l'expérience.\\
Soit \(n\) un entier naturel non nul.\\
On suppose que le nombre de minutes écoulées pendant lesquelles le jeton \(A\) a séjourné dans \(C_{1}\), entre le début de l'expérience et l'issue de la \(n^{\text {ième }}\) opération, est une variable aléatoire que l'on note \(T_{n}\).

\begin{enumerate}
  \item Exprimer \(T_{n}\) à l'aide des variables \(X_{k}\), pour \(k\) compris entre 1 et \(n\).
  \item En déduire l'espérance \(\mathbf{E}\left(T_{n}\right)\).
\end{enumerate}

Calculer la limite de \(\frac{1}{n} \mathbf{E}\left(T_{n}\right)\) quand \(n\) tend vers l'infini.


\end{document}