\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{bbold}

\title{ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES}
\section*{OPTION ECONOMIQUE}
\section*{MATHEMATIQUES III}
Mardi 8 Mai 2001, de 8h. à 12h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.\\
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

\section*{EXERCICE I}
On note \(m\) un paramètre réel et on considère les matrices \(H_{m}\) définies par

\[
H_{m}=\left(\begin{array}{ccc}
-1-m & m & 2 \\
-m & 1 & m \\
-2 & m & 3-m
\end{array}\right)
\]

On note \(h_{m}\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) représenté par \(H_{m}\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\).

\begin{enumerate}
  \item a) On suppose dans cette question que \(m=2\). Déterminer les valeurs propres de la matrice \(H_{2}\) et les sous-espaces propres associés.\\
b) La matrice \(H_{2}\) est-elle diagonalisable? Si oui, donner une base de vecteurs propres.
  \item Etudier de même les valeurs propres et les sous-espaces propres de la matrice \(H_{0}\). Cette matrice est-elle diagonalisable ?
  \item a) Montrer qu'il existe un récl \(a\), qu'on déterminera, qui est une valeur propre de la matrice \(H_{m}\) pour toutes les valeurs du paramètre \(m\).\\
b) Déterminer, pour chaque valeur de \(m\), le sous-espace propre de \(H_{m}\) associé à la valeur propre a. Montrer qu'on peut trouver un vecteur non nul \(v_{1}\) appartenant à tous ces sous-espaces.
  \item Soit \(F\) le sous-espace de \(\mathbb{R}^{3}\) engendré par les vecteurs \(v_{2}=(1,0,1)\) et \(v_{3}=(1,1,0)\).
\end{enumerate}

Déterminer les vecteurs \(h_{m}\left(v_{2}\right)\) et \(h_{m}\left(v_{3}\right)\) et montrer que ces vecteurs appartiennent à \(F\) pour tout \(m\) réel.\\
5. En se plaçant dans la base de \(\mathbb{R}^{3}\) formée par les vecteurs \(v_{1}, v_{2}\) et \(v_{3}\), déterminer les valeurs de \(m\) pour lesquelles la matrice \(H_{m}\) est diagonalisable.

\section*{EXERCICE II}
On réalise une suite de lancers indépendants d'une pièce de monnaie équilibrée. On associe à cette expérience une suite \(\left(X_{n}\right)_{n \geq 1}\) de variables aléatoires indépendantes, définies sur un espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})\) et suivant la loi de Bernoulli de paramètre \(\frac{1}{2}\).\\
Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 1 , on pose \(S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}\).\\
Notation : Si \(Z\) est une variable aléatoire définie sur ( \(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P}\) ), on note \(\mathrm{E}(Z)\) son espérance.\\
N.B. La partie II peut être traitée indépendamment de la partie I.

\section*{I. Préliminaire}
\begin{enumerate}
  \item a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire \(S_{n}\).\\
b) Quelles sont l'espérance et la variance de \(S_{n}\) ?
  \item a) Montrer que, pour tout réel \(\varepsilon\) strictement positif, on peut trouver une constante \(K_{\varepsilon}\) telle que, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 1 , on ait l'inégalité \(\mathbf{P}\left(\left|\frac{S_{n}}{n}-\frac{1}{2}\right| \geq \varepsilon\right) \leq \frac{K_{\varepsilon}}{n}\).\\
b) Déduire de la majoration obtenue que, pour tout réel \(r\) vérifiant \(0<r<\frac{1}{2}\), on a :
\end{enumerate}

\[
\lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbf{P}\left(\left|\frac{S_{n}}{n}-\frac{1}{2}\right| \geq \frac{1}{n^{r}}\right)=0
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Montrer d'autre part, à l'aide du théorème de la limite centrée, que la suite définie pour \(n\) supérieur ou égal à 1 par \(n \mapsto \mathbf{P}\left(\left|\frac{S_{n}}{n}-\frac{1}{2}\right|>\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\) admet une limite non nulle.
\end{enumerate}

L'objet de la suite de l'exercice est l'étude d'une majoration de la probabilité \(\mathbf{P}\left(\left|\frac{S_{n}}{n}-\frac{1}{2}\right| \geq \varepsilon\right)\) meilleure que la majoration obtenue à la question 2.a.

\section*{II. Étude de fonctions}
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\ln \left(\frac{e^{x}+1}{2}\right)\).

\begin{enumerate}
  \item a) Étudier les variations de la fonction \(f\).\\
b) Montrer qu'il existe des réels \(\alpha\) et \(\beta\), que l'on déterminera, tels que l'on ait :
\end{enumerate}

\[
\lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-(\alpha x+\beta))=0
\]

c) Montrer de même qu'il existe des réels \(\alpha^{\prime}\) et \(\beta^{\prime}\), tels que l'on ait :

\[
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(f(x)-\left(\alpha^{\prime} x+\beta^{\prime}\right)\right)=0
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Soit \(a\) un réel vérifiant \(0<a<1\) et soit \(\varphi_{a}\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(\varphi_{a}(x)=f(x)-a x\).\\
a) Étudier les variations de la fonction \(\varphi_{a}\) et préciser les valeurs de \(\varphi_{a}(0)\) et de \(\varphi_{a}^{\prime}(0)\). Montrer que la fonction \(\varphi_{a}\) atteint un minimum en un unique point \(x_{a}\) de \(\mathbb{R}\) dont on donnera l'expression en fonction de \(a\).\\
b) Étudier le signe de \(x_{a}\) suivant les valeurs de \(a\). Montrer, pour tout réel \(a\) vérifiant \(a \neq \frac{1}{2}\), l'inégalité : \(e^{\varphi_{a}\left(x_{a}\right)}<1\).
\end{enumerate}

Dans toute la suite, pour tout réel a vérifiant \(0<a<1\), on pose \(h_{a}=e^{\varphi_{a}\left(x_{a}\right)}\).\\
III. Étude de l'écart de \(\frac{S_{n}}{n}\) à sa moyenne

\begin{enumerate}
  \item Montrer que si \(Z\) est une variable aléatoire prenant un nombre fini de valeurs réelles positives \(z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{r}\), on a la majoration \(\mathbf{P}(Z \geq 1) \leq \mathrm{E}(Z)\).
  \item Calculer, pour tout réel \(u\) et tout entier \(n\) supérieur ou égal à 1 , l'espérance \(\mathrm{E}\left(e^{u S_{n}}\right)\). En déduire que, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 1 , si \(a\) est un réel vérifiant \(0<a<1\) et \(t\) un réel quelconque, on a :
\end{enumerate}

\[
\mathrm{E}\left(e^{t\left(\frac{S_{n}}{n}-a\right)}\right)=e^{n \varphi_{a}\left(\frac{1}{n}\right)}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item On suppose, dans cette question, que a est un réel vérifiant \(\frac{1}{2}<a<1\).\\
a) Montrer que, pour tout réel \(t\) strictement positif et tout entier \(n\) supérieur ou égal à 1 , on a l'inégalité :
\end{enumerate}

\[
\mathbf{P}\left(\frac{S_{n}}{n}-a \geq 0\right) \leq e^{n \varphi_{a}\left(\frac{t}{n}\right)}
\]

b) En donnant à \(t\), dans l'inégalité précédente, une valeur convenablement choisie, établir, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 1 , l'inégalité

\[
\mathbf{P}\left(\frac{S_{n}}{n} \geq a\right) \leq\left(h_{a}\right)^{n}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Soit un réel \(\varepsilon\) vérifiant \(0<\varepsilon<\frac{1}{2}\); on pose \(a=\frac{1}{2}+\varepsilon\).\\
a) Comparer, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 1 , les lois de probabilité des variables aléatoires \(S_{n}\) et \(n-S_{n}\). En déduire l'égalité :
\end{enumerate}

\[
\mathbf{P}\left(\frac{S_{n}}{n} \geq a\right)=\mathbf{P}\left(\frac{S_{n}}{n} \leq 1-a\right)
\]

puis la majoration :

\[
\mathbf{P}\left(\left|\frac{S_{n}}{n}-\frac{1}{2}\right| \geq \varepsilon\right) \leq 2\left(h_{a}\right)^{n}
\]

En quoi cette majoration peut-elle être considérée, pour \(\varepsilon\) strictement positif fixé, comme meilleure que celle de la question I.2.a ?\\
b) À l'aide de l'expression de \(x_{a}\) trouvée à la question II.2.a, établir l'égalité :

\[
\varphi_{a}\left(x_{a}\right)=-\left(\left(\frac{1}{2}+\varepsilon\right) \ln (1+2 \varepsilon)+\left(\frac{1}{2}-\varepsilon\right) \ln (1-2 \varepsilon)\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item a) En déduire qu'on a : \(\varphi_{\frac{1}{2}+\varepsilon}\left(x_{\frac{1}{2}+\varepsilon}\right)=-2 \varepsilon^{2}+o\left(\varepsilon^{2}\right)\), quand \(\varepsilon\) tend vers 0 .\\
b) Montrer qu'on peut retrouver ainsi la limite obtenue à la question I.2.b.
\end{enumerate}

\section*{IV. Étude d'un algorithme}
On se propose d'illustrer cet exercice par une simulation. On considère pour cela le programme Turbo-Pascal Simulation reproduit ci-dessous dans lequel RANDOM (100) désigne un nombre entier tiré au hasard par l'ordinateur, avec la loi uniforme, dans l'intervalle [0,99] (la procédure RANDOMIZE sert à initialiser la fonction RANDOM).

\begin{enumerate}
  \item Que fait la procédure EP de ce programme ?
  \item Quels nombres entiers sont comptabilisés dans les variables \(U, V\) et \(W\) à la fin du programme ?
  \item De quels nombres les valeurs de P1, P2 et P3 fournies par le programme sont-elles des estimations ?
  \item À quoi peut-on s'attendre pour la valeur de P1 ?
\end{enumerate}

\begin{verbatim}
PROGRAM Simulation;
VAR
    n,K,U,V,W,i,j,X : INTEGER;
    S : REAL;
CONST
    nombre_de_lancers = 20000;
    nombre_d_essais = 2000;
PROCEDURE EP(n:INTEGER);
    BEGIN
        S:= 0;
        FOR i:=1 TO n DO
        BEGIN
            X:= RANDOM(100);
            IF X>49 THEN S:= S+1;
        END;
    END;
BEGIN
    RANDOMIZE;
    n:=nombre_de_lancers;
    K:=nombre_d_essais;
    U:=0; V:=0; W:=0;
    FOR j:=1 TO K DO
        BEGIN
            EP(n);
            IF Abs(S/n-0.5) > exp((-0.4)*Ln(n)) THEN U:=U+1;
            IF Abs(S/n-0.5) > exp((-0.5)*Ln(n)) THEN V:=V+1;
            IF Abs(S/n-0.5) > exp((-0.9)*Ln(n)) THEN W:=W+1;
        END;
    WRITELN ('P1 = ' ,U/K);
    WRITELN ('P2 = ' ,V/K);
    WRITELN ('P3 = ' ,W/K);
END.
\end{verbatim}


\end{document}